1、专题专题 13 创新型问题创新型问题 专题点拨专题点拨 1.创新型数学问题，主要涉及两大类：一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题 或陌生的问题；另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题. 不论是哪一类创新型数学问题，都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间的联系，运用数 学知识方法，发现解题策略，展开充分的数学推理，完成数学问题提出的研究目标 2创新型数学问题常见的问题类型： (1)构造型问题：一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题； (2)归纳猜想型问题：通过归纳-猜想-证明实现从特殊到一般的推理论证； (3)新概念型问题：问题情境
2、给出新定义、新法则(公式、原理)，考察学习者的及时学习能力，一般需 要先理解新概念，再运用新概念解决问题； 存在判断型：这类问题常见的有：探究给定的结论是否成立；探究符合条件的数学对象是否存在； 类比已有结论探索获得的新命题是否成立； (4)探究性问题：探究一类问题的解题策略，或是探究给定命题是否正确，或可否进一步推广 总之，解决创新型数学问题，既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直觉思维、演绎推 理与合情推理，需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问题 例题剖析例题剖析 【例 1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：x1，x2，x5为
3、递增数列，且 (i1，2，5)；数列乙：y1，y2，y3，y4，y5满足 yi1，1(i1，2，5) 则在甲、乙的所有内积中( ) A当且仅当 x11，x23，x35，x47，x59 时，存在 16 个不同的整数，它们同为奇数 B当且仅当 x12，x24，x36，x48，x510 时，存在 16 个不同的整数，它们同为偶数 C不存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 D存在 16 个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数 【答案】D 【解析】 对于 A， 取特例 x11， x22， x33， x44， x55 时， 此时内积可能为： 15， 13， 11， 9， 7， 5， 3，
4、 1，1，3，5，7，9，11，13，15，16 个都是奇数，所以 A 不对， 对于 B， 取特例 x11， x22， x33， x44， x56 时， 此时内积可能为： 16， 14， 12， 10， 8， 6， 4， 2，2，4，6，8，10，12，14，16，16 个都是偶数，所以 B 不对， 对于 C，由 A，B 可知存在 16 个整数，要么同为奇数，要么同为偶数，所以 C 不对， 故选：D 【例 2】已知数列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，其中第一项是 20，接下来的两 项是 20、21，再接下来的三项是 20、21、22，以此类推，若 N100 且
5、该数列的前 N 项和为 2 的整数幂， 则 N 的最小值为( ) A440 B330 C220 D110 【答案】A 【解析】由题意可知：第一项，120； 第二项，20，21； 第三项，20，21，22； ； 第 n 项，20，21，22，2n 1； 根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为： 211，221，231，2n1； 每项含有的项数为：1，2，3，n； 总共的项数为 N1+2+3+n= (+1) 2 ； 所有项数的和为 Sn(211)+(221)+(231)+(2n1)(21+22+23+2n)n= 2(12) 12 n2n+12n， 由题意可知：2n+1为 2 的整数幂，只需
6、将2n 消去即可， 则1+2+(2n)0 时，解得 n1，总共有(1:1)1 2 +23 项，不满足 N100， 1+2+4+(2n)0 时，解得 n5，总共有(1:5)5 2 +318 项，不满足 N100， 1+2+4+8+(2n)0 时，解得 n13，总共有(1:13)13 2 +495 项，不满足 N100， 1+2+4+8+16+(2n)0 时，解得 n29，总共有(1:29)29 2 +5440 项，满足 N100， N 的最小值为 440 故选：A 【例 3】在投票评选活动中，经常采用简单多数原则或积分原则简单多数原则指 n 个评委对 k 个候选人进 行一次表决，各自选出认为最佳
