2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题13 创新型问题(解析版)

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资源描述

1、专题专题 13 创新型问题创新型问题 专题点拨专题点拨 1.创新型数学问题,主要涉及两大类:一类是创造性地综合运用已有的数学知识经验解决新情境问题 或陌生的问题;另一类是发现新问题(或提出新问题)并解决提出的新问题. 不论是哪一类创新型数学问题,都需要强化阅读理解,充分研究问题的条件和结论之间的联系,运用数 学知识方法,发现解题策略,展开充分的数学推理,完成数学问题提出的研究目标 2创新型数学问题常见的问题类型: (1)构造型问题:一般需要构造不等式、方程、代数式、函数、图形等加以解决的问题; (2)归纳猜想型问题:通过归纳-猜想-证明实现从特殊到一般的推理论证; (3)新概念型问题:问题情境

2、给出新定义、新法则(公式、原理),考察学习者的及时学习能力,一般需 要先理解新概念,再运用新概念解决问题; 存在判断型:这类问题常见的有:探究给定的结论是否成立;探究符合条件的数学对象是否存在; 类比已有结论探索获得的新命题是否成立; (4)探究性问题:探究一类问题的解题策略,或是探究给定命题是否正确,或可否进一步推广 总之,解决创新型数学问题,既需要阅读理解问题情境,也需要综合运用逻辑思维与直觉思维、演绎推 理与合情推理,需要运用特殊与一般、归纳与类比等数学思维方式解决问题 例题剖析例题剖析 【例 1】称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积,设:数列甲:x1,x2,x5为

3、递增数列,且 (i1,2,5);数列乙:y1,y2,y3,y4,y5满足 yi1,1(i1,2,5) 则在甲、乙的所有内积中( ) A当且仅当 x11,x23,x35,x47,x59 时,存在 16 个不同的整数,它们同为奇数 B当且仅当 x12,x24,x36,x48,x510 时,存在 16 个不同的整数,它们同为偶数 C不存在 16 个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数 D存在 16 个不同的整数,要么同为奇数,要么同为偶数 【答案】D 【解析】 对于 A, 取特例 x11, x22, x33, x44, x55 时, 此时内积可能为: 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3,

4、 1,1,3,5,7,9,11,13,15,16 个都是奇数,所以 A 不对, 对于 B, 取特例 x11, x22, x33, x44, x56 时, 此时内积可能为: 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2,2,4,6,8,10,12,14,16,16 个都是偶数,所以 B 不对, 对于 C,由 A,B 可知存在 16 个整数,要么同为奇数,要么同为偶数,所以 C 不对, 故选:D 【例 2】已知数列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、,其中第一项是 20,接下来的两 项是 20、21,再接下来的三项是 20、21、22,以此类推,若 N100 且

5、该数列的前 N 项和为 2 的整数幂, 则 N 的最小值为( ) A440 B330 C220 D110 【答案】A 【解析】由题意可知:第一项,120; 第二项,20,21; 第三项,20,21,22; ; 第 n 项,20,21,22,2n 1; 根据等比数列前 n 项和公式,求得每项和分别为: 211,221,231,2n1; 每项含有的项数为:1,2,3,n; 总共的项数为 N1+2+3+n= (+1) 2 ; 所有项数的和为 Sn(211)+(221)+(231)+(2n1)(21+22+23+2n)n= 2(12) 12 n2n+12n, 由题意可知:2n+1为 2 的整数幂,只需

6、将2n 消去即可, 则1+2+(2n)0 时,解得 n1,总共有(1:1)1 2 +23 项,不满足 N100, 1+2+4+(2n)0 时,解得 n5,总共有(1:5)5 2 +318 项,不满足 N100, 1+2+4+8+(2n)0 时,解得 n13,总共有(1:13)13 2 +495 项,不满足 N100, 1+2+4+8+16+(2n)0 时,解得 n29,总共有(1:29)29 2 +5440 项,满足 N100, N 的最小值为 440 故选:A 【例 3】在投票评选活动中,经常采用简单多数原则或积分原则简单多数原则指 n 个评委对 k 个候选人进 行一次表决,各自选出认为最佳

