1、 专题专题 12 高考常见应用题高考常见应用题 专题点拨专题点拨 求解简单的应用性问题，可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题，除了掌握必要 的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的锻炼与培养 1阅读理解能力首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义；其次能用准确 的数学语言将题目的已知与求解翻译出来，并注意它的清晰性与完整性 2数学的迁移能力即建立数学模型的能力能从阅读中抽象出解决问题的数或形，并判断用哪些数 学知识予以解决，将之转化为纯数学问题 3解决纯数学问题的能力能经过综合分析，应用数学的基础知识和基本方法，完整解答所建立的数 学模型 4常识能力平时应关注
2、生活中的点滴常识，对由数学模型解决的结果，进行检验、判断、修正，得 到符合实际的解答 5表达能力解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确，论据确凿，论证有力，有 始有终，能自圆其说特别注意在表述过程中，用简明的汉语与数学语言的互补，使语句流畅、自然而清 晰 解决复杂的应用题是一件难事，但又无可回避，只有通过不断地体验反思才能达到能力的培养与提 高解答应用题一般分为四个步骤： 1阅读理解：分析背景材料，分清条件结论，把握数量关系； 2建立模型：联想数学问题，运用数学语言，建立数学模型； 3求解模型：运用思想方法，使用知识技能，求得数学结果； 4还原实际：审视实际问题，验证运算结果，表
3、述最后结论 简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答 例题剖析例题剖析 一、函数型应用性问题一、函数型应用性问题 【例 1】我国西部某省 4A 级风景区内居住着一个少数民族村，该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基 础设施据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内(每月按 30 天计)每天的旅游人数( )f x与 第x天近似地满足 8 ( )8f x x (千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费( )g x近似地满足 ( )143 |22|g xx(元) (1)求该村第x天的旅游收入( )p x(单位千元， * 130,xxN )的函数关系； (2)若
4、以最低日收入的 20%作为每一天的纯收入的计量依据，并以纯收入的 5%的税率收回投资成本，试 问该村在两年内能否收回全部投资成本？ 【解析】(1)依据题意，有 * 8 ( )( )( )(8) (143 |22|)(130,)p xf xg xxxxN x = * * 968 8976,(122,) 1320 81312.(2230,) xxxN x xxxN x (2) 0 1当122x， * xN时， 968968 ( )89762 89761152p xxx xx (当且仅当11x 时，等号成立) . 因此， min ( )(11)1152p xp (千元) . 0 2当2230x， *
5、 xN时， 1320 ( )81312p xx x . 考察函数 1320 8yx x 的图像，可知 1320 8yx x 在(22,30上单调递减， 于是， min ( )(30)1116p xp (千元) . 又1152 1116，所以，日最低收入为 1116 千元. 该村两年可收回的投资资金为1116 20% 5% 30 12 2=8035.2(千元)=803.52(万元) . 因 803.52 万元800 万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金. 二、三角函数型应用性问题二、三角函数型应用性问题 【例 2】 在股票市场上，投资者常根据股价(每股的价格)走势图来操作，股民老张在研究某只
6、股票时，发现 其在平面直角坐标系内的走势图有如下特点：每日股价 y(元)与时间 x(天)的关系在 ABC 段可近似地用函 数 yasin(x+)+20(a0，0，0)的图象从最高点 A 到最低点 C 的一段来描述(如图)，并且 从 C 点到今天的 D 点在底部横盘整理，今天也出现了明显的底部结束信号 老张预测这只股票未来一段时间的走势图会如图中虚线 DEF 段所示，且 DEF 段与 ABC 段关于直线 l：x 34 对称，点 B，D 的坐标分别是(12，20)(44，12) (1)请你帮老张确定 a， 的值，并写出 ABC 段的函数解析式； (2)如果老张预测准确，且今天买入该只股票，那么买入