7、的人选，按每个候选人所得票数不同决定不同名次；积分原则指每个评 委先对 k 个候选人排定顺序，第一名得 k 分，第二名得 k1 分，依此类推，最后一名得 1 分，每个候 选人最后的积分多少决定各自名次右表是 33 个评委对 A、B、C、D 四名候选人做出的选择，则按不同 原则评选，名次不相同的候选人是 【答案】A、C 【解析】按简单多数原则排名，A 的得票数为：7+310， B 的得票数为：9，C 的得票数为：6+511， D 的得票数为：3， 第一名为 C，第二名为 A，第三名为 B，第四名为 D； 按积分原则排名，A 的得分为：63+74+51+34+93+3399， B 的得分为：62+
8、72+52+32+94+3181， C 的得分为：64+73+54+31+91+3283， D 的得分为：61+71+53+33+92+3467， 第一名为 A，第二名为 C，第三名为 B，第四名为 D 按不同原则评选，名次不相同的候选人是 A、C 故答案为：A、C 【例 4】和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹， 在空间直角坐标系 Oxyz 中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程 F(x，y，z)0 (1)类比平面解析几何中直线的方程，写出过点 P(x0，y0，z0)，法向量为 = (，)的平面的点法式 方程；平面的一般方程；在 x，y，z 轴
9、上的截距分别为 a，b，c 的平面的截距式方程(不需要证明)； (2)设 F1，F2为空间中的两个定点，|F1F2|2C，我们将曲面定义为满足|PF1|+|PF2|2a(ac)的动点 P 的 轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系 Oxyz，求曲面的方程； (3)对(2)中的曲面，指出和证明曲面 C 的对称性，并画出曲面的直观图 【解析】(1)A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)0， Ax+By+Cz+D0； + + =1； (2)以两个定点 F1，F2的中点为坐标原点 O， 以 F1，F2所在的直线为 y 轴，以线段 F1F2的垂直平分线为 x 轴， 以与 xoy 平面垂直的直线为 z 轴
10、， 建立空间直角坐标系 Oxyz，如图所示， 设 F1(0，c，0)，F2(0，c，0)， 设 P 的坐标为(x，y，z)，可得|F1F2|2c0， |1 |+|2 |2a(ac)， 2+ ( + )2+ 2+ 2+ ( )2+ 2=2a， 移项得 2+ ( + )2+ 2=2a2+ ( )2+ 2， 两边平方，得 a2+ ( )2+ 2=a2cy， 两边平方，整理得 2 2;2 + 2 2 + 2 2;2 =1， 令2 2=b，得 2 2 + 2 2 + 2 2 =1 因此，可得曲面的方程为 2 2 + 2 2 + 2 2 =1 (3)由于点(x，y，z)关于坐标原点 O 的对称点(x，y，
11、z)也满足方程， 说明曲面关于坐标原点 O 对称； 由于点(x，y，z)关于 x 轴的对称点(x，y，z)也满足方程， 说明曲面关于 x 轴对称；同理，曲面关于 y 轴对称；关于 z 轴对称 由于点(x，y，z)关于 xOy 平面的对称点(x，y，z)也满足方程， 说明曲面关于 xOy 平面对称；同理，曲面关于 xOz 平面对称；关于 yOz 平面对称 由以上的讨论，可得曲面的直观图如右上图所示 【例 5】设 f(x)是定义在 D 上的函数，若对任何实数 (0，1)以及 D 中的任意两数 x1、x2，恒有 f(x1+(1 )x2)f(x1)+(1)f(x2)，则称 f(x)为定义在 D 上的
12、C 函数 (1)证明函数1() = 2是定义域上的 C 函数； (2)判断函数2() = 1 (0)是否为定义域上的 C 函数，请说明理由； (3)若 f(x)是定义域为 R 的函数，且最小正周期为 T，试证明 f(x)不是 R 上的 C 函数 【解析】证明：(1)对任意实数 x1，x2及 (0，1)， 有 f(x1+(1)x2)f(x1)(1)f(x2)= (1+ (1 )2)2 12 (1 )22 = (1 )12 (1 )22+ 2(1 )12= (1 )(1 2)2 0， 即 f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2)， 1() = 2是 C 函数； (2)2() = 1 (0
13、)不是 C 函数， 说明如下(举反例)： 取 x13，x21， = 1 2， 则 f(x1+(1)x2)f(x1)(1)f(x2)= (2) 1 2 (3) 1 2 (1) = 1 2 + 1 6 + 1 2 0， 即 f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2)， 2() = 1 (0)不是 C 函数； (3)假设 f(x)是 R 上的 C 函数， 若存在 mn 且 m，n0，T)，使得 f(m)f(n) (i)若 f(m)f(n)， 记 x1m，x2m+T， = 1 ，则 01，且 nx1+(1)x2， 那么 f(n)f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2)f(m)+(1)