7、的人选,按每个候选人所得票数不同决定不同名次;积分原则指每个评 委先对 k 个候选人排定顺序,第一名得 k 分,第二名得 k1 分,依此类推,最后一名得 1 分,每个候 选人最后的积分多少决定各自名次右表是 33 个评委对 A、B、C、D 四名候选人做出的选择,则按不同 原则评选,名次不相同的候选人是 【答案】A、C 【解析】按简单多数原则排名,A 的得票数为:7+310, B 的得票数为:9,C 的得票数为:6+511, D 的得票数为:3, 第一名为 C,第二名为 A,第三名为 B,第四名为 D; 按积分原则排名,A 的得分为:63+74+51+34+93+3399, B 的得分为:62+

8、72+52+32+94+3181, C 的得分为:64+73+54+31+91+3283, D 的得分为:61+71+53+33+92+3467, 第一名为 A,第二名为 C,第三名为 B,第四名为 D 按不同原则评选,名次不相同的候选人是 A、C 故答案为:A、C 【例 4】和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹, 在空间直角坐标系 Oxyz 中,空间平面和曲面的方程是一个三元方程 F(x,y,z)0 (1)类比平面解析几何中直线的方程,写出过点 P(x0,y0,z0),法向量为 = (,)的平面的点法式 方程;平面的一般方程;在 x,y,z 轴

9、上的截距分别为 a,b,c 的平面的截距式方程(不需要证明); (2)设 F1,F2为空间中的两个定点,|F1F2|2C,我们将曲面定义为满足|PF1|+|PF2|2a(ac)的动点 P 的 轨迹,试建立一个适当的空间直角坐标系 Oxyz,求曲面的方程; (3)对(2)中的曲面,指出和证明曲面 C 的对称性,并画出曲面的直观图 【解析】(1)A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)0, Ax+By+Cz+D0; + + =1; (2)以两个定点 F1,F2的中点为坐标原点 O, 以 F1,F2所在的直线为 y 轴,以线段 F1F2的垂直平分线为 x 轴, 以与 xoy 平面垂直的直线为 z 轴

10、, 建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示, 设 F1(0,c,0),F2(0,c,0), 设 P 的坐标为(x,y,z),可得|F1F2|2c0, |1 |+|2 |2a(ac), 2+ ( + )2+ 2+ 2+ ( )2+ 2=2a, 移项得 2+ ( + )2+ 2=2a2+ ( )2+ 2, 两边平方,得 a2+ ( )2+ 2=a2cy, 两边平方,整理得 2 2;2 + 2 2 + 2 2;2 =1, 令2 2=b,得 2 2 + 2 2 + 2 2 =1 因此,可得曲面的方程为 2 2 + 2 2 + 2 2 =1 (3)由于点(x,y,z)关于坐标原点 O 的对称点(x,y,

11、z)也满足方程, 说明曲面关于坐标原点 O 对称; 由于点(x,y,z)关于 x 轴的对称点(x,y,z)也满足方程, 说明曲面关于 x 轴对称;同理,曲面关于 y 轴对称;关于 z 轴对称 由于点(x,y,z)关于 xOy 平面的对称点(x,y,z)也满足方程, 说明曲面关于 xOy 平面对称;同理,曲面关于 xOz 平面对称;关于 yOz 平面对称 由以上的讨论,可得曲面的直观图如右上图所示 【例 5】设 f(x)是定义在 D 上的函数,若对任何实数 (0,1)以及 D 中的任意两数 x1、x2,恒有 f(x1+(1 )x2)f(x1)+(1)f(x2),则称 f(x)为定义在 D 上的