7、多少天后股价至少是买入价的两倍？ 【解析】(1)a1248， 4 =241212， T48，= 2 48 = 24， 由 24 24+= 3 2 可得 = 2， f(x)8sin( 24x+ 2)+20 8cos 24x+20，x0，24 (2)由题意得 DEF 的解析式为：y8cos 24(68x)+20， 由 8cos 24(68x)+2024，得 x60， 故买入 604416 天后股价至少是买入价的两倍 【变式训练】如图，某广场有一块边长为 1(hm)的正方形区域 ABCD，在点 A 处装有一个可转动的摄像头， 其能够捕捉到图象的角PAQ 始终为 45(其中点 P，Q 分别在边 BC，
8、CD 上)设PAB，记 tant (1)用 t 表示的 PQ 长度，并研究CPQ 的周长 l 是否为定值？ (2)问摄像头能捕捉到正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为多少 hm2？ 【解析】(1)设 BPt，CP1t(0t1)， 所以DAQ45，DQAtan(45)= 1 1+， 则：CQ1 1 1+ = 2 1+ 所以：PQ= (1 )2+ ( 2 1+) 2 = 1+2 1+ ， 故：lCP+CQ+PQ1t+ 2 1+ + 1+2 1+ =1t+1+t2 所以CPQ 的周长为定值 2 (2)SS正方形SABPSADQ， 1 2 1 2 1 1+ =2 1 2 ( + 1 + 2 1
9、+) 2 2 当且仅当 t= 2 1时，摄像头能捕捉到正方形 ABCD 内部区域的面积 S 至多为 22hm2 三、数列型应用性问题三、数列型应用性问题 【例 3】某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少(以 投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年)若第 1 年A型车床创造的价值是 250 万元，且第 1 年至第 6 年，每年A型车床创造的价值减少 30 万元；从第 7 年开始，每年A型车床创造的 价值是上一年价值的 50%现用 n a( * nN)表示A型车床在第n年创造的价值 (1)求数列 n a( * nN)的通项公式 n a； (
10、2)记 n S为数列 n a的前n项和， n n S T n 企业经过成本核算，若100 n T 万元，则继续使用A型车床，否 则更换A型车床试问该企业须在第几年年初更换A型车床？ (已知：若正数数列 n b是单调递减数列，则数列 12n bbb n 也是单调递减数列) 【解析】(1)由题设，知 1 a， 2 a， 6 a构成首项 1 250a =，公差30d 的等差数列 故28030 n an(6n， * nN)(万元) 7 a， 8 a， n a(7n， * nN)构成首项 76 1 50 2 aa=，公比 1 2 q=的等比数列 故 7 1 50 2 n n a (7n， * nN)(万
11、元) 于是， 7 28030 ,16 1 50,7 2 n n nn a n ( * nN)(万元) (2)由(1)知， n a是单调递减数列，于是，数列 n T 也是单调递减数列 当16n 时，265 15 n n S Tn n ， n T 单调递减， 6 175100T (万元) 所以100 n T (万元) 当7n时， 6 6 1 100 1050 1001 1150 2 2 n n n n S T nnn ， 当11n 时， 11 104T (万元)；当12n=时， 12 96T (万元) 所以，当12n， * nN时，恒有96 n T 故该企业需要在第 11 年年初更换A型车床 四、
12、解析几何型应用性问题四、解析几何型应用性问题 【例 4】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通 s 号线线路示意图如图所示，已 知 M、N 是东西方向主干道边两个景点，P、Q 是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心 O 均为 52，线路 AB 段上的任意一点到景点 N 的距离比到景点 M 的距离都多 10km，线路 BC 段上的 任意一点到 O 的距离都相等，线路 CD 段上的任意一点到景点 Q 的距离比到景点 P 的距离都多 10km， 以 O 为原点建立平面直角坐标系 xOy (1)求轨道交通 s 号线线路示意图所在曲线的方程； (2)规划中的线路 AB 段上
