1、第一篇 集合与不等式专题1.01 集合【考纲要求】1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.【知识梳理】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分
2、别为和.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意xA，都有xB，则AB或BA.(2)真子集：若AB，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则或.(3)相等：若AB，且BA，则AB.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示集合表示x|xA，或xBx|xA，且xBx|xU，且xA4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA.(2)AAA，AA，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.【微点提醒】1.若有限集A中
3、有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个.2.子集的传递性：AB，BCAC.3.ABABAABBUAUB.4.U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB).【疑难辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21.()(2)若x2，10，1，则x0，1.()(3)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立.()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.()【答案】 (1)(2)(3)(4)【解析】(1)错误.x|yx21R，y|yx211，)，(x，y)|yx21是抛物线yx21上的点集.(2)错误. 当x1时，不满足集
4、合中元素的互异性.(3)正确.(4)错误. 含有n个元素的集合有2n1个真子集.【教材衍化】2.(必修1P12A5改编)若集合PxN|x，a2，则()A.aP B.aPC.aP D.aP【答案】D【解析】因为a2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以aP，只有D正确.3.(必修1P12B1改编)已知集合M0，1，2，3，4，N1，3，5，则集合MN的子集的个数为_.【答案】64【解析】由已知得MN0，1，2，3，4，5，所以MN的子集有2664(个).【真题体验】4. （2019全国卷）已知集合，则=（ ）ABCD【答案】C【解析】. (2018全国卷)已知集合Ax|x2x20，
5、则RA()A.x|1x2 B.x|1x2C.x|x2 D.x|x1x|x2【答案】B【解析】法一Ax|x2x20x|(x2)(x1)0x|x2，所以RAx|1x2.法二因为Ax|x2x20，所以RAx|x2x20x|1x2.5.(2019菏泽模拟)若Ax|x4k1，kZ，Bx|x2k1，kZ，则集合A与B的关系是A_B.【答案】【解析】因为集合Bx|x2k1，kZ，Ax|x4k1，kZ，所以B表示奇数集，A表示除以4余1的整数集，所以AB.6.(2017全国卷改编)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，则AB中元素的个数为_.【答案】2【解析】集合A表示圆心在原点的
6、单位圆上所有点的集合，集合B表示直线yx上所有点的集合，易知直线yx和圆x2y21相交，且有2个交点，故AB中有2个元素.【考点聚焦】考点一集合的基本概念【例1】 (1)(2019湖北四地七校联考)若集合Mx|x|1，Ny|yx2，|x|1，则()A.MN B.MNC.MN D.NM(2)若xA，则A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M的所有非空子集中具有“伙伴关系”的集合的个数是()A.1 B.3 C.7 D.31【答案】(1)D(2)B【解析】(1)易知Mx|1x1，Ny|yx2，|x|1y|0y1，NM.(2)具有伙伴关系的元素组是1，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：1，.【规律方法】1
7、.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018全国卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则A中元素的个数为()A.9 B.8 C.5 D.4(2)设集合Ax|(xa)21，且2A，3A，则实数a的取值范围为_.【答案】(1)A(2)(1，2【解析】(1)由题意知A(1，0)，(0，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)，(1，1)，(1，1)，
8、(1，1)，(1，1)，故集合A中共有9个元素.(2)由题意得解得所以1a2.考点二集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合Ax|y，xR，Bx|xm2，mA，则()A.AB B.BAC.AB D.BA(2)(2019杭州调研)已知集合Ax|x25x140，集合Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_.【答案】(1)B(2)(，4【解析】(1)易知Ax|1x1，所以Bx|xm2，mAx|0x1.因此BA.(2)Ax|x25x140x|2x7.当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，如图.则解得20，N，则()A.MN B.NMC.MN D.MNR(2)若将本例(2)的集合A改为
9、Ax|x25x140.其它条件不变，则m的取值范围是_.【答案】(1)C(2)(，26，)【解析】(1)集合Mx|x2x0x|x1或x1或x0x|x7.当B时，有m12m1，则m2.当B时，若BA，则或解之得m6.综上可知，实数m的取值范围是(，26，).考点三集合的运算角度1集合的基本运算【例31】 (1)已知集合Ax|x0，则()A.AB B.ABC.AB D.ABR(2)(2018天津卷)设全集为R，集合Ax|0x2，Bx|x1，则A(RB)()A.x|0x1 B.x|0x1C.x|1x2 D.x|0x0，Ax|x2，所以AB，ABx|x2.(2)因为Bx|x1，所以RBx|x1，因为A