12、C 函数 (1)证明函数1() = 2是定义域上的 C 函数; (2)判断函数2() = 1 (0)是否为定义域上的 C 函数,请说明理由; (3)若 f(x)是定义域为 R 的函数,且最小正周期为 T,试证明 f(x)不是 R 上的 C 函数 【解析】证明:(1)对任意实数 x1,x2及 (0,1), 有 f(x1+(1)x2)f(x1)(1)f(x2)= (1+ (1 )2)2 12 (1 )22 = (1 )12 (1 )22+ 2(1 )12= (1 )(1 2)2 0, 即 f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2), 1() = 2是 C 函数; (2)2() = 1 (0

13、)不是 C 函数, 说明如下(举反例): 取 x13,x21, = 1 2, 则 f(x1+(1)x2)f(x1)(1)f(x2)= (2) 1 2 (3) 1 2 (1) = 1 2 + 1 6 + 1 2 0, 即 f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2), 2() = 1 (0)不是 C 函数; (3)假设 f(x)是 R 上的 C 函数, 若存在 mn 且 m,n0,T),使得 f(m)f(n) (i)若 f(m)f(n), 记 x1m,x2m+T, = 1 ,则 01,且 nx1+(1)x2, 那么 f(n)f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2)f(m)+(1)

14、f(m+T)f(m), 这与 f(m)f(n)矛盾; (ii)若 f(m)f(n), 记 x1n,x2nT, = 1 ,同理也可得到矛盾; f(x)在0,T)上是常数函数, 又因为 f(x)是周期为 T 的函数, 所以 f(x)在 R 上是常数函数,这与 f(x)的最小正周期为 T 矛盾 所以 f(x)不是 R 上的 C 函数 【例 6】一个三角形数表按如下方式构成(如图:其中项数 n5):第一行是以 4 为首项,4 为公差的等差数 列,从第二行起,每一个数是其肩上两个数的和,例如:f(2,1)f(1,1)+f(1,2);f(i,j)为数表中第 i 行的第 j 个数 (1)求第 2 行和第 3

15、 行的通项公式 f(2,j)和 f(3,j); (2)证明:数表中除最后 2 行以外每一行的数都依次成等差数列; (3)求 f(i,1)关于 i(i1,2,n)的表达式 【解析】(1)f(2,j)f(1,j)+f(1,j+1)2f(1,j)+48j+4(j1,2,n1),f(3,j)f(2,j)+f(2,j+1)2f(2, j)+82(8j+4)+816j+16(j1,2,n2) (2)由已知,第一行是等差数列, 假设第 i(1in3)行是以 di为公差的等差数列, 则由 f(i+1, j+1)f(i+1, j)f(i, j+1)+f(i, j+2)f(i, j)+f(i, j+1)f(i,j

16、+2)f(i,j)2di(常数) 知第 i+1(1in3)行的数也依次成等差数列,且其公差为 2di 综上可得,数表中除最后 2 行以外每一行都成等差数列 (3)由于 d14,di2di1(i2),所以= 4 2;1= 2:1, 所以 f(i,1)f(i1,1)+f(i1,2)2f(i1,1)+di1, 由;1= 2得 f(i,1)2f(i1,1)+2i, 于是(,1) 2 = (;1,1) 2;1 + 1,即(,1) 2 (;1,1) 2;1 = 1, 又因为(1,1) 21 = 4 2 = 2, 所以, 数列*(,1) 2 +是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, 所以, (,1) 2

17、 = 2 + ( 1) = + 1,所以 f(i,1)(i+1)2i(i1,2,n) 巩固训练巩固训练 一、一、填空题填空题 1.天干地支纪年法,源于中国中国自古便有十天干与十二地支 十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸; 十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起, 地支由“子”起,比如第一年为“甲子” ,第二年为“乙丑” ,第三年为“丙寅” ,以此类推排列到 “癸酉” 后, 天干回到 “甲” 重新开始, 即 “甲戌” ,“乙亥” , 之后地支回到 “子” 重新开始, 即 “