14、f(m+T)f(m)， 这与 f(m)f(n)矛盾； (ii)若 f(m)f(n)， 记 x1n，x2nT， = 1 ，同理也可得到矛盾； f(x)在0，T)上是常数函数， 又因为 f(x)是周期为 T 的函数， 所以 f(x)在 R 上是常数函数，这与 f(x)的最小正周期为 T 矛盾 所以 f(x)不是 R 上的 C 函数 【例 6】一个三角形数表按如下方式构成(如图：其中项数 n5)：第一行是以 4 为首项，4 为公差的等差数 列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：f(2，1)f(1，1)+f(1，2)；f(i，j)为数表中第 i 行的第 j 个数 (1)求第 2 行和第 3
15、 行的通项公式 f(2，j)和 f(3，j)； (2)证明：数表中除最后 2 行以外每一行的数都依次成等差数列； (3)求 f(i，1)关于 i(i1，2，n)的表达式 【解析】(1)f(2，j)f(1，j)+f(1，j+1)2f(1，j)+48j+4(j1，2，n1)，f(3，j)f(2，j)+f(2，j+1)2f(2， j)+82(8j+4)+816j+16(j1，2，n2) (2)由已知，第一行是等差数列， 假设第 i(1in3)行是以 di为公差的等差数列， 则由 f(i+1， j+1)f(i+1， j)f(i， j+1)+f(i， j+2)f(i， j)+f(i， j+1)f(i，j
16、+2)f(i，j)2di(常数) 知第 i+1(1in3)行的数也依次成等差数列，且其公差为 2di 综上可得，数表中除最后 2 行以外每一行都成等差数列 (3)由于 d14，di2di1(i2)，所以= 4 2;1= 2:1， 所以 f(i，1)f(i1，1)+f(i1，2)2f(i1，1)+di1， 由;1= 2得 f(i，1)2f(i1，1)+2i， 于是(，1) 2 = (;1，1) 2;1 + 1，即(，1) 2 (;1，1) 2;1 = 1， 又因为(1，1) 21 = 4 2 = 2， 所以， 数列*(，1) 2 +是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， 所以， (，1) 2
17、 = 2 + ( 1) = + 1，所以 f(i，1)(i+1)2i(i1，2，n) 巩固训练巩固训练 一、一、填空题填空题 1.天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸； 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起， 地支由“子”起，比如第一年为“甲子” ，第二年为“乙丑” ，第三年为“丙寅” ，以此类推排列到 “癸酉” 后， 天干回到 “甲” 重新开始， 即 “甲戌” ，“乙亥” ， 之后地支回到 “子” 重新开始， 即 “
18、丙子” ， ， 以此类推 已知 2017 年为丁酉年，那么到改革开放 100 年时，即 2078 年为 年 【答案】戊戌 【解析】天干是以 10 为构成的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 从 2017 年到 2078 年经过 61 年，且 2017 年为丁酉年，以 2017 年的天干和地支分别为首项， 则 61106 余 1，则 2078 的天干为戊， 61125 余 1，则戊的地支为戌， 故答案为：戊戌 2.类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合于 O 点 且单位长度相同)称为斜坐标系，在斜坐标系 xOy 中，若 =x1 +y2 (
19、其中1 、2 分别为斜坐标系的 x 轴，y 轴正方向上的单位向量，x，yR)，则点 P 的坐标为(x，y)，若在斜坐标系 xOy 中，xOy60， 点 M 的坐标为(1，2)，则点 M 到原点 O 的距离为 【答案】7 【解析】由题意可得 = 1 +22 ， 平方可得 2= 1 2+4 2 2+4 1 2 1+4+411 1 2 =7， 可得| |= 7， 故答案为：7 二、选择题二、选择题 3.朱载堉(15361611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作律学新说中 制成了最早的“十二平均律” 十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律 制，各相
20、邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律” 即一个八度 13 个音，相邻两个音之间 的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的 2 倍设第三个音的频率为 f1，第七个音的频率 为 f2，则 2 1 =( ) A4 2 12 B 16 11 C2 8 D2 3 【答案】D 【解析】依题意 13 个音的频率成等比数列，记为an，设公比为 q， 则 a13= 112，且 a132a1，q= 2 1 12， 2 1 = 7 3 =q4(2 1 12)4= 2 3 故选：D 4.已知数列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、，其中第一项是 20，接下来的两项是 20
