1、18.2 特殊的平行四边形 18.2.3正方形,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,正方形的性质,第一课时,返回,除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？,怎样研究这类图形？ 想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.,1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的联系和区别.,2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算.,素养目标,平行四边形,情境一： 观察体会,正方形的定义,有一个直角,有一个直角,矩形,有一个直角,矩形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组
2、邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,有一个直角,正方形,平行四边形,你能给正方形下一个定义吗？,问题1：图中CD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？,问题2：当CD移动到CD位置，此时AD AB，四边形ABCD还是矩形吗？,A,B,正方形是特殊的矩形,情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD,矩 形,正方形,【思考】1.,矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?,正方形,【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢
3、?,小结：,矩 形,正方形,邻边,相等,发现： 一组邻边相等的矩形叫正方形.,一个角,是直角,正方形,发现： 一个角为直角的菱形叫正方形.,如何来给正方形下定义？,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,对称性： . 对称轴： .,轴对称图形,4条,A,B,C,D,正方形的性质,总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性,平行四边形,中心对称图形 （对角线的交点）,即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）,即是中心对称图形， 又是轴对称图形（两条）,即是中心对称图形， 又
4、是轴对称图形（四条）,矩形,菱形,正方形,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等且有一个角是直角,(1),(2),(3),(4),平行四边形,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,矩形,菱形,正方形,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：,性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.,A,B
5、,C,D,证明：四边形ABCD是正方形. A=90, AB=BC （正方形的定义）. 又正方形是平行四边形. 正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.,已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明：正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形. ACBD.,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:A
6、BO、BCO、CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.,利用正方形的性质求线段相等,1.已知正方形ABCD，若E为对角线上一点，连接EA、EC. EA = EC吗？说说你的理由.,E,1,2,？,？,解： EA = EC .理由如下： 四边形ABCD是正方形， AB=BC，1=2=45， 又BE=BE ABECBE AE=CE.,例2 如图，在正方形ABCD中， BEC是等边三角形， 求证： EADEDA15 .,证
7、明： BEC是等边三角形， BE=CE=BC,EBC=ECB=60， 四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD,ABC=DCB=90， AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30， ABE，DCE是等腰三角形， BAE= BEA= CDE= CED=75， EAD= EDA=90-75=15.,利用正方形的性质求角度,2.已知：如图，在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M， 求证：MFD45,证明：CEAF， ADCAEM90 又CMDAME， 12 又CDAD，ADFMDC RtCDMRtADF (ASA) DM=DF. DMF=DFM ADF=90，MF
8、D=45.,例3 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG.,解：,四边形ABCD是正方形,AD=CD,又四边形DEFG也是正方形,DE=DG,又正方形的每个内角为90,ADEEDCCDGEDC，,ADECDG,AEDCGD.,AE=CG,利用正方形的性质求线段相等,3.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF 求证：（1）AE=AF；（2）EAAF,证明：（1） ABCD是正方形 AD=AB，ADE=ABF=90 在ABF与ADE中，AD=AB, ADE=ABF=90，DE=BF ABFADE（SAS） AE=AF ,1=3 （2
9、）2+3=90 1+2=90 ， EAFA,（2018吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：ABEBCF,巩固练习,证明：四边形ABCD是正方形， AB=BC，ABE=BCF=90， 在ABE和BCF中， ABEBCF,AB=BC,ABE=BCF,BE=CF,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等,B,D,3在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BO
10、C= . 4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则EBC的度数是 .,45,90,22.5,第3题图,第4题图,45,5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积,四边形ABCD是正方形， ACBD，OAOD2. 在RtAOD中，由勾股定理，得 正方形的周长为4AD ， 面积为AD28.,解:,如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PEBC于E， PFDC于F.试说明：AP=EF.,解:,连接PC，AC.,又PEBC ， PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90， AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.