18、丙子” , , 以此类推 已知 2017 年为丁酉年,那么到改革开放 100 年时,即 2078 年为 年 【答案】戊戌 【解析】天干是以 10 为构成的等差数列,地支是以 12 为公差的等差数列, 从 2017 年到 2078 年经过 61 年,且 2017 年为丁酉年,以 2017 年的天干和地支分别为首项, 则 61106 余 1,则 2078 的天干为戊, 61125 余 1,则戊的地支为戌, 故答案为:戊戌 2.类似平面直角坐标系,我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合于 O 点 且单位长度相同)称为斜坐标系,在斜坐标系 xOy 中,若 =x1 +y2 (

19、其中1 、2 分别为斜坐标系的 x 轴,y 轴正方向上的单位向量,x,yR),则点 P 的坐标为(x,y),若在斜坐标系 xOy 中,xOy60, 点 M 的坐标为(1,2),则点 M 到原点 O 的距离为 【答案】7 【解析】由题意可得 = 1 +22 , 平方可得 2= 1 2+4 2 2+4 1 2 1+4+411 1 2 =7, 可得| |= 7, 故答案为:7 二、选择题二、选择题 3.朱载堉(15361611),是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家,他的著作律学新说中 制成了最早的“十二平均律” 十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律 制,各相

20、邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律” 即一个八度 13 个音,相邻两个音之间 的频率之比相等,且最后一个音是最初那个音的频率的 2 倍设第三个音的频率为 f1,第七个音的频率 为 f2,则 2 1 =( ) A4 2 12 B 16 11 C2 8 D2 3 【答案】D 【解析】依题意 13 个音的频率成等比数列,记为an,设公比为 q, 则 a13= 112,且 a132a1,q= 2 1 12, 2 1 = 7 3 =q4(2 1 12)4= 2 3 故选:D 4.已知数列 1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、,其中第一项是 20,接下来的两项是 20

21、、21,再接下来的三项是 20、21、22,以此类推,若 N100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂,则 N 的最小值为( ) A440 B330 C220 D110 【答案】A 【解析】由题意可知:第一项,120; 第二项,20,21; 第三项,20,21,22; ; 第 n 项,20,21,22,2n 1; 根据等比数列前 n 项和公式,求得每项和分别为: 211,221,231,2n1; 每项含有的项数为:1,2,3,n; 总共的项数为 N1+2+3+n= (+1) 2 ; 所有项数的和为 Sn(211)+(221)+(231)+(2n1)(21+22+23+2n)n= 2(12)

22、 12 n2n+12n, 由题意可知:2n+1为 2 的整数幂,只需将2n 消去即可, 则1+2+(2n)0 时,解得 n1,总共有(1:1)1 2 +23 项,不满足 N100, 1+2+4+(2n)0 时,解得 n5,总共有(1:5)5 2 +318 项,不满足 N100, 1+2+4+8+(2n)0 时,解得 n13,总共有(1:13)13 2 +495 项,不满足 N100, 1+2+4+8+16+(2n)0 时,解得 n29,总共有(1:29)29 2 +5440 项,满足 N100, N 的最小值为 440 故选:A 三、解答题三、解答题 5.已知集合= *|22:1且 = 7 +

23、 3, + (1)用列举法写出集合 P4; (2)是否存在自然数 n,使得 2019Pn,若存在,求出 n 的值,并写出此时集合 P 的元素个数;若不存在,请 说明理由 【解析】(1)当 n4 时,4= *|1632且 = 7 + 3, + =17,24,31; (2)2102019211,且 20192887+3, 故 2019P10, 此时 P10中最小的元素为:1029,最大的元素为:2044, 2044;1029 7 + 1 =146, 故此时 P 中共有元素 146 个 6.阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(+)sincos+cossin sin()sincosc

24、ossin 由+得 sin(+)+sin()2sincos 令 +A,B 有 = + 2 ,= 2 代入得 sinA+sinB2sin: 2 cos; 2 类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明: cosAcosB2sin: 2 sin; 2 【解析】证明:因为 cos(+)coscossinsin, cos()coscos+sinsin 得 cos(+)cos()2sinsin 令 +A,B 有 = + 2 ,= 2 , 代入得 cosAcosB2sin : 2 sin; 2 7.绝对值|x1|的几何意义是数轴上的点 x 与点 1 之间的距离,那么对于实数 a,b, |xa|+|x