13、需建一站点 G 到景点 Q 的距离最近，问如何设置站点 G 的位置？ 【解析】(1)线路 AB 段上的任意一点到景点 N 的距离比到景点 M 的距离都多 10km， 线路 AB 的轨迹为以 MN 为焦点的双曲线的一部分， 设双曲线方程为 2 2 2 2 =1，则2 = 10 2 = 102， a5，b5 线路 AB 的方程是： 2 25 2 25 =1(x5，y0)， 同理可得线路 CD 的方程为： 2 25 2 25 =1(x0，y5) 故而 B(5，0)，线路 BC 段上的任意一点到 O 的距离都相等， 线路 BC 的方程为：x2+y225(5x0，5y0) (2)Q(0，52)，设 G(
14、x，y)，则 x2y225， GQ2x2+(y52)22y2102y+752(y 52 2 )225， 当 y= 52 2 时，GQ 最小，代入双曲线方程可得 x= 56 2 ， G( 56 2 ，52 2 ) 五、立体几何型应用性问题五、立体几何型应用性问题 【例 5】某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位为米)，其中储油罐的中间为圆柱形， 左右两端均为半球形，l2r+1(l 为圆柱的高，r 为球的半径，l2)假设该储油罐的建造费用仅与其表 面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 1 千元，半球形部分每平方米建造费用为 3 千元设该 储油罐的建造费用为 y 千元 (1)写出
15、 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)若预算为 8 万元，求所能建造的储油罐中 r 的最大值(精确到 0.1)，并求此时储油罐的体积 V(单位：立方 米，精确到 0.1 立方米) 【解析】(1)半球的表面积1= 22，圆柱的表面积 S22rl 于是 = 3 21+ 1 2= 3 42+ 1 2 (2 + 1) = 162+ 2 定义域为1 2， + ) (2)16r2+2r80，即2+ 1 8 5 0，解得 1 8+ 1 64+ 20 2 1.2 = 4 3 3+ 2 (2 + 1) = 10 3 3+ 2， 经计算得 V22.7(立方米) 故 r 的最大值为 1.2(米)
16、，此时储油罐的体积约为 22.7 立方米 【变式训练】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱 与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已 知圆柱的底面周长为 24cm，高为 30cm，圆锥的母线长为 20cm (1)求这种“笼具”的体积(结果精确到 0.1cm3)； (2)现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具” ，该材料的造价为每平方米 8 元，共需多少元？ 【解析】(1)设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆锥的母线长为 l，高为 h1，则 2r24，解得 r 12cmh1= 202 122= 16c
17、m 笼具的体积 Vr2h 1 3 21 =(12230 1 3 12216)355211158.9cm3 (2)圆柱的侧面积 S12rh720cm2， 圆柱的底面积 S2r2144cm2， 圆锥的侧面积为 rl240cm2 故笼具的表面积 SS1+S2+S31104cm2 故制造 50 个这样的笼具总造价为：1104508 104 = 1104 25 元 答：这种笼具的体积约为 11158.9cm3，生产 50 个笼具需要1104 25 元 巩固训练巩固训练 1.某日，在我某海警基地码头 O 处，发现北偏东 60方向的海面上有一艘可疑船只位于 A 处，在测定可疑 船的行驶方向后，基地指挥部命令
18、海警巡逻艇从 O 处即刻出发，以可疑船速度的 2 倍航速前去拦截，已 知 O 和 A 相距 60 海里 (1)若可疑船只以 40 海里/小时的速度朝正北方向逃跑，则我海警巡逻船最少要用多少小时可以截获可疑船 只(精确到 0.01 小时)？ (2)若巡逻艇和可疑船在追逃过程中均未改变航向和航速，在点 P 处恰好截获可疑船只，在如图所示的平面 直角坐标系中，求点 P 的轨迹方程 【解析】(1)设所需时间为 t 小时，则 OP80t，AP40t，OA60， 在OAP 中，OAP18060120， 由余弦定理可得 OP2OA2+AP22OAAPcosOAP， 即(80)2= 602+ (40)2 2
