人教版八年级数学下册第18章18.2.3正方形课件(67张)

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1、18.2 特殊的平行四边形 18.2.3正方形,第一课时,第二课时,人教版 数学 八年级 下册,正方形的性质,第一课时,返回,除了矩形和菱形外,还有什么特殊的平行四边形呢?,怎样研究这类图形? 想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.,1. 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概 念之间的联系和区别.,2. 能用正方形的定义、性质进行推理与计算.,素养目标,平行四边形,情境一: 观察体会,正方形的定义,有一个直角,有一个直角,矩形,有一个直角,矩形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组

2、邻边相等,矩形,菱形,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,平行四边形,有一个直角,一组邻边相等,矩形,菱形,一组邻边相等,有一个直角,正方形,平行四边形,你能给正方形下一个定义吗?,问题1:图中CD在平移时,这个图形始终是怎样的图形?,问题2:当CD移动到CD位置,此时AD AB,四边形ABCD还是矩形吗?,A,B,正方形是特殊的矩形,情景二:两组互相垂直的平行线围成矩形ABCD,矩 形,正方形,【思考】1.,矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?,正方形,【思考】2.菱形有一个角是直角时变成怎样的图形呢

3、?,小结:,矩 形,正方形,邻边,相等,发现: 一组邻边相等的矩形叫正方形.,一个角,是直角,正方形,发现: 一个角为直角的菱形叫正方形.,如何来给正方形下定义?,有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.,请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?,对称性: . 对称轴: .,轴对称图形,4条,A,B,C,D,正方形的性质,总结:平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性,平行四边形,中心对称图形 (对角线的交点),即是中心对称图形, 又是轴对称图形(两条),即是中心对称图形, 又是轴对称图形(两条),即是中心对称图形, 又

4、是轴对称图形(四条),矩形,菱形,正方形,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等且有一个角是直角,(1),(2),(3),(4),平行四边形,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:,矩形,菱形,正方形,矩形,菱形,正 方 形,平行四边形,正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.,平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:,性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.,已知:如图,四边形ABCD是正方形. 求证:正方形ABCD四边都相等,四个角都是直角.,A,B

5、,C,D,证明:四边形ABCD是正方形. A=90, AB=BC (正方形的定义). 又正方形是平行四边形. 正方形是矩形(矩形的定义), 正方形是菱形(菱形的定义). A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD.,已知:如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证:AO=BO=CO=DO,ACBD.,A,B,C,D,O,证明:正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形. ACBD.,例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.,求证:A

6、BO、BCO、CDO、 DAO是全等的等腰直角三角形.,证明: 四边形ABCD是正方形, AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO. ABO、 BCO、 CDO、 DAO都 是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO.,利用正方形的性质求线段相等,1.已知正方形ABCD,若E为对角线上一点,连接EA、EC. EA = EC吗?说说你的理由.,E,1,2,?,?,解: EA = EC .理由如下: 四边形ABCD是正方形, AB=BC,1=2=45, 又BE=BE ABECBE AE=CE.,例2 如图,在正方形ABCD中, BEC是等边三角形, 求证: EADEDA15 .,证

7、明: BEC是等边三角形, BE=CE=BC,EBC=ECB=60, 四边形ABCD是正方形, AB=BC=CD,ABC=DCB=90, AB=BE=CE=CD, ABE= DCE=30, ABE,DCE是等腰三角形, BAE= BEA= CDE= CED=75, EAD= EDA=90-75=15.,利用正方形的性质求角度,2.已知:如图,在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CEAF于E,交AD于M, 求证:MFD45,证明:CEAF, ADCAEM90 又CMDAME, 12 又CDAD,ADFMDC RtCDMRtADF (ASA) DM=DF. DMF=DFM ADF=90,MF