25、b|的几何意义即为点 x 与点 a、点 b 的距离之和 (1)直接写出|x1|+|x2|与|x1|+|x2|+|x3|的最小值,并写出取到最小值时 x 满足的条件; (2)设 a1a2an是给定的 n 个实数,记 S|xa1|+|xa2|+|xan|试猜想:若 n 为奇数,则当 x 时 S 取到最小值;若 n 为偶数,则当 x 时,S 取到最小值;(直接写出结果即可) (3)求|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|的最小值 【解析】(1)|x1|+|x2|的最小值为 1,当且仅当 x1,2时,取最小值; |x1|+|x2|+|x3|的最小值 2,当且仅当 x2 时,取最小值; (2)设

26、 a1a2an是给定的 n 个实数,记 S|xa1|+|xa2|+|xan| 归纳可得: 若 n 为奇数,则当 x+1 2 时 S 取到最小值; 若 n 为偶数,则当 x 2, 2:1时,S 取到最小值; (3)|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|x1|+2|x 1 2|+3|x 1 3|+10|x 1 10|, 共 55 项,其中第 28 项为|x 1 7|, 故 x= 1 7时,|x1|+|2x1|+|3x1|+|10x1|取最小值: 6 7 + 5 7 + 4 7 + 3 7 + 2 7 + 1 7 +0+ 1 7 + 2 7 + 3 7 = 27 7 , 故答案为:+1 2

27、, 2, 2:1 8.定义: 若对任意 x1、 x2(a, b)恒有 f(1:2 2 ) (1):(2) 2 成立, 则称函数 f(x)在(a, b)上为凹函数 已 知 凹 函 数 具 有 如 下 性 质 : 对 任 意 的xi(a , b)(i 1 , 2 , , n) , 必 有 f(1:2: ) (1):(2):() 成立,其中等号当且仅当 x1x2xn时成立 (1)试判断 yx2是否为 R 上的凹函数,并说明理由; (2)若 x、y、zR,且 x+y+2z8,试求 x2+y2+2z2的最小值并指出取得最小值时 x、y、z 的值 【解析】(1)f(1:2 2 )(1:2 2 )2,(1)

28、:(2) 2 = 12:22 2 12:22:212 4 = (1:2 2 )2, 对任意 x1、x2(a,b)恒有 f(1:2 2 ) (1):(2) 2 成立, yx2是 R 上的凹函数; (2)(x2+y2+2z2)(12+12+22)(x+y+2z)264, x2+y2+2z216,当且仅当 xy= 2z 时取等号, x+y+2z8,xy4(2 +1),z4+22 x2+y2+2z2的最小值为 16,此时 xy4(2 +1),z4+22 9.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项, 将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继 项按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”

29、 、 “四边形数列”,将构图边数增加到 n 可 得到“n 边形数列” ,记它的第 r 项为 P(n,r), (1)求使得 P(3,r)36 的最小 r 的取值; (2)问 3725 是否为“五边形数列”中的项,若是,为第几项;若不是,说明理由; (3)试推导 P(n,r)关于 n、r 的解析式 【解析】(1)由题意得:P(3,r)= (+1) 2 , 令(:1) 2 36, 即 r2+r720, 解得 r8, 最小的 r9 (2)“五边形数列”中的项,P(5,r)r+ 3(1) 2 , 令 r+ 3(1) 2 =3725,r 为正整数, 解得:r50, 故 3725 是“五边形数列”中的第 5