19、60 40 ( 1 2)，化简得 4t 22t30， 由于 t0，解得 = 13+1 4 1.15小时； (2)设点 A 的坐标为(x0，y0)，则0= 6030 = 303，y060sin3030， 所以，点 A 的坐标为(303，30) 由题意知，OP2AP，设点 P 的坐标为(x，y)， 由两点间的距离公式可得2+ 2= 2( 303)2+ ( 30)2， 化简得( 403)2+ ( 40)2= 1600， 因此，点 P 的轨迹方程为( 403)2+ ( 40)2= 1600 2.利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射灯的 光锥为圆锥)在
20、广告牌上投影出其标识，如图 1 所示，图 2 是投影射出的抛物线的平面图，图 3 是一个射 灯投影的直观图，在图 2 与图 3 中，点 O、A、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OCAB 于 C， AB3 米，OC4.5 米 (1)求抛物线的焦点到准线的距离 (2)在图 3 中，已知 OC 平行于圆锥的母线 SD，AB、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大 小(精确到 0.01) 【解析】(1)在图 2 中，以 O 为原点，以 OC 为 y 轴负半轴建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为 x22py(p0)，由题意可知 B(3 2， 9 2)， 9 4 = 2p( 9 2)，
21、解得 p= 1 4 抛物线的焦点到准线的距离为1 4 (2)在图 3 中，OCSD， = = 1 2， SD2OC9， 又 DC= 1 2AB= 3 2，sinCSD= = 1 6 圆锥的母线与轴的夹角为 arcsin1 6 9.59 3.如图，A、B 是海岸线 OM、ON 上的两个码头，海中小岛有码头 Q 到海岸线 OM、ON 的距离分别为 2km、 710 5 km测得 tanMON3，OA6km以点 O 为坐标原点，射线 OM 为 x 轴的正半轴，建立如图 所示的直角坐标系一艘游轮以 182km/小时的平均速度在水上旅游线 AB 航行(将航线 AB 看作直线， 码头 Q 在第一象限，航线
22、 AB 经过 Q) (1)问游轮自码头 A 沿 方向开往码头 B 共需多少分钟？ (2)海中有一处景点 P(设点 P 在 xOy 平面内，PQOM，且 PQ6km)，游轮无法靠近求游轮在水上旅游 线 AB 航行时离景点 P 最近的点 C 的坐标 【解析】(1)由已知得：A(6，0)，直线 ON 的方程为 y3x， 设 Q(x1，2)，(x10)，由|31:2| 10 = 710 5 及 x10，得 x14，Q(4，2)， 直线 AQ 的方程为 y(x6)，即 x+y60， 由 = 3 + 6 = 0，得 = 3 = 9 ，即 B(3，9)， AB= (3 6)2+ 92=92，即水上旅游线 A
23、B 的长为 92km 游轮在水上旅游线自码头 A 沿 方向开往码头 B 共航行 30 分钟时间 (2)点 P 到直线 AB 的垂直距离最近，则垂足为 C 由(1)知直线 AB 的方程为 x+y60， P(4，8)，则直线 PC 的方程为 xy+40， 联立直线 AB 和直线 PC 的方程组 + 6 = 0 + 4 = 0， 得点 C 的坐标为 C(1，5) 4.如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的 直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O，钉尖为 Ai(i1，2，3，4) 1)设 OA1a(a0)，当 A1，A2，A3在同一
24、水平面内时，求 OA1与平面 A1A2A3所成角的大小(结果用反三角 函数值表示) (2)若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为 32cm2，要用某种线型材料复制 100 枚这种“钉”(损 耗忽略不计)，共需要该种材料多少米？ 【解析】(1)根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等， 且两两所成的角相等，A1，A2，A3，A4两两连结后得到的四面体 A1A2A3A4为正四面体， 延长 A4O 交平面 A1A2A3于 B，则 A4B平面 A1A2A3，连结 A1B， 则 A1B 是 OA1在平面 A1A2A3上的射影， OA1B 就是 OA1与平面 A1A2A3所成角， 设 A1A4l，则