8、D=45.,例3 如图四边形ABCD和DEFG都是正方形,试说明AE=CG.,解:,四边形ABCD是正方形,AD=CD,又四边形DEFG也是正方形,DE=DG,又正方形的每个内角为90,ADEEDCCDGEDC,,ADECDG,AEDCGD.,AE=CG,利用正方形的性质求线段相等,3.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=BF 求证:(1)AE=AF;(2)EAAF,证明:(1) ABCD是正方形 AD=AB,ADE=ABF=90 在ABF与ADE中,AD=AB, ADE=ABF=90,DE=BF ABFADE(SAS) AE=AF ,1=3 (2

9、)2+3=90 1+2=90 , EAFA,(2018吉林)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,求证:ABEBCF,巩固练习,证明:四边形ABCD是正方形, AB=BC,ABE=BCF=90, 在ABE和BCF中, ABEBCF,AB=BC,ABE=BCF,BE=CF,1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质( ) A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等,B,D,3在正方形ABC中,ADB= ,DAC= , BO

10、C= . 4.在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,则EBC的度数是 .,45,90,22.5,第3题图,第4题图,45,5.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO2,求正方形的周长与面积,四边形ABCD是正方形, ACBD,OAOD2. 在RtAOD中,由勾股定理,得 正方形的周长为4AD , 面积为AD28.,解:,如图,在正方形ABCD中,P为BD上一点,PEBC于E, PFDC于F.试说明:AP=EF.,解:,连接PC,AC.,又PEBC , PFDC,四边形ABCD是正方形,FCE=90, AC垂直平分BD,四边形PECF是矩形,PC=EF.

11、,AP=PC.,AP=EF.,四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边ADE,求BEC的大小,解:当等边ADE在正方形ABCD外部时,如图, ABAE,BAE9060150. AEB15. BEC60151530;,同理可得DEC15.,当等边ADE在正方形ABCD内部时,如图, ABAE,BAE906030, AEB75. 同理可得DEC75. BEC360757560150. 综上所述,BEC的大小为30或150.,1.四个角都是直角,2.四条边都相等,3.对角线相等且互相垂直平分,正方形的性质,性质,定义,有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.,正方形的判

12、定,第二课时,返回,宁宁在商场看中了一块正方形纱巾,但不知是否是正方形,只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角,另一组对角能完全重合,看宁宁还在犹豫,又拉起纱巾的另一组对角,剩下的那组对角也能完全重合.阿姨认为这样就能证明纱巾是正方形,把纱巾给了宁宁,你认为宁宁手上的纱巾一定是正方形吗?,2. 能应用正方形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题.,1. 理解并掌握正方形的判定方法 .,素养目标,做一做:把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.,正方形,菱形,【讨论】 满足怎样条件的菱形是正方形?,正方形,一个角是直角,或对角线相等,正方形的判定,已知:如

13、图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证:四边形ABCD是正方形.,求证:对角线相等的菱形是正方形.,四边形ABCD是菱形, AB=BC=CD=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形, DAB=ABC=BCD=ADC=90, 四边形ABCD是正方形.,证明:,做一做:准备一张矩形的纸片,按照下图折叠,然后展开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证验证.,正方形,【讨论】满足怎样条件的矩形是正方形?,矩形,正方形,一组邻边相等,或对角线互相垂直,矩形,已知:如图,在矩形ABCD中,AC , DB是

14、它的两条对角线, ACDB. 求证:矩形ABCD是正方形. 证明:四边形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO ,ADC=90. ACDB, AD=AB=BC=CD, 矩形ABCD是正方形.,求证:对角线互相垂直的矩形是正方形.,正方形,矩形,有一组邻边相等,菱形,有一个角是直角,有一组邻边相等,且有一个角是直角,正方形常见的判定方法,先证是矩形再证是菱形或先证是菱形再证是矩形,平行四边形,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形

15、、菱形、正方形的判定小结,例1 已知:如图,ABC中,C=90,CD平分ACB,DEBC于E,DFAC于F 求证:四边形CFDE是正方形,C=90, DEBC于E,DFAC于F DEC=90, DFC=90, 四边形CFDE有三个直角, 它是矩形 又CD平分ACB DE=DF 四边形CFDE是正方形,由矩形到正方形的识别,证明:, DEAC,DFBC , DEC=DFC=90. 又 C=90 , 四边形ADFC是矩形. 过点D作DGAB,垂足为G. AD是CAB的平分线 DEAC,DGAB, 同理得DG=DF, 四边形EDFC是正方形.,1.如图,在直角三角形中,C=90,A、B的平分线交于点