30、0 项, (3)设 n 边形数列所对应的图形中第 r 层的点数为 a1, 则 P(n,r)a1+a2+ar, 从图中可以得出:后一层的点在 n2 条边上增加了一点,两条边上的点数不变, 所以 ar+1arn2,a11 所以ar是首项为 1 公差为 n2 的等差数列, 所以 P(n,r)r+ (2)(1) 2 10.如果数列an同时满足: (1)各项均为正数, (2)存在常数 k, 对任意 nN*, an+12anan+2+k 都成立, 那么, 这样的数列an我们称之为“类等比数列” 由此各项均为正数的等比数列必定是“类等比数列” 问: (1)若数列an为“类等比数列” ,且 k(a2a1)2,

31、求证:a1、a2、a3成等差数列; (2)若数列an为“类等比数列” ,且 k0,a2、a4、a5成等差数列,求2 1的值; (3)若数列an为“类等比数列” ,且 a1a,a2b(a、b 为常数),是否存在常数 ,使得 an+an+2an+1对任 意 nN*都成立?若存在,求出 ;若不存在,说明理由 【解析】(1)证明:当 = (2 1)2时,在:1 2 = :2+ 中,令 n1 得2 2 = 13+ (2 1)2, 即13 212+ 1 2 = 0 a10,a32a2+a10,即 a2a1a3a2 故 a1,a2,a3成等差数列; (2)解:当 k0 时,:1 2 = :2, 数列an的各

32、项均为正数数列an是等比数列, 设公比为 q(q0), a2,a4,a5成等差数列,a2+a52a4, 即1 + 14= 213a10,q0, q32q2+10,(q1)(q2q1)0, 解得 q1 或 = 15 2 (舍去负值) 2 1 = = 1或2 1 = = 1:5 2 ; (3)存在常数 = 2+2 ,使 an+an+2an+1 (或从必要条件入手1+ 3= 2 = 1+3 2 = 1+2 2 1 2 = 2+2 ) 证明如下::1 2 = :2+ , 2 = ;1:1+ , 2, , :1 2 2 = :2 ;1:1,即:1 2 + ;1:1= :2+ 2, 由于 an0,此等式两

33、边同除以 anan+1,得:2 :1 = ;1:1 , :2 :1 = ;1:1 = = 1:3 2 , 即当 nN*都有+ :2= 1+3 2 :1, 1= ,2= ,:1 2 = :2+ ,3= 2 1:3 2 = : 2; = 2:2; 对任意 nN*都有 an+an+2an+1, 此时 = 2+2 11.若数列an满足:对任意 nN*,都有1 2 :1 2,则称an为“紧密”数列 (1)设某个数列为“紧密”数列,其前 5 项依次为 1、3 2、 9 4、x、 81 16,求 x 的取值范围 (2)若数列bn的前项和 Sn= 1 4(n 2+3n)(nN*),判断bn是否为“紧密”数列,

34、并说明理由 (3)设n是公比为 q 的等比数列,前 n 项和为 Tn,且n与Tn均为“紧密”数列,求实数 q 的取值范围 【解析】(1)由题意得:1 2 9 4 2,1 2 81 16 2, 解得81 32 x 9 2; (2)由 Sn= 1 4(n 2+3n)(nN*), n2 时,anSnSn1= 1 4(n 2+3n)1 4(n1) 2+3(n1)=1 2n+ 1 2, n1 时,a1S11,对于上式也成立 因此 an= 1 2n+ 1 2 :1 = :2 :1 =1+ 1 +1 因为对任意 nN*,0 1 +1 1 2,即 11+ 1 +1 3 2, 1 2 :1 2(nN*), 即数

35、列an是“紧密数列” ; (3)由n是公比为 q 的等比数列,得 q= +1 , n是“紧密数列” ,1 2 :1 2, 当 q1 时,TnnC1, :1 = :1 =1+ 1 , 11+ 1 2, q1 时,数列Tn为“紧密数列” ,故 q1 满足题意 当 q1 时,Tn= 1(1) 1 , 则 :1 = 1;:1 1; , 数列Tn为“紧密数列” , 1 2 1;:1 1; 2,对任意 nN*恒成立 ()当1 2 q1 时,1 2(1q n)1qn+12(1qn), 即 (2 1) 1 ( 2) 1,对任意 nN *恒成立 0qnq1,02q11, 3 2 q21, qn(2q1)q1,q