21、、21，再接下来的三项是 20、21、22，以此类推，若 N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，则 N 的最小值为( ) A440 B330 C220 D110 【答案】A 【解析】由题意可知：第一项，120； 第二项，20，21； 第三项，20，21，22； ； 第 n 项，20，21，22，2n 1； 根据等比数列前 n 项和公式，求得每项和分别为： 211，221，231，2n1； 每项含有的项数为：1，2，3，n； 总共的项数为 N1+2+3+n= (+1) 2 ； 所有项数的和为 Sn(211)+(221)+(231)+(2n1)(21+22+23+2n)n= 2(12)
22、 12 n2n+12n， 由题意可知：2n+1为 2 的整数幂，只需将2n 消去即可， 则1+2+(2n)0 时，解得 n1，总共有(1:1)1 2 +23 项，不满足 N100， 1+2+4+(2n)0 时，解得 n5，总共有(1:5)5 2 +318 项，不满足 N100， 1+2+4+8+(2n)0 时，解得 n13，总共有(1:13)13 2 +495 项，不满足 N100， 1+2+4+8+16+(2n)0 时，解得 n29，总共有(1:29)29 2 +5440 项，满足 N100， N 的最小值为 440 故选：A 三、解答题三、解答题 5.已知集合= *|22:1且 = 7 +
23、 3， + (1)用列举法写出集合 P4； (2)是否存在自然数 n，使得 2019Pn，若存在，求出 n 的值，并写出此时集合 P 的元素个数；若不存在，请 说明理由 【解析】(1)当 n4 时，4= *|1632且 = 7 + 3， + =17，24，31； (2)2102019211，且 20192887+3， 故 2019P10， 此时 P10中最小的元素为：1029，最大的元素为：2044， 2044;1029 7 + 1 =146， 故此时 P 中共有元素 146 个 6.阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 sin(+)sincos+cossin sin()sincosc
24、ossin 由+得 sin(+)+sin()2sincos 令 +A，B 有 = + 2 ，= 2 代入得 sinA+sinB2sin: 2 cos; 2 类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cosAcosB2sin: 2 sin; 2 【解析】证明：因为 cos(+)coscossinsin， cos()coscos+sinsin 得 cos(+)cos()2sinsin 令 +A，B 有 = + 2 ，= 2 ， 代入得 cosAcosB2sin : 2 sin; 2 7.绝对值|x1|的几何意义是数轴上的点 x 与点 1 之间的距离，那么对于实数 a，b， |xa|+|x
25、b|的几何意义即为点 x 与点 a、点 b 的距离之和 (1)直接写出|x1|+|x2|与|x1|+|x2|+|x3|的最小值，并写出取到最小值时 x 满足的条件； (2)设 a1a2an是给定的 n 个实数，记 S|xa1|+|xa2|+|xan|试猜想：若 n 为奇数，则当 x 时 S 取到最小值；若 n 为偶数，则当 x 时，S 取到最小值；(直接写出结果即可) (3)求|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|的最小值 【解析】(1)|x1|+|x2|的最小值为 1，当且仅当 x1，2时，取最小值； |x1|+|x2|+|x3|的最小值 2，当且仅当 x2 时，取最小值； (2)设
26、 a1a2an是给定的 n 个实数，记 S|xa1|+|xa2|+|xan| 归纳可得： 若 n 为奇数，则当 x+1 2 时 S 取到最小值； 若 n 为偶数，则当 x 2， 2:1时，S 取到最小值； (3)|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|x1|+2|x 1 2|+3|x 1 3|+10|x 1 10|， 共 55 项，其中第 28 项为|x 1 7|， 故 x= 1 7时，|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|取最小值： 6 7 + 5 7 + 4 7 + 3 7 + 2 7 + 1 7 +0+ 1 7 + 2 7 + 3 7 = 27 7 ， 故答案为：+1 2
