1、高中数学专题06 圆锥曲线及其性质【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为ABCD【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，故选D【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率【母题原题2】【2018年高考天津卷文数】已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为ABCD 【答案】A【解析】设双曲
2、线的右焦点坐标为，则，由可得，不妨设，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得，则，则，双曲线的离心率，据此可得，则双曲线的方程为故选A【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出的值即可解答本题时，由题意首先求得A，B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程【母题原题3】【2017年高考天津卷文数】已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为
3、2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为ABCD【答案】D【解析】由题意可得，解得，故双曲线方程为故选D【名师点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题解题时要注意，之间满足的关系：，否则很容易出现错误求解本题可先画出大致图形，根据题中所给的几何关系，结合双曲线的几何性质，得到，满足的关系式，联立求解可得，的值【母题原题4】【2017年高考天津卷文数】设抛物线的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A若，则圆的方程为_【答案】【解析】由题可设圆心坐标为，则，焦点，解得，由于圆与轴得正半轴相切，则，所求圆的圆心为，半径为1，所求圆的方程为【名师点睛
4、】本题设计比较巧妙，考查了圆、抛物线的方程，同时还考查了向量数量积的坐标表示，本题只有一个难点，就是，会不会用向量的数量积表示，根据图象，可设圆心为，那么方程就是，若能用向量的数量积表示角，即可求得，问题也就迎刃而解了另外，本题也可通过解三角形求得，即，进而可得圆的方程【命题意图】要求掌握三种圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、几何图形、标准方程及简单性质主要考查考生的数学运算能力及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用【命题规律】圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义、标准方程、几何性质一直是高考的命题热点，其中标准方程和几何性质考查比较频繁；直线与圆锥曲线的位置关系常与向量、圆、三角
5、形等知识综合考查，难度中等偏上【答题模板】1求椭圆的方程有两种方法（1）定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程（2）待定系数法一般步骤如下：第一步，作判断根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，或者是两个坐标轴上都有可能（这时需要分类讨论）第二步，设方程根据上述判断设方程为+=1（ab0）或+=1（ab0）第三步，找关系根据已知条件，建立关于a，b，c的方程（组）（注意椭圆中固有的等量关系c2=a2b2）第四步，定结果解方程组，将解代入所设方程，得所求注意当椭圆焦点位置不明确时，有两种解决方法：（1）分类讨论；（2）设椭圆方程为+=1（m0，n0，mn），或
6、Ax2+By2=1（A0，B0，且AB）2求椭圆离心率或其范围的方法（1）求出a，b或a，c的值，代入e2=1（）2直接求；（2）根据条件得到关于a，b，c的齐次等式（不等式），结合b2=a2c2转化为关于a，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）；（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率3求双曲线的标准方程的方法（1）定义法根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2=a2+b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a注意：求
7、轨迹方程时，满足条件：|PF1|PF2|=2a（02a|F1F2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍（2）待定系数法一般步骤如下：判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；设：根据中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；列：根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；解：求解得到方程常见设法：与双曲线=1共渐近线的双曲线方程可设为=（0）；若双曲线的渐近线方程为y=x，则双曲线方程可设为=（0）；若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为+=1（mn0）；与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1（b2kb0）有共同焦点的双曲线方程可设为+=
8、1（b2a2）注意：当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mnb0）+=1（ab0）图形几何性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点F1（c，0），F2（c，0）F1（0，c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）A1（0，a），A2（0，a），B1（b，0），B2（b，0）轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=（0，1
9、）a，b，c的关系c2=a2b22椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为，通径是最短的焦点弦3若P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|ac，a+c，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c，最小值为ac4椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y）与两焦点构成的PF1F2叫作焦点三角形如图所示，设F1PF2=（1）当P为短轴端点时，最大（2）=|PF1|PF2|sin =b2=b2tan=c|y0|，当|y0|=b，即P为短轴端点时，取最大值，最大值为bc（3）焦点三角形的周长为2（a+c）5双曲线的几何性质标准方程=1（a0，b0）=1（a0，b0）图形几何性质范围|x|a，yR|y|a
10、，xR对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1（c，0），F2（c，0）F1（0，c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A2（a，0）A1（0，a），A2（0，a）轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=（1，+）渐近线y=xy=xa，b，c的关系a2=c2b26等轴双曲线（1）定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线（2）性质：a=b；e=；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项7共轭双曲线（1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条
11、双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线（2）性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于18双曲线中常用结论：（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=ca（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a（4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则=，其中为F1PF2（5）若P是双曲线=1（a0，b0）右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为
12、双曲线的左、右焦点，I为PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a9抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2=2px（p0）y2=2px（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O（0，0）焦点F（，0）F（，0）F（0，）F（0，）准线方程x=x=y=y=范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR离心率e=110抛物线的焦半径与焦点弦抛物线上任意一点P（x0，y0）到焦点F的距离称为焦半径过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦设两交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则有以下结论：标准方程y2=2px（p0）y2=2px
13、（p0）x2=2py（p0）x2=2py（p0）焦半径长+x0x0+y0y0焦点弦长p+（x1+x2）p（x1+x2）p+（y1+y2）p（y1+y2）11抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2=2px（p0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则（1）x1x2=，y1y2=p2；（2）|AF|=，|BF|=，弦长|AB|=x1+x2+p=（为弦AB的倾斜角）；（3）+=；（4）以弦AB为直径的圆与准线相切；（5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切；（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上【方法总结】1椭圆定义的应用（1）利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆（2