10、x|0x2，所以A(RB)x|0x1.角度2抽象集合的运算【例32】 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得AC，BUC”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由图可知，若“存在集合C，使得AC，BUC”，则一定有“AB”；反过来，若“AB”，则一定能找到集合C，使AC且BUC.角度3集合的新定义问题【例33】 若集合A具有以下性质：()0A，1A；()若xA，yA，则xyA，且x0时，A.则称集合A是“好集”.给出下列说法：集合B1，0，1是“好集”；有理数集Q是“好集”；设集合A是“好集”，若xA，yA，
11、则xyA.其中，正确说法的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为1B，1B，所以112B，这与2B矛盾；有理数集Q是“好集”，因为0Q，1Q，对任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0时，Q，所以有理数集Q是“好集”；因为集合A是“好集”，所以0A，若xA，yA，则0yA，即yA，所以x(y)A，即xyA.【规律方法】1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特
12、别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.【训练3】 (1)(2019延安模拟)若全集U2，1，0，1，2，A2，2，Bx|x210，则图中阴影部分所表示的集合为()A.1，0，1 B.1，0C.1，1 D.0(2)已知集合Ax|x2x0，Bx|a1xa，若AB只有一个元素，则a()A.0 B.1 C.2 D.1或2【答案】(1)D(2)C【解析】(1)Bx|x2101，1，阴影部分所表示的集合为U(AB).AB2，1
13、，1，2，全集U2，1，0，1，2，所以U(AB)0.(2)易知A0，1，因为AB只有一个元素，所以a11，解得a2.【反思感悟】1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.【易错防范】1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合
14、的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.【分层训练】 【基础巩固题组】 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2018全国卷)已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB()A.0 B.1 C.1，2 D.0，1，2【答案】C【解析】由题意知，Ax|x1，则AB1，2.2.(2019滨州模拟)设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为()A.3
15、B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因为A1，2，3，B4，5，又Mx|xab，aA，bB，M5，6，7，8，即M中有4个元素.3.(2019日照质检)已知全集U0，1，2，3，4，若A0，2，3，B2，3，4，则(UA)(UB)()A. B.1 C.0，2 D.1，4【答案】B【解析】因为全集U0，1，2，3，4，A0，2，3，B2，3，4，所以UA1，4，UB0，1，因此(UA)(UB)1.4.设集合Ax|1x2，Bx|x0，则下列结论正确的是()A.(RA)Bx|x1B.ABx|1x0C.A(RB)x|x0D.ABx|x2，RBx|x0，(R A)Bx|x1，A项不正确.ABx|1x
16、0，B项正确，检验C、D错误.5.已知集合AxN|x22x80，Bx|2x8，则集合AB的子集的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因为AxN|x22x800，1，2，3，4，Bx|x3，所以AB3，4，所以集合AB的子集个数为4.6.已知集合Mx|y，Nx|ylog2(2x)，则R (MN)()A.1，2) B.(，1)2，)C.0，1 D.(，0)2，)【答案】B【解析】由题意可得Mx|x1，Nx|x2，MNx|1x2，R (MN)x|x1或x2.7.设集合A(x，y)|xy1，B(x，y)|xy3，则满足M(AB)的集合M的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3
17、【答案】C【解析】由得AB(2，1).由M(AB)，知M或M(2，1).8.(一题多解)已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围为()A.(0，1 B.1，)C.(0，1) D.(1，)【答案】B【解析】法一由题意知，Ax|ylg(xx2)x|xx20x|0x1，Bx|x2cx0x|0x0x|0x1，结合选项，取c1，得Bx|0x1，则AB成立，可排除C、D；取c2，得Bx|0x0，则(R S)T_.【答案】x|2x3【解析】易知Sx|x2或x3，R Sx|2x3，因此(R S)Tx|2x3.10.(2017江苏卷)已知集合A1，2，Ba，a23，若AB1，
18、则实数a的值为_.【答案】1【解析】由AB1知，1B，又a233，则a1.11.(2019济南质检)已知集合A1，3，4，7，Bx|x2k1，kA，则集合AB中元素的个数为_.【答案】6【解析】A1，3，4，7，Bx|x2k1，kA，B3，7，9，15，AB1，3，4，7，9，15，集合AB中元素的个数为6.12.集合Ax|x0x|x0，则ABx|1x0.【能力提升题组】(建议用时：10分钟)13.(2018河南百校联盟联考)若集合Ax|ylg(3xx2)，B，则A(R B)等于()A.(0，2 B.(2，3) C.(3，5) D.(2，1)【答案】A【解析】由3xx20，得0x3，则A(0，
19、3)，B(2，5)，则R B(，25，)，故A(R B)(0，2.14.已知集合Ax|y，Bx|axa1，若ABA，则实数a的取值范围为()A.(，32，) B.1，2C.2，1 D.2，)【答案】C【解析】集合Ax|yx|2x2，因ABA，则BA，又B，所以有所以2a1.15.已知集合A(x，y)|x24y，B(x，y)|yx，则AB的真子集个数是_.【答案】3【解析】由得或即AB(0，0)，(4，4)，AB的真子集个数为2213.16.集合UR，Ax|x2x20，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分所表示的集合是_.【答案】1，2)【解析】易知A(1，2)，B(，1)，UB1，)，A(UB)1，2).因此阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2.【新高考创新预测】17.(多填题，答案不唯一型)若集合a，b，c，d1，2，3，4，且下列四个关系：a1；b1；c2；d4有且只有一个是正确的.请写出满足上述条件的一个有序数组(a，b，c，d)_，符合条件的全部有序数组(a，b，c，d)的个数是_.【答案】(3，2，1，4)(填一个正确的即可)6【解析】显然不可能正确，否则都正确；若正确，则或若正确，此时若正确此时有所以符合条件的数组共6个.12
