1、3.2复数的四则运算第1课时复数的加法、减法、乘法运算学习目标1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用知识点一复数的加减运算思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(abi)(cdi)(ac)(bd)i(a，b，c，dR)思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足梳理(1)运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么(abi)(cdi)(ac)(bd)i，(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)加法运算
2、律对任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)知识点二复数的乘法运算思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成1，然后把实部与虚部分别合并梳理(1)复数的乘法法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知识点三共轭复数思考复数34i与34i，ab
3、i与abi(a，bR)有什么特点？答案这两组复数的特点：实部相等，虚部互为相反数梳理(1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数(2)复数zabi(a，bR)的共轭复数记作，即abi.(3)当复数zabi(a，bR)的虚部b0时，z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身1两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数()2任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的()3两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数()类型一复数的加减运算例1计算：(1)(35i)(34i)；(2)(32i)(45i)；(3)(55i)(22i
4、)(33i)解(1)(35i)(34i)(33)(54)i6i.(2)(32i)(45i)(34)2(5)i77i.(3)(55i)(22i)(33i)(523)5(2)3i10i.反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练1(1)计算：(56i)(2i)(34i)；(2)已知复数z满足z13i52i，求z.解(1)(56i)(2i)(34i)(52)(61)i(34i)(37i)(34i)(33)(74)i11i.(2)由z13i52i，得z(52i)(13i)(51)(23)i4i.类型二复
5、数的乘法例2计算：(1)(1i)(1i)(1i)；(2)(2i)(15i)(34i)2i.解(1)(1i)(1i)(1i)1i21i1i.(2)(2i)(15i)(34i)2i(210ii5i2)(34i)2i(211i5)(34i)2i(311i)(34i)2i(912i33i44i2)2i5321i2i5323i.反思与感悟(1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算混合运算的顺序与实数的运算顺序一样(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立一些常见的结论要熟悉：i21，(1i)22i.跟踪训练2若复数(m2i)(1mi)是实数，则实数m_.答案1解析
6、(m2i)(1mi)m2m(m31)i是实数，m310，则m1.类型三共轭复数的概念例3复数z满足z2iz42i，求复数z的共轭复数解设zxyi(x，yR)，则xyi.z2iz42i，x2y22i(xyi)42i，因此(x2y22y)2xi42i，得解得或z13i或z1i.因此z的共轭复数13i或1i.反思与感悟(1)有关复数z及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：设zabi(a，bR)，则za2b2.zRz.(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础跟踪训练3已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解设zabi(a
7、，bR)，则abi(a，bR)由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.1已知复数z1i和复数z2cos 60isin 60，则z1z2_.答案1解析z2i，z1z21.2已知i是虚数单位，则(1i)(2i)_.答案13i解析(1i)(2i)23ii213i.3若复数z满足z(23i)12i，则z25i_.答案1解析z12i23i35i，z25i35i25i1.4设复数z1x2i，z23yi(x，yR)，若z1z256i，则z1z2_.答案110i解析z1z2x2i(3yi)(x3)(2y)i，(x3)(2y)i56i(x，yR
8、)，由复数相等的定义，得x2且y8，z1z222i(38i)110i.5复数z1a4i，z23bi，若它们的和z1z2为实数，差z1z2为纯虚数，则a，b的值分别为_答案3，4解析z1z2a3(4b)i为实数，4b0，即b4.又z1z2(a3)(4b)i为纯虚数，a30且4b0，a3.1复数的加减运算把复数的代数形式zabi(a，bR)看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则2两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(32i)2i3.3复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数4理解共轭复数的性质(1)zRz.(2)当a，bR时，有a2b2(abi)(abi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.