11、,AP=PC.,AP=EF.,四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边ADE，求BEC的大小,解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图， ABAE，BAE9060150. AEB15. BEC60151530；,同理可得DEC15.,当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图， ABAE，BAE906030， AEB75. 同理可得DEC75. BEC360757560150. 综上所述，BEC的大小为30或150.,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,正方形的判
12、定,第二课时,返回,宁宁在商场看中了一块正方形纱巾，但不知是否是正方形，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，另一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形，把纱巾给了宁宁，你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗？,2. 能应用正方形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题.,1. 理解并掌握正方形的判定方法 .,素养目标,做一做：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.,正方形,菱形,【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形？,正方形,一个角是直角,或对角线相等,正方形的判定,已知：如
13、图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形.,求证：对角线相等的菱形是正方形.,四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形， DAB=ABC=BCD=ADC=90, 四边形ABCD是正方形.,证明：,做一做：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.,正方形,【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形？,矩形,正方形,一组邻边相等,或对角线互相垂直,矩形,已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是
14、它的两条对角线, ACDB. 求证：矩形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO ，ADC=90. ACDB, AD=AB=BC=CD, 矩形ABCD是正方形.,求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,有一组邻边相等,且有一个角是直角,正方形常见的判定方法,先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形,平行四边形,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形
15、、菱形、正方形的判定小结,例1 已知：如图，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F 求证：四边形CFDE是正方形,C=90， DEBC于E，DFAC于F DEC=90， DFC=90， 四边形CFDE有三个直角， 它是矩形 又CD平分ACB DE=DF 四边形CFDE是正方形,由矩形到正方形的识别,证明：, DEAC，DFBC ， DEC=DFC=90. 又 C=90 ， 四边形ADFC是矩形. 过点D作DGAB，垂足为G. AD是CAB的平分线 DEAC，DGAB， 同理得DG=DF， 四边形EDFC是正方形.,1.如图，在直角三角形中，C=90，A、B的平分线交于点
16、D.DEAC，DFBC.求证:四边形CEDF为正方形.,A,B,C,D,E,F,G,证明：, DE=DG.,ED=DF，,证明：四边形ABCD为正方形, OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=COH+BOH. EGFH, COH=BOE, OE=OH.,例2 如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形.,由菱形到正方形的识别,OE=OF=OG=OH. EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,BOE+BOH=90,CHO BEO,同理可证：OE=OF=OG,又EGFH,四边形EFGH为菱形.,四边形EFGH为正方形.,2.在正方形AB
17、CD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?,四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA， A=B=C=D=90. AE=BF=CM=DN， AN=BE=CF=DM.,解：,四边形EFMN是正方形.,理由如下：,AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM, AENBFECMFDNM, EN=FE=MF=NM，ANE=BEF, 四边形EFMN是菱形， NEF=180（AEN+BEF） =180（AEN+ANE） =18090=90. 四边形EFMN是正方形 .,在AEN、BFE、CMF、DNM中，,（2019北京）
18、在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形 ABCD，下面四个结论中， 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形； 存在无数个四边形MNPQ是矩形； 存在无数个四边形MNPQ是菱形； 至少存在一个四边形MNPQ是正方形 所有正确结论的序号是_,1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）,AAC=BD，ABCD，AB=CD BADBC，A=C CAO=BO=CO=DO，ACBD DAO=CO，BO=DO，AB=BC,C,A,B,C,D,O,2.下列判断中正确的是（ ） A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等
19、的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,D,3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B当ACBD时，四边形ABCD是菱形 C当ABC=90时，四边形ABCD是矩形 D当AC=BD时，四边形ABCD是正方形,D,4.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证：ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.,证明：（1）AB = BC,B
20、D平分ABC. 1=2. ABDCBD (SAS). ADB=CDB.,1,2,（2）ADC=90, 又PMAD,PNCD, PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB, ADB=CDB=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是正方形.,如图，ABC中，D是BC上任意一点，DEAC，DFAB （1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由 （2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？,解：（1）DEAC，DFAB， 四边形AEDF为平行四边形. （2）四边形ADEF为菱形， AD平分BAC， 则AD平分BAC时，四边形AEDF为菱形.,（3）
21、在（2）的条件下，当ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由,解：由四边形AEDF为正方形 BAC=90， ABC是以BC为斜边的直角三角形即可,如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE （1）求证：BF=DE； （2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由,（1）证明：正方形ABCD， AB=AD，BAD=90， AFAC，EAF=90， 在ABF 和ADE中，ABAD ，BAFEAD ，AFAE , ABFADE（SAS），,BAF=EAD，,BF=DE；,（2）解：当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形， 理由：点E运动到AC的中点，AB=BC， BEAC，BE=AE= AC， AF=AE， 又BEAC，FAE=BEC=90， BEAF， 四边形AFBE是平行四边形， FAE=90，AF=AE， 四边形AFBE是正方形,BE=AF=AE.,BE=AF，,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,
