1、第八篇 平面解析几何专题8.09圆锥曲线的最值、范围、证明问题【考试要求】1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的综合问题的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.【知识梳理】1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标
2、函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.【微点提醒】1.直线与椭圆位置关系的有关结论(供选用)(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与
3、椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.2.直线与抛物线位置关系的有关结论(供选用)(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与
4、抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|y1y2|.()【教材衍化】2.(选修21P71例6改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.(选修21P69例4改编)已知倾斜角为60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.【真题体验】4.(2019浙江八校联考)抛物线yax2与直线ykxb(k0)交于A，B两点，且这两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x
5、3，则()A.x3x1x2 B.x1x2x1x3x2x3C.x1x2x30 D.x1x2x2x3x3x105.(2019唐山市五校联考)直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为()A.3 B.2 C. D.6.(2019潍坊二模)已知抛物线yax2(a0)的准线为l，l与双曲线y21的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AB|4，则a_.【考点聚焦】考点一最值问题角度1利用几何性质求最值【例11】 设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最
6、大值分别为()A.9，12 B.8，11C.8，12 D.10，12角度2利用基本不等式或二次函数求最值【例12】 (2019郑州二模)已知动圆E经过点F(1，0)，且和直线l：x1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；(2)已知点A(3，0)，若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求ABC面积的最大值.【规律方法】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用 圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(
7、解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【训练1】 已知椭圆1(ab0)，F1，F2为它的左、右焦点，P为椭圆上一点，已知F1PF260，SF1PF2，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆方程；(2)已知T(4，0)，过T的直线与椭圆交于M，N两点，求MNF1面积的最大值.考点二范围问题【例2】 (2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(xb0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，
8、N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围.考点三证明问题【例3】 (2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0).(1)证明：k0，b0)的交点个数是()A.1 B.2 C.1或2 D.02.已知双曲线C：1(a0，b0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy0 B.x2y0C.xy0 D.xy03.抛物线yx2上的点到直线xy20的最短距离为()A. B. C.2 D.4.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最
9、大值为()A.2 B.3 C.6 D.85.(2018太原一模)已知抛物线y24x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为，则|AB|()A.6 B.8 C.12 D.16二、填空题6.(2019北京朝阳区一模)抛物线C：y22px(p0)的准线与x轴的交点为M，过点M作C的两条切线，切点分别为P，Q，则PMQ_.7.过双曲线1(a0，b0)的右顶点且斜率为2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_.8.(2019深圳二模)设过抛物线y22px(p0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y28px(p0)交于A，B两点，直线OP
10、与抛物线y28px(p0)的另一个交点为Q，则_.三、解答题9.设椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任意一点，且MF1F2的周长是42.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的左、右顶点分别为A，B，过椭圆C1上的一点D作x轴的垂线交x轴于点E，若点C满足，连接AC交DE于点P，求证：|PD|PE|.10.如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019烟台一模)已知抛物线M：y24x，过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线
11、于A，B两点(点A在第一象限)，且交抛物线的准线于点E.若2，则直线l的斜率为()A.3 B.2 C. D.112.(2019河北百校联考)已知抛物线y24x，过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A，B两点(A在第一象限内)，3 ，过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G，则ABG的面积为()A. B. C. D.13.(一题多解)(2018全国卷)已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若AMB90，则k_.14.(2018天津卷)设椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：ykx(k0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若BPM的面积是BPQ面积的2倍，求k的值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知抛物线y24x，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，则|AF|的最小值为_.16