25、 A1B= 3 3 ， 在 RtA4A1B 中，142= 12+ 42， 即2= ( 3 3 )2+ (2 ( 3 3 )2+ )2， l= 26 3 a，1 = 3 3 26 3 = 22 3 ， cosOA1B= 1 1 = 22 3 (其中 01 2)， OA1B= 22 3 ， OA1与平面 A1A2A3所成角的大小为 arccos22 3 (2)1 2 122 3 2 =32， 根据(1)可得 A1A2= 26 3 a， a=27 2 4 cm， 要用某种线型材料复制 100 枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料： 1 100 100 (4) = 4 =2216 4 (米)
26、要用某种线型材料复制 100 枚这种“钉”(损耗忽略不计)，共需要该种材料 2216 4 米 5.上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” 兴趣小 组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、P 点为塔尖、点 P 在地面上的射 影为点 H在塔身 OP 射影所在直线上选点 A，使仰角 kHAP45，过 O 点与 OA 成 120的地面上 选 B 点，使仰角HPB45(点 A、B、O 都在同一水平面上)，此时测得OAB27，A 与 B 之间距 离为 33.6 米试求： (1)塔高(即线段 PH 的长，精确到 0.1 米)； (2)塔
27、身的倾斜度(即 PO 与 PH 的夹角，精确到 0.1) 【解析】(1)设塔高 PHx，由题意知，HAP45，HBP45， PAH，PBH 均为等腰直角三角形， AHBHx 在AHB 中，AHBHx，HAB27，AB33.6， x= 2 = 16.8 27 =18.86 (2)在BOH 中，BOH120， OBH1801202276，BH18.9， 由 = ， 得 OH= 18.866 120 =2.28， OPHarctan =arctan 2.28 18.86 6.9， 塔高 18.9 米，塔的倾斜度为 6.9 6.如图，某公园有三个警卫室 A、B、C 有直道相连，AB2 千米，AC4 千
28、米，BC23千米 (1)保安甲沿 CA 从警卫室 C 出发行至点 P 处，此时 PC1，求 PB 的直线距离； (2)保安甲沿 CA 从警卫室 C 出发前往警卫室 A，同时保安乙沿 AB 从警卫室 A 出发前往警卫室 B，甲的速度 为 1 千米/小时，乙的速度为 2 千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离 不超过 3 千米，试问有多长时间两人不能通话？ (精确到 0.01 小时) 【解析】(1)ABC 中，AB2，AC4，BC23， AB2+BC2AC2， ABC90，C30， 又 PC1， 由余弦定理得 PB2BC2+PC22BCPCcosC12+1223 1 3
29、 2 =7， PB= 7； (2)设甲出发后的时间为 t 小时，则由题意知 0t4， 设甲在 CA 上的位置为点 M，则 AM4t； 当 0t1 时，设乙在线段 AB 上的位置为点 Q，则 AQ2t； 如图所示，在AMQ 中，由余弦定理得， MQ2(4t)2+(2t)222t(4t)cos607t216t+79， 解得 t 815 7 ，或 t 8+15 7 ； 0t 815 7 ； 当 1t4 时，乙在 B 处，在ABM 中， 由余弦定理得 MB2(4t)2+422t(4t)cos60t26t+129， 解得 t36，或 t3+6； 又 1t4，不合题意，舍去； 综上，当 0t 815 7
30、时，甲乙间的距离大于 3 千米 且8;15 7 = 8;3.87 7 0.59， 甲乙两人不能通话的时间为 0.59 小时 7.如图，某广场中间有一块扇形绿地 OAB，其中 O 为扇形 OAB 所在圆的圆心，半径为 r，AOB= 3广场 管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧 上选一点 C，过 C 修建与 OB 平行的小路 CD，与 OA 平行 的小路 CE，设COA (1)当 = 4时，求 CD； (2)当 取何值时，才能使得修建的道路 CD 与 CE 的总长 s 最大？并求出 s 的最大值 【解析】(1)某广场中间有一块扇形绿地 OAB， 其中 O 为扇形 OAB 所在圆的圆心，半径为 r，