36、n(q2)q(q2) 1 2 ( 3 2) = 3 4 1, 当1 2 q1 时, (2 1) 1 ( 2) 1,对任意 nN *恒成立 ()当 1q2 时,1 2(q n1)qn+112(qn1), 即 (2 1) 1 ( 2) 1,对任意 nN *恒成立 qnq1,2q11,1q20 (2 1) 1 ( 2) 1,解得 q1, 又 1q2,此时 q 不存在 综上所述,q 的取值范围是1 2,1 12.给定整数 n(n4),设集合 Aa1,a2,an记集合 Bai+aj|ai,ajA,1ijn (1)若 A3,0,1,2,求集合 B; (2)若 a1,a2,an构成以 a1为首项,d(d0)

37、为公差的等差数列,求证:集合 B 中的元素个数为 2n1; (3)若 a1,a2,an构成以 3 为首项,3 为公比的等比数列,求集合 B 中元素的个数及所有元素之和 【解析】(1)A3,0,1,2,由题意可得集合 B6,3,2,1,0,1,2,3,4; (2)证明:若 a1,a2,an构成以 a1为首项,d(d0)为公差的等差数列, 可得等差数列an为递增数列, 由等差数列的性质 am+anap+aq,可得 B 中的元素个数为 n+ (1) 2 (1)(2) 2 =2n1; (3)a1,a2,an构成以 3 为首项,3 为公比的等比数列,可得 an3n, 由 3n为奇数,即有 3m+3n23

38、k,mn,k 为不相等的正整数,则方程无实数解, 3m+3n3l+3k,mn,k,l 为不相等的正整数,则方程无实数解, 若 ai,aj相等,可得 a1,a2,an中取两个相等的,和为 n 个; 若 ai,aj不相等,可得 a1,a2,an中取两个,和为 C 2 = (1) 2 个; B 中的元素个数为 n+ (1) 2 = 2+ 2 个; 则 B 中元素的和为 2(3+32+3n)+(n1)(3+32+3n)(n+1)(3+32+3n) (n+1)3(1;3 ) 1;3 = 3(:1)(3;1) 2 13.将 n 个数 a1,a2,an的连乘积 a1a2an记为 1ai,将 n 个数 a1,

39、a2,an 的和 a1+a2+an记 为 1 ,nN*) (1)若数列xn满足 x11,xn+1x 2 +xn,nN*,设 Pn= 1 1 1+,Sn= 1 1 1+ 求 P5+S5; (2)用x表示不超过 x 的最大整数, 例如22, 3.43, 1.82 若数列xn满足 x11, xn+1x 2 +xn, nN*,求 2019 1 1+的值; (3)设定义在正整数集 N*上的函数 f(n)满足,当(;1) 2 n (+1) 2 (mN*)时,f(n)m,问是否存在正 整数n, 使得 1 () =2019?若存在, 求出n的值; 若不存在, 说明理由(已知 1 2= (+1)(2+1) 6

40、) 【解析】(1)数列xn满足 x11,xn+1x 2 +xn,nN*,设 Pn= 1 1 1+,Sn= 1 1 1+, 可得 xn+1x 2 +xnxn(1+xn), 即有 1 1: = :1, 1 :1 = 1 (1:) = 1 1 1:, 即有 1 1: = 1 1 :1, 可得 P5+S5= 1 2 2 3 5 6 + 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 5 1 6 = 1 6 + 1 1 1 6 = 1 6 +1 1 6 =1; (2)x11,xn+1x 2 +xn,nN*,可得 1: =1 1 1+ =1( 1 1 :1), 可得 2019 1 1+ =2009( 1 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 2019 1 2020) 20191+ 1 2020 =2018+ 1 2020, 由 x11,xn+1x 2 +xn1,可得 1 2020(0,1), 即有 2019 1 1+2018; (3)设定义在正整数集 N*上的函数 f(n)满足, 当(;1) 2 n

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