16、D.DEAC,DFBC.求证:四边形CEDF为正方形.,A,B,C,D,E,F,G,证明:, DE=DG.,ED=DF,,证明:四边形ABCD为正方形, OB=OC,ABO=BCO =45, BOC=90=COH+BOH. EGFH, COH=BOE, OE=OH.,例2 如图,EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证:四边形EFGH是正方形.,由菱形到正方形的识别,OE=OF=OG=OH. EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,BOE+BOH=90,CHO BEO,同理可证:OE=OF=OG,又EGFH,四边形EFGH为菱形.,四边形EFGH为正方形.,2.在正方形AB

17、CD中,点E、F、M、N分别在各边上,且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么?,四边形ABCD是正方形, AB=BC=CD=DA, A=B=C=D=90. AE=BF=CM=DN, AN=BE=CF=DM.,解:,四边形EFMN是正方形.,理由如下:,AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM, AENBFECMFDNM, EN=FE=MF=NM,ANE=BEF, 四边形EFMN是菱形, NEF=180(AEN+BEF) =180(AEN+ANE) =18090=90. 四边形EFMN是正方形 .,在AEN、BFE、CMF、DNM中,,(2019北京)

18、在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合),对于任意矩形 ABCD,下面四个结论中, 存在无数个四边形MNPQ是平行四边形; 存在无数个四边形MNPQ是矩形; 存在无数个四边形MNPQ是菱形; 至少存在一个四边形MNPQ是正方形 所有正确结论的序号是_,1.在四边形ABCD中,O是对角线的交点,能判定这个四边形是正方形的是( ),AAC=BD,ABCD,AB=CD BADBC,A=C CAO=BO=CO=DO,ACBD DAO=CO,BO=DO,AB=BC,C,A,B,C,D,O,2.下列判断中正确的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.四角相等

19、的四边形是正方形 C.对角线垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,D,3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( ) A当AB=BC时,四边形ABCD是菱形 B当ACBD时,四边形ABCD是菱形 C当ABC=90时,四边形ABCD是矩形 D当AC=BD时,四边形ABCD是正方形,D,4.如图,在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M、N. (1) 求证:ADB=CDB; (2) 若ADC=90,求证:四边形MPND是正方形.,证明:(1)AB = BC,B

20、D平分ABC. 1=2. ABDCBD (SAS). ADB=CDB.,1,2,(2)ADC=90, 又PMAD,PNCD, PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB, ADB=CDB=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是正方形.,如图,ABC中,D是BC上任意一点,DEAC,DFAB (1)试说明四边形AEDF的形状,并说明理由 (2)连接AD,当AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形,为什么?,解:(1)DEAC,DFAB, 四边形AEDF为平行四边形. (2)四边形ADEF为菱形, AD平分BAC, 则AD平分BAC时,四边形AEDF为菱形.,(3)

21、在(2)的条件下,当ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形,不说明理由,解:由四边形AEDF为正方形 BAC=90, ABC是以BC为斜边的直角三角形即可,如图,正方形ABCD,动点E在AC上,AFAC,垂足为A,AF=AE (1)求证:BF=DE; (2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变),问四边形AFBE是什么特殊四边形?说明理由,(1)证明:正方形ABCD, AB=AD,BAD=90, AFAC,EAF=90, 在ABF 和ADE中,ABAD ,BAFEAD ,AFAE , ABFADE(SAS),,BAF=EAD,,BF=DE;,(2)解:当点E运动到AC的中点时,四边形AFBE是正方形, 理由:点E运动到AC的中点,AB=BC, BEAC,BE=AE= AC, AF=AE, 又BEAC,FAE=BEC=90, BEAF, 四边形AFBE是平行四边形, FAE=90,AF=AE, 四边形AFBE是正方形,BE=AF=AE.,BE=AF,,5种判定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一组邻边相等,或对角线互相垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,

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