31、AOB= 3 广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧 上选一点 C， 过 C 修建与 OB 平行的小路 CD，与 OA 平行的小路 CE， 设COA，当 = 4时， 由正弦定理得： = ， 120 = 45， CD= 45 120 = 6 3 (2)在ODC 中，由正弦定理得： = ， 120 = ，CD= 23 3 ， 同理，CE= 23 3 ( 3 )， sf()= 23 3 + 23 3 ( 3 ) = 23 3 rsin( + 3) + 23 3 ( 3 ) = 23 3 rsin( + 3)，(0， 3)， (0， 3)， + 3( 3， 2 3 )， 当 + 3 = 2时，即 =
32、 6时，smaxf( 6) = 23 3 8.某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律， 因而第n个月从事旅游服务工作的人数f(n) 可近似地用函数 f(n)Acos(wn+)+k 来刻画，其中正整数 n 表示月份且 n1，12，例如 n1 表示 1 月 份，A 和 k 是正整数，w0，(0，)统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以 下规律： 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； 该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差 400 人； 2 月份该地区从事旅游服务工作的人数为 100 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多
33、 (1)试根据已知信息，求 f(n)的表达式； (2)一般地， 当该地区从事旅游服务工作的人数在 400 或 400 以上时， 该地区也进入了一年中的旅游 “旺季” ， 那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由 【解析】(1)根据题意知，T12， = 2 12 = 6； 又 + = 500 = 100， 解得 = 200 = 300， 由 6 2+2k，kZ； 解得 = 4 3 +2k，kZ； 又 (0，)，= 2 3 ； 函数 f(n)200cos( 6n+ 2 3 )+300； (2)令 f(n)200cos( 6n+ 2 3 )+300400， 化简得 cos( 6n+
34、2 3 ) 1 2， 即 3 +2k 6n+ 2 3 3 +2k，kZ， 解得 n12k6，12k2，kZ； 又 n1，12， n6，10， 取 n6，7，8，9，10； 即一年中 6、7、8、9、10 月是该地区的旅游“旺季” 9.如图，在海岸线 EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段 FGBC，该曲线段是函数 y Asin(x+)(A0，0，(0，)，x4，0的图象，图象的最高点为 B(1，2)边界的中间部分 为长 1 千米的直线段 CD，且 CDEF游乐场的后一部分边界是以 O 为圆心的一段圆弧 (1)求曲线段 FGBC 的函数表达式； (2)曲线段 FGBC 上的入口
35、G 距海岸线 EF 最近距离为 1 千米，现准备从入口 G 修一条笔直的景观路到 O， 求景观路 GO 长； (3)如图，在扇形 ODE 区域内建一个平行四边形休闲区 OMPQ，平行四边形的一边在海岸线 EF 上，一边在 半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 上，且POE，求平行四边形休闲区 OMPQ 面积的最大值及 此时 的值 【解析】(1)由已知条件，得 A2， 又 4 = 3， = 2 = 12， = 6 又当 x1 时，有 y2sin( 6 +)2，= 2 3 曲线段 FGBC 的解析式为 = 2( 6 + 2 3 )，x4，0 (2)由 = 2( 6 + 2 3 ) =1 得 x
36、6k+(1)k4 (kZ)， 又 x4，0，k0，x3G(3，1) OG= 10 景观路 GO 长为10千米 (3)如图，OC= 3，CD1，OD2， = 6， 作 PP1x 轴于 P1点，在 RtOPP1中，PP1OPsin2sin， 在OMP 中， 120 = (60;)， = (60) 120 = 4 3 (60 ) = 2 23 3 S平行四边形OMPQOMPP1= (2 23 3 ) 2 = 4 43 3 2 = 22 + 23 3 2 23 3 = 43 3 (2 + 6) 23 3 (0， 3) 当2 + 6 = 2时，即 = 6时，平行四边形面积最大值为 23 3 10.某创业