27、， 2， 2:1 8.定义： 若对任意 x1、 x2(a， b)恒有 f(1:2 2 ) (1):(2) 2 成立， 则称函数 f(x)在(a， b)上为凹函数 已 知 凹 函 数 具 有 如 下 性 质 ： 对 任 意 的xi(a ， b)(i 1 ， 2 ， ， n) ， 必 有 f(1:2: ) (1):(2):() 成立，其中等号当且仅当 x1x2xn时成立 (1)试判断 yx2是否为 R 上的凹函数，并说明理由； (2)若 x、y、zR，且 x+y+2z8，试求 x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时 x、y、z 的值 【解析】(1)f(1:2 2 )(1:2 2 )2，(1)
28、:(2) 2 = 12:22 2 12:22:212 4 = (1:2 2 )2， 对任意 x1、x2(a，b)恒有 f(1:2 2 ) (1):(2) 2 成立， yx2是 R 上的凹函数； (2)(x2+y2+2z2)(12+12+22)(x+y+2z)264， x2+y2+2z216，当且仅当 xy= 2z 时取等号， x+y+2z8，xy4(2 +1)，z4+22 x2+y2+2z2的最小值为 16，此时 xy4(2 +1)，z4+22 9.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项， 将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继 项按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”
29、 、 “四边形数列”，将构图边数增加到 n 可 得到“n 边形数列” ，记它的第 r 项为 P(n，r)， (1)求使得 P(3，r)36 的最小 r 的取值； (2)问 3725 是否为“五边形数列”中的项，若是，为第几项；若不是，说明理由； (3)试推导 P(n，r)关于 n、r 的解析式 【解析】(1)由题意得：P(3，r)= (+1) 2 ， 令(:1) 2 36， 即 r2+r720， 解得 r8， 最小的 r9 (2)“五边形数列”中的项，P(5，r)r+ 3(1) 2 ， 令 r+ 3(1) 2 =3725，r 为正整数， 解得：r50， 故 3725 是“五边形数列”中的第 5
30、0 项， (3)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 a1， 则 P(n，r)a1+a2+ar， 从图中可以得出：后一层的点在 n2 条边上增加了一点，两条边上的点数不变， 所以 ar+1arn2，a11 所以ar是首项为 1 公差为 n2 的等差数列， 所以 P(n，r)r+ (2)(1) 2 10.如果数列an同时满足： (1)各项均为正数， (2)存在常数 k， 对任意 nN*， an+12anan+2+k 都成立， 那么， 这样的数列an我们称之为“类等比数列” 由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” 问： (1)若数列an为“类等比数列” ，且 k(a2a1)2，
31、求证：a1、a2、a3成等差数列； (2)若数列an为“类等比数列” ，且 k0，a2、a4、a5成等差数列，求2 1的值； (3)若数列an为“类等比数列” ，且 a1a，a2b(a、b 为常数)，是否存在常数 ，使得 an+an+2an+1对任 意 nN*都成立？若存在，求出 ；若不存在，说明理由 【解析】(1)证明：当 = (2 1)2时，在:1 2 = :2+ 中，令 n1 得2 2 = 13+ (2 1)2， 即13 212+ 1 2 = 0 a10，a32a2+a10，即 a2a1a3a2 故 a1，a2，a3成等差数列； (2)解：当 k0 时，:1 2 = :2， 数列an的各
32、项均为正数数列an是等比数列， 设公比为 q(q0)， a2，a4，a5成等差数列，a2+a52a4， 即1 + 14= 213a10，q0， q32q2+10，(q1)(q2q1)0， 解得 q1 或 = 15 2 (舍去负值) 2 1 = = 1或2 1 = = 1:5 2 ； (3)存在常数 = 2+2 ，使 an+an+2an+1 (或从必要条件入手1+ 3= 2 = 1+3 2 = 1+2 2 1 2 = 2+2 ) 证明如下：:1 2 = :2+ ， 2 = ;1:1+ ， 2， ， :1 2 2 = :2 ;1:1，即:1 2 + ;1:1= :2+ 2， 由于 an0，此等式两
33、边同除以 anan+1，得:2 :1 = ;1:1 ， :2 :1 = ;1:1 = = 1:3 2 ， 即当 nN*都有+ :2= 1+3 2 :1， 1= ，2= ，:1 2 = :2+ ，3= 2 1:3 2 = : 2; = 2:2; 对任意 nN*都有 an+an+2an+1， 此时 = 2+2 11.若数列an满足：对任意 nN*，都有1 2 :1 2，则称an为“紧密”数列 (1)设某个数列为“紧密”数列，其前 5 项依次为 1、3 2、 9 4、x、 81 16，求 x 的取值范围 (2)若数列bn的前项和 Sn= 1 4(n 2+3n)(nN*)，判断bn是否为“紧密”数列，
