1、第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布专题10.05古典概型【考试要求】1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.【知识梳理】1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事
2、件A的概率P(A).4.古典概型的概率公式P(A).【微点提醒】概率的一般加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时P(AB)0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从3，2，1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正
3、方形中心距离小于或等于1”的概率.()【教材衍化】2.(必修3P133A1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为()A. B. C. D.非以上答案3.(必修3P134B1改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是_.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是_.【真题体验】4.(2018全国卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.35.(2017山东卷)从分别标有1，2，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每
4、次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.6.(2019杭州模拟改编)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为_.【考点聚焦】考点一基本事件及古典概型的判断【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型
5、？【规律方法】古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识.【训练1】 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜
6、，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？考点二简单的古典概型的概率【例2】 (1)(2019深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为()A. B. C. D.(2)(2019湖南六校联考)设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个蓝球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分，现从该袋子中任取(有放回，且每球取得的机会均等)2个球，则取出此2球所得分数之和为3分的概率为_.【规律方法】计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率p.【训练2】 (1)(201
7、8衡阳八中、长郡中学联考)同学聚会上，某同学从爱你一万年十年父亲单身情歌四首歌中选出两首歌进行表演，则爱你一万年未被选取的概率为()A. B. C. D.(2)用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数， 若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字，则出现a1a2a4a5的五位数的概率为_.考点三古典概型的交汇问题多维探究角度1古典概型与平面向量的交汇【例31】 设平面向量a(m，1)，b(2，n)，其中m，n1，2，3，4，记“a(ab)”为事件A，则事件A发生的概率为()A. B. C. D.角度2古典概型与【解析】几何的交汇【例32】 将一颗骰子先后
8、投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_.角度3古典概型与函数的交汇【例33】 已知函数f(x)x3ax2b2x1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B. C. D.角度4古典概型与统计的交汇【例34】 (2019济宁模拟)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(注：分组区间为60，70)，70，80)，80，90)，90，100)(1)若得分大于或等于
9、80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.【规律方法】求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，一般步骤为：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定基本事件个数；(4)代入古典概型的概率公式求解.【训练3】 (2019黄冈质检)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：若抽取学生n人，成绩分为A(优秀)，B(良好)，C(及格)三个等级，设x，y分别表示数学成绩与物理
10、成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有14401064人，数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07.(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；(2)已知a7，b6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率.【反思与感悟】1.古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个.2.确定基本事件个数的方法列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.【易错防范】1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是
11、不是等可能的.2.对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.集合A2，3，B1，2，3，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()A. B. C. D.2.设m，n0，1，2，3，4，向量a(1，2)，b(m，n)，则ab的概率为()A. B. C. D.3.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在平面直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点在直线2xy1上的概率为()A. B. C.
12、 D.4.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A. B. C. D.5.(2019北京朝阳区调研)将一个骰子连续掷3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为()A. B. C. D.二、填空题6.(2019天津和平区模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是_.7.若m是集合1，3，5，7，9，11中任意选取的一
13、个元素，则椭圆1的焦距为整数的概率为_.8.某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_.三、解答题9.甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲：9，9，11，11，乙：X，8，9，10，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同求这两名同学的植树总棵数为19的概率.10.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随
14、机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知函数f(x)ax2bx1，其中a2，4，b1，3，从f(x)中随机抽取1个，则它在(，1上是减函数的概率为()A. B. C. D.012.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A. B. C. D.13.(2018江西重点中学盟校联考)从左至右
15、依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是_.14.(2019日照一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元.该公司对近60天， 每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围0100101200201300301400401500包裹件数(近似处理)50150250350450天数6630126(1)某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；(2)该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？【新高考创新预测】15.(多填题)在政治、历史、地理、物理、化生物、技术7门中任选3门.若甲同学在物理、化学中至少选一门，则甲的不同选法种数为_，乙、丙两名同学都不选物理的概率是_.11