37、投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得 25 万元1600 万元的投资收益，现准备制定 一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y(单位：万元)随投资收益 x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超 过 75 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%(即：设奖励方案函数模型为 yf(x)时，则公司对函数模 型的基本要求是：当 x25，1600时，f(x)是增函数；f(x)75 恒成立；(3)() 5恒成立) (1)判断函数() = 30 + 10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由； (2)已知函数() = 5( 1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取值范围 【解析】(1)对于
38、函数模型 f(x)= 30 +10， 当 x25，1600时，f(x)是单调递增函数，则 f(x)f(1600)= 160 3 1075，显然恒成立， 若函数 f(x)= 30 +10 5 0 恒成立，即 x60 f(x)= 30 +10 不恒成立， 综上所述，函数模型 f(x)= 30 +10， 满足基本要求，但是不满足， 故函数模型 f(x)= 30 +10，不符合公司要求； (2)x25，1600时，g(x)a 5 有意义， g(x)maxa1600 575， a2， 设 a 5 5恒成立， ax(5+ 5) 2 恒成立， 即 a 25 +2+ 25， 25 + 25 225 25 =2
39、，当且仅当 x25 时取等号， a2 a1， 1a2， 故 a 的取值范围为1，2 新题速递新题速递 1(2019 秋闵行区校级月考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为圆弧的 中点)和线段 MN 构成，已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米，现规范在此农田修建两 个温室大棚，大棚内的地块形状为梯形 MNBA，其中 ABMN，且 ABMN，大棚内的地块形状为 ABP，要求 A、B 均在圆弧上，设 OB 与 MN 所成的角为 (1)用 表示多边形 MAPBN 的面积，并确定 sin 的取值范围； (2)若分别在两个大棚内种植两种不
40、同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当 为何值时， 能使种植蔬菜的收益最大 【分析】(1)计算 AB，梯形和三角形的高度，分别求出梯形和三角形的面积即可得出答案，根据 ABMN 求出 sin 的范围； (2)根据和角公式求出面积最大值及其对应的 的值即可 【解答】解：(1)等腰梯形 MNBA 的高为 OBsin+1040sin+10， AB2OBcos80cos，MN2402 102=2015， 等腰梯形MNBA的面积为 1 2 (80cos+2015)(40sin+10) 1600sincos+400cos+40015sin+10015， 等腰三角形 PAB 中，P 到 AB 的距
41、离为 OPOBsin40(1sin)， 故等腰三角形 PAB 的面积为1 280cos40(1sin)1600cos1600sincos， 多边形 MAPBN 的面积为 SMAPBN40015sin+2000cos+10015 ABMN， 080cos2015，即 0cos 15 4 ， 1 4 sin1 (2)令 f()40015sin+2000cos+10015 =400(15sin+5cos)+10015， 400210sin(+)+10015 其中 sin= 5 210，cos= 15 210，即 tan= 15 3 当 += 2即 = 2 arctan 15 3 时，f()取得最大值，此时种植蔬菜的收益最大 2(2019 秋浦东新区校级期中)某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工 2m 人(60m150， 且 m 为 10 的整数倍)， 每人每年可创利 100 千元， 据测算， 在经营条件不变的前的提下， 若裁员人数不超过现有人数的 30%， 则每裁员 1 人， 留岗员工每人每年就能多创利 1 千元(即若裁员 a人， 留岗员工可多创利润 a 千元)；若裁员人数超过现有人数的 30%，则每裁员 1 人，留岗员工每人每年就能 多创利 2 千元(即若裁员 a 人，留岗员工可多创利润
