1、1.2.4平面与平面的位置关系第1课时两平面平行的判定与性质学习目标1.了解平面与平面的位置关系，掌握面面平行的判定定理、性质定理.2.会利用“线线平行”“线面平行”及“面面平行”相互之间的转化，来证明“线线平行”“线面平行”及“面面平行”等问题.3.了解两个平面间的距离的概念.知识点一两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面与平面平行没有公共点平面与平面相交l有一条公共直线知识点二平面与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行知识点三平面与平面平行的性质定理表示定理图形文字符号两个平面平行的性质
2、定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行ab一、两平面平行的判定例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PMMABNNDPQQD.求证：平面MNQ平面PBC.证明PMMABNNDPQQD，MQAD，NQBP.又BP平面PBC，NQ平面PBC，NQ平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，BCAD，MQBC.又BC平面PBC，MQ平面PBC，MQ平面PBC.又MQNQQ，MQ，NQ平面MNQ，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ平面PBC.反思感悟判定平面与平面平行的常用方法(1)利用定义，证明两个平面没有公共
3、点，常用反证法.(2)利用判定定理.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.(3)利用平行平面的传递性，即若，则.(客观题用)跟踪训练1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1GGD12，ACBDO，求证：平面AGO平面D1EF. 证明设EFBDH，连结D1H，在DD1H中，因为，所以GOD1H，又GO平面D1EF，D1H平面D1EF，所以GO平面D1EF.在BAO中，因为BEEA，BHHO，所以EHAO，又AO
4、平面D1EF，EH平面D1EF，所以AO平面D1EF，又GOAOO，GO，AO平面AGO，所以平面AGO平面D1EF.二、面面平行的性质定理的应用命题角度1由面面平行的性质定理求线段长例2如图，平面平面，A，C，B，D，直线AB与CD交于S，且AS8，BS9，CD34，求SC的长.解设AB，CD确定平面，因为AC，BD，且，所以ACBD，所以SACSBD，所以，即，所以SC272.延伸探究若将本例改为：点S在平面，之间(如图)，其他条件不变，求CS的长.解设AB，CD确定平面，AC，BD.因为，所以ACBD，所以ACSBDS，所以.设CSx，则，所以x16，即CS16.反思感悟应用平面与平面平
5、行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图所示，P是ABC所在平面外一点，平面平面ABC，分别交线段PA，PB，PC于A，B，C，若PAAA23，则_.答案解析由平面平面ABC，平面平面PABAB，平面ABC平面PABAB，得ABAB，同理BCBC，ACAC，由等角定理得ABCABC，BCABCA，CABCAB，从而ABCABC，PABPAB，22.命题角度2利用面面平行证明线线平行例3如图所示，四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形ABCD所在平面外，且AA，BB，CC，DD互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AD平面BBCC，BC平面
6、BBCC，AD平面BBCC.同理AA平面BBCC.AD平面AADD，AA平面AADD，且ADAAA，平面AADD平面BBCC.又平面ABCD平面AADDAD，平面ABCD平面BBCCBC，ADBC.同理可证ABCD.四边形ABCD是平行四边形.反思感悟本类题的解题思路一般为先得出线面平行，再得面面平行，最后由面面平行的性质定理得线线平行.跟踪训练3如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，ADBC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：ECA1D.证明因为BEAA1，AA1平面AA1D，BE平面AA1D，所以BE平面AA1D.因为BCAD，AD平面AA1D，BC平面AA1D
7、，所以BC平面AA1D.又BEBCB，BE平面BCE，BC平面BCE，所以平面BCE平面AA1D.又平面A1DCE平面BCEEC，平面A1DCE平面AA1DA1D，所以ECA1D.三、平行关系的综合应用例4如图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，M，N分别是棱AB，PC的中点，平面CMN与平面PAD交于PE.(1)求证：MN平面PAD；(2)求证：MNPE. 证明(1)如图，取DC的中点Q，连结MQ，NQ.N，Q分别是PC，DC的中点，NQPD.NQ平面PAD，PD平面PAD，NQ平面PAD.M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，MQAD.又MQ平面PAD，AD平面PA
8、D，MQ平面PAD.MQNQQ，MQ，NQ平面MNQ，平面MNQ平面PAD.MN平面MNQ，MN平面PAD.(2)平面MNQ平面PAD，且平面PEC平面MNQMN，平面PEC平面PADPE，MNPE.反思感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.解如图，设N是棱C1C上的一点，且C1NC1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1F
9、C平行.证明如下：设H为棱C1C的中点，连结B1H，D1H.因为C1NC1C，所以C1NC1H.又E为B1C1的中点，所以ENB1H.由题意知，B1FCH，B1FCH，所以四边形CHB1F为平行四边形，所以CFB1H，所以ENCF，又EN平面A1FC，CF平面A1FC，所以EN平面A1FC.同理MND1H，D1HA1F，所以MNA1F.又MN平面A1FC，A1F平面A1FC，所以MN平面A1FC.又ENMNN，EN，MN平面EMN，所以平面EMN平面A1FC.1.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义.(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
10、.(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.(4)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.2.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.3.空间中各种平行关系相互转化的示意图1.已知，是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是()A.平面内有一条直线与平面平行B.平面内有两条直线与平面
11、平行C.平面内有一条直线与平面内的一条直线平行D.平面与平面不相交答案D解析选项A，C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面内的这两条直线必须相交才能得到平面与平面平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种，故选D.2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行 B.都相交C.在两个平面内 D.至少和其中一个平行答案D解析它可以在一个平面内与另一个平面平行，也可以和两个平面都平行，故选D.3.已知三棱柱ABCA1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是_.答案平行解析D，E，F分别是棱
12、AA1，BB1，CC1的中点，在平行四边形AA1B1B中，DEAB，又DE平面ABC，AB平面ABC，DE平面ABC，同理，EF平面ABC.又DEEFE，DE，EF平面DEF，平面DEF平面ABC.4.若一平面截平行六面体，与两组相对的面相交，则截面四边形的形状一定是_.答案平行四边形解析由面面平行的性质定理可得.5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1EC1F.求证：EF平面ABCD.证明过E作EGAB交BB1于点G，连结GF，则，B1EC1F，B1AC1B，FGB1C1BC.又EG平面ABCD，AB平面ABCD，FG平面ABCD，BC平面ABCD，EG平面ABCD，FG平面ABCD，又EGFGG，EG，FG平面EFG，平面EFG平面ABCD.又EF平面EFG，EF平面ABCD.
