1、第2课时两条直线的垂直学习目标1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两条直线垂直.3.会利用两直线垂直求参数及直线方程.知识点两条直线垂直的判断图示对应关系l1l2(两直线斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l2一、两条直线垂直关系的判定例1判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1,2)，l2经过点M(2，1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40).解(1)直线l1的斜率k12，直线l
2、2的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直.(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴.直线l2的斜率k20，则l2x轴.故l1l2.反思感悟判断两直线垂直方法一方法二若两条直线的方程均为一般式：l1：A1xB1yC10(A1，B1不全为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全为0).则l1l2A1A2B1B20.跟踪训练1下列各组中直线l1与l2垂直的是_.(填序号)l1：2x3y40和l2：3x2y40；l1：2x3y40和l2：3y2x40；l1：2x3y40和l2：4x6y80.答案解析由题意知，23(3)20
3、，l1l2.由题意知，23(3)(2)0，l1与l2不垂直.由题意知，42(3)60，l1与l2不垂直.二、由两直线垂直求参数或直线方程命题角度1由两直线垂直求参数的值例2三条直线3x2y60,2x3m2y180和2mx3y120围成直角三角形，求实数m的值.解当直线3x2y60与直线2x3m2y180垂直时，有66m20，m1或m1.当m1时，直线2mx3y120也与直线3x2y60垂直，因而不能构成三角形，故m1应舍去.经检验m1，符合题意.m1.当直线3x2y60与直线2mx3y120垂直时，有6m60，得m1(舍).当直线2x3m2y180与直线2mx3y120垂直时，有4m9m20，
4、m0或m.经检验，这两种情形均满足题意.综上所述，所求的结果为m1或0或.反思感悟此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解.跟踪训练2已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，则a的值为_.答案5或6解析设直线l2的斜率为k2.直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在.当k20时，a23，则a5，此时直线l1的斜率不存在，符合题意.设直线l1的斜率为k1，当k20，即a5时，由k1k21，得1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.命题角度2由垂直关系求直线方程例3求与直线4x3y50垂直
5、，且与两坐标轴围成的AOB周长为10的直线方程.解由题意可设所求直线方程为3x4yb0.令x0，得y，即可设A；令y0，得x，即B.又AOB周长为10，即OAOBAB10， 10，解得b10，故所求直线方程为3x4y100或3x4y100.反思感悟(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线ykxb垂直，则可设直线l的方程为yxm(k0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程.(2)若直线l与已知直线AxByC0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为BxAym0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程.跟踪训练3已知点A(2,2)和直线l：3x4y200，求过点
6、A且与直线l垂直的直线l1的方程.解方法一因为kl1，kl，所以，故直线l1的方程为y2(x2)，即4x3y20.方法二设所求直线l1的方程为4x3ym0.因为l1经过点A(2,2)，所以4232m0，解得m2.故l1的方程为4x3y20.三、垂直与平行的综合应用例4已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.解若AD90，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1).若AB90，如图(2).设A(a，b)，则kBC3，kAD，kAB.由ADBCkADkBC，即3；由ABBCkABkBC1，即(3)1.解得故A.
7、综上，A点坐标为(1，1)或.反思感悟有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解.如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解.跟踪训练4已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标.解由题意知，kAB1，kBC1，kABkBC1，即ABBC.设第四个顶点D的坐标为(x，y)，ADCD，ADBC，kADkCD1，且kADkBC.解得第四个顶点D的坐标为(2,3).1.两条直线垂直与斜率的关系图形表示对应关系l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中
8、的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l22.l1：A1xB1yC10(A1，B1不全为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全为0)，l1l2A1A2B1B20.3.与l：AxByC0(A，B不全为0)垂直的直线可设为BxAyC10.1.下列直线中，与直线l：y3x1垂直的是()A.y3x1 B.y3x1C.yx1 D.yx1答案D解析因为直线l：y3x1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为.2.若直线l经过点(a2，1)和(a2,1)，且与经过点(2,1)，斜率为的直线垂直，则实数a的值为()A. B. C. D.答案A解析易知a0不符合题意.直线l的斜率k(a0)，所以1，所以a，故选A.3.直线xy0和直线xay0互相垂直，则a_.答案1解析由题意知111(a)0，得a1.4.过点(3，1)与直线6x7y120垂直的直线方程为_.答案7x6y270解析直线6x7y120的斜率为，则与该直线垂直的直线的斜率为.所求直线方程为y1(x3).即7x6y270.5.直线l1，l2的斜率分别是方程x23x10的两个根，则l1与l2的位置关系是_.答案垂直解析设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由根与系数的关系可得k1k21，所以l1l2.