34、并说明理由 (3)设n是公比为 q 的等比数列，前 n 项和为 Tn，且n与Tn均为“紧密”数列，求实数 q 的取值范围 【解析】(1)由题意得：1 2 9 4 2，1 2 81 16 2， 解得81 32 x 9 2； (2)由 Sn= 1 4(n 2+3n)(nN*)， n2 时，anSnSn1= 1 4(n 2+3n)1 4(n1) 2+3(n1)=1 2n+ 1 2， n1 时，a1S11，对于上式也成立 因此 an= 1 2n+ 1 2 :1 = :2 :1 =1+ 1 +1 因为对任意 nN*，0 1 +1 1 2，即 11+ 1 +1 3 2， 1 2 :1 2(nN*)， 即数
35、列an是“紧密数列” ； (3)由n是公比为 q 的等比数列，得 q= +1 ， n是“紧密数列” ，1 2 :1 2， 当 q1 时，TnnC1， :1 = :1 =1+ 1 ， 11+ 1 2， q1 时，数列Tn为“紧密数列” ，故 q1 满足题意 当 q1 时，Tn= 1(1) 1 ， 则 :1 = 1;:1 1; ， 数列Tn为“紧密数列” ， 1 2 1;:1 1; 2，对任意 nN*恒成立 ()当1 2 q1 时，1 2(1q n)1qn+12(1qn)， 即 (2 1) 1 ( 2) 1，对任意 nN *恒成立 0qnq1，02q11， 3 2 q21， qn(2q1)q1，q
36、n(q2)q(q2) 1 2 ( 3 2) = 3 4 1， 当1 2 q1 时， (2 1) 1 ( 2) 1，对任意 nN *恒成立 ()当 1q2 时，1 2(q n1)qn+112(qn1)， 即 (2 1) 1 ( 2) 1，对任意 nN *恒成立 qnq1，2q11，1q20 (2 1) 1 ( 2) 1，解得 q1， 又 1q2，此时 q 不存在 综上所述，q 的取值范围是1 2，1 12.给定整数 n(n4)，设集合 Aa1，a2，an记集合 Bai+aj|ai，ajA，1ijn (1)若 A3，0，1，2，求集合 B； (2)若 a1，a2，an构成以 a1为首项，d(d0)
37、为公差的等差数列，求证：集合 B 中的元素个数为 2n1； (3)若 a1，a2，an构成以 3 为首项，3 为公比的等比数列，求集合 B 中元素的个数及所有元素之和 【解析】(1)A3，0，1，2，由题意可得集合 B6，3，2，1，0，1，2，3，4； (2)证明：若 a1，a2，an构成以 a1为首项，d(d0)为公差的等差数列， 可得等差数列an为递增数列， 由等差数列的性质 am+anap+aq，可得 B 中的元素个数为 n+ (1) 2 (1)(2) 2 =2n1； (3)a1，a2，an构成以 3 为首项，3 为公比的等比数列，可得 an3n， 由 3n为奇数，即有 3m+3n23
38、k，mn，k 为不相等的正整数，则方程无实数解， 3m+3n3l+3k，mn，k，l 为不相等的正整数，则方程无实数解， 若 ai，aj相等，可得 a1，a2，an中取两个相等的，和为 n 个； 若 ai，aj不相等，可得 a1，a2，an中取两个，和为 C 2 = (1) 2 个； B 中的元素个数为 n+ (1) 2 = 2+ 2 个； 则 B 中元素的和为 2(3+32+3n)+(n1)(3+32+3n)(n+1)(3+32+3n) (n+1)3(1;3 ) 1;3 = 3(:1)(3;1) 2 13.将 n 个数 a1，a2，an的连乘积 a1a2an记为 1ai，将 n 个数 a1，
39、a2，an 的和 a1+a2+an记 为 1 ，nN*) (1)若数列xn满足 x11，xn+1x 2 +xn，nN*，设 Pn= 1 1 1+，Sn= 1 1 1+ 求 P5+S5； (2)用x表示不超过 x 的最大整数， 例如22， 3.43， 1.82 若数列xn满足 x11， xn+1x 2 +xn， nN*，求 2019 1 1+的值； (3)设定义在正整数集 N*上的函数 f(n)满足，当(;1) 2 n (+1) 2 (mN*)时，f(n)m，问是否存在正 整数n， 使得 1 () =2019？若存在， 求出n的值； 若不存在， 说明理由(已知 1 2= (+1)(2+1) 6
40、) 【解析】(1)数列xn满足 x11，xn+1x 2 +xn，nN*，设 Pn= 1 1 1+，Sn= 1 1 1+， 可得 xn+1x 2 +xnxn(1+xn)， 即有 1 1: = :1， 1 :1 = 1 (1:) = 1 1 1:， 即有 1 1: = 1 1 :1， 可得 P5+S5= 1 2 2 3 5 6 + 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 5 1 6 = 1 6 + 1 1 1 6 = 1 6 +1 1 6 =1； (2)x11，xn+1x 2 +xn，nN*，可得 1: =1 1 1+ =1( 1 1 :1)， 可得 2019 1 1+ =2009( 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 2019 1 2020) 20191+ 1 2020 =2018+ 1 2020， 由 x11，xn+1x 2 +xn1，可得 1 2020(0，1)， 即有 2019 1 1+2018； (3)设定义在正整数集 N*上的函数 f(n)满足， 当(;1) 2 n