14、）利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题利用定义和余弦定理可求得|PF1|PF2|，进而求得焦点三角形的周长和面积（3）已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解2椭圆几何性质的应用技巧（1）与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形（2）椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如，axa，byb，0e1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系3双曲线定义的应用（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦
15、点有关的问题，如最值问题、距离问题（3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值；2a0，b0）或=1（a0，b0）的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令=0，得y=x；或令=0，得y=x反之，已知渐近线方程为y=x，可设双曲线方程为=（a0，b0，0）（2）求双曲线的离心率或其范围的方法求a，b，c的值，由=1+直接求e列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2=c2a2消去b，然后转化成关于e的方程（或不等式）求解（3）双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k=5利用抛物线的定义可解决的常见问题（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关
16、的轨迹是否为抛物线（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和点到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化注意：一定要验证定点是否在定直线上6应用的规律注意：建立函数关系后，一定要根据题目的条件探求自变量的取值范围，即函数的定义域7抛物线的标准方程的求法（1）定义法根据抛物线的定义，确定p的值（系数p是指焦点到准线的距离），再结合焦点位置，求出抛物线方程标准方程有四种形式，要注意选择（2）待定系数法对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2=2px（p0）和y2=2px（p0）两种情况求解焦点在x轴上的抛物线方程可设成y2=mx（m0），若m0，开口向右；若m|BF|，
17、y00，y0=2，代入y=（x），解得m=8，故选A【名师点睛】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线的定义和双曲线的性质，属于中档题10【天津市南开区20182019学年度高三第二学期基础训练数学】以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是ABCD【答案】B【解析】不妨设点M位于第一象限，由双曲线的性质可得，由圆的弦长公式可得：，结合可得，整理变形可得：，即，双曲线中，故故选B【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐
18、次式，结合b2=c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)11【天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟数学】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于，则该椭圆的标准方程为ABCD【答案】A【解析】由题意设椭圆方程为，则2b=2，b=1，又，可得，可得a2=5椭圆C的方程为故选A【名师点睛】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，是基础题12【天津市红桥区2019届高三二模数学】己知点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率为AB2C
19、D【答案】A【解析】由题意和抛物线、双曲线的对称性可设点A的坐标为，根据抛物线的定义有，所以点A的坐标为，由题意可知：点A在渐近线上，所以有，而，所以有，故选A【名师点睛】本题考查了求双曲线的离心率，解决本题的关键是利用抛物线的定义求出点的坐标13【天津市和平区20182019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知双曲线的右焦点为，直线与一条渐近线交于点，的面积为为原点），则抛物线的准线方程为ABCD【答案】C【解析】不妨取双曲线的渐近线方程为，与直线联立可得，即，由题意可得，抛物线方程为，其准线方程为故选C【名师点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，抛物线准线方程的求解等知识，意在考
20、查学生的转化能力和计算求解能力14【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考（一)数学】已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于两点，且的面积为（为原点），则双曲线的方程为ABCD【答案】D【解析】，即焦点为，即焦点为，又的面积为，时，得，由得，双曲线的方程为，故选D【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论15【天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学】设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲
21、线的一条渐近线的距离为ABCD【答案】B【解析】抛物线的焦点为(0，2)，的一个焦点为(0，2)，焦点在轴上，根据双曲线三个参数的关系得到，又离心率为2，即，解得，此双曲线的渐近线方程为，则双曲线的一条渐近线方程为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为：故选B【名师点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力16【天津市十二重点中学2018届高三下学期毕业班联考（二)数学】已知双曲线：，其中，双曲线半焦距为，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长为为双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为ABCD【答案】B【解析】抛物线的准
22、线：，它正好经过双曲线：的左焦点，准线被双曲线截得的弦长为：，则双曲线的渐近线方程为故选B【名师点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，考查了转化能力和运算能力，属于中档题17【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2019届高三上学期期末考试数学】抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为ABCD【答案】A【解析】抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线为，可得两交点为，即有三角形的面积为，解得，故选A【名师点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题18【天津市河北区2019届高中学业水平考试模拟数学】抛物线
23、的准线方程是ABCD【答案】C【解析】由题意，抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p=1，准线方程是故选C【名师点睛】本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题19【天津南开中学第五次月考数学】已知双曲线的左右焦点分别为，若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为，则双曲线的离心率为AB2CD【答案】C【解析】由题意，把直线代入双曲线的方程，可得，所以，又由，整理得，又由，可得，解得或（舍去），即有，故选C【名师点睛】本题考查了双曲线的几何性质离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法
24、：求出的值，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)20【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)数学】已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，则此双曲线的方程为ABCD【答案】A【解析】因为以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点的坐标为(4，3)，所以坐标原点到交点(4，3)距离等于半径c，即因为(4，3)在双曲线渐近线上，所以，因为，所以，即双曲线的方程为，故选A【名师点睛】本题考查双曲线渐近线与标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题21【天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试（一)数学】已知P为抛物线上一点，点M，若，则POM（O为坐标原点）的面积为_【答案】【解析】抛物线C的方程为y2=4x，M（，0）为抛物线的焦点，设P（m，n），根据抛物线的定义，得|PM|=m4，即m4，解得m=3，点P在抛物线C上，得n2=4324，n=2，|OM|，POF的面积为S|OM|n|=2故答案为：【名师点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键
