1、10.5古典概型考情考向分析古典概型每年都会考查，主要考查实际背景下的可能事件，通常与互斥事件、对立事件一起考查，其中计数的方法局限于枚举法常以填空题形式出现，属于中低档题1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的3如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A).4古典概型的概率公式P(A).概念方法微思考
2、1任何一个随机事件与基本事件有何关系？提示任何一个随机事件都等于构成它的每一个基本事件的和2如何判断一个试验是否为古典概型？提示一个试验是否为古典概型，关键在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从市场上出售的标准为5005g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型()(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小
3、组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为.()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为.()题组二教材改编2P103练习T6从A，B，C三名同学中选2名为代表，则A被选中的概率为_答案解析从A，B，C三名同学中选2名为代表，有AB，AC，BC三种可能，则A被选中的概率为.3P101例3一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的
4、概率是_答案解析抽取两张卡片的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，和为奇数的事件有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种所求概率为.4P103练习T4袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为_答案解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P.5P103习题T4同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_答案解析掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率为P1.题组三易错自纠6将2本不同的数学书和1本语文书在
5、书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_答案解析设两本不同的数学书为a1，a2，1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率为P.7已知函数f(x)2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两个零点的概率为_答案解析要使函数f(x)2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则4a24b20，又a4,6,8，b3,5,7，即ab，而a，b的取法共有339(种)，其中满足ab的取法有(4,3)，(6,3)，(6,5)，(8,3)，(8
6、,5)，(8,7)，共6种，所以所求的概率为.题型一基本事件与古典概型的判断1下列试验中，古典概型的个数为_向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率答案1解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型2有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现
7、的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；(3)事件“出现点数相等”包含的基本事件解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(2)事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)(3)事件“出现点数
8、相等”包含的基本事件为(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)3袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到
9、白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型题型二古典概型的求法例1(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为_答案解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后
10、再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P.(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为_答案解析设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A包含5种，故P(A).(3)(2018无锡模拟)从3男2女共5名学生中任选2名参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为_答案解析记3名男生分别为x1，x2，x3,2名女生分别为y1，y2，则从3男2女共5名学生中任选2名包
11、含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个其中选出的2人恰好为1男1女包含6个基本事件，分别为(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)故所求事件的概率为.引申探究1本例(2)中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，所以P(A)
12、.2本例(2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件为(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，黄)，(黄，白)，(黄，红)，(黄，黄)，共16种，其中颜色相同的有6种，故所求概率P.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择跟踪训练1某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选
13、择2个国家去旅游(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组
14、成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P.题型三古典概型与统计的综合应用例2某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服
15、务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率解(1)由题意知，样本数据的平均数12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有9030(个)(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，
16、共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M).思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键跟踪训练2从某学校2018届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组155
17、,160)，第二组160,165)，第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同(1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5的概率解(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.0080.0160.040.040.06)50.82，所以后三组的频率为10.820.18，人数为0.18509，由频率分布直方图得第八组的频率为0.00850.04，人数为0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又mm129
18、，所以m4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示：(2)由(1)知身高在180,185)内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在190,195的男生有两名，设为A，B.若x，y180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195，只有AB1种情况；若x，y分别在180,185)，190,195内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为68115，事件|xy|5包含的基本事件的个数为617，故所求概率为.1(2018
19、苏州模拟)若a，b0,1,2，则函数f(x)ax22xb有零点的概率为_答案解析a，b0,1,2，当函数f(x)ax22xb没有零点时，a0，且44ab1，(a，b)有3种情况：(1,2)，(2,1)，(2,2)基本事件总数n339，函数f(x)ax22xb有零点的概率为P1.2从边长为1的正方形的中心和顶点这5个点中随机(等可能)取两点，则该两点间距离为的概率为_答案解析设此正方形为ABCD，中心为O，则任取两点的取法有AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共10种；取出的两个点的距离为的取法有AO，BO，CO，DO，共4种，故所求概率为.3从分别标有1,2，9的9张卡
20、片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是_答案解析9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)，P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同).4在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖甲、乙两人各抽取1张，则两人都中奖的概率是_答案解析设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种其中甲、乙都中奖记为事件A，共有(1,2)，(2,1)2种，所以P(A).5在集合A2,3中随机取
21、一个元素m，在集合B1,2,3中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2y29内部的概率为_答案解析点P(m，n)的情况为(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2y29的内部，所求概率为.6从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是_答案解析从2,3,8,9中任取2个不同的数字，记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12种情况，其中符合
22、logab为整数的有log39和log28两种情况，P.7某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为_答案解析记两个食堂为A，B，则甲、乙、丙在两个食堂用餐的所有情况有(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(A，B，B)，(B，A，A)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)，共8种，其中他们在同一个食堂用餐有2种情形，概率为.8.如图所示的茎叶图是甲、乙两人在4次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_答案解析依题意，记题中被污损的数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有
23、(8921)(53x5)0，得x7，即此时x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为P.9在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cosx的概率是_答案解析基本事件总数为10，满足方程cosx的基本事件数为3，故所求概率为P.10(2018无锡模拟)已知a，b1,2,3,4,5,6，直线l1：2xy10，l2：axby30，则直线l1l2的概率为_答案解析易知直线l2的所有情况共有36种，若直线l1与直线l2垂直，则21，使直线l1l2的(a，b)(1,2)，(2,4)，(3,6)，故直线l1l2的概率P.11设连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(
24、m，n)，b(1，3)(1)求事件“ab”发生的概率；(2)求事件“|a|b|”发生的概率解(1)由题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的情况共36种因为ab，所以m3n0，即m3n，有(3,1)，(6,2)，共2种，所以事件“ab”发生的概率为.(2)由|a|b|，得m2n210，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种，其概率为.所以事件“|a|b|”发生的概率为.12海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些
25、商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率解(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50150100300，抽样比为，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501,1503,1002.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为A，B1，A，B2，A，B3，A，C1，A，C2，B1，B2，B1，B
26、3，B1，C1，B1，C2，B2，B3，B2，C1，B2，C2，B3，C1，B3，C2，C1，C2，共15个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：B1，B2，B1，B3，B2，B3，C1，C2，共4个所以P(D)，即这2件商品来自相同地区的概率为.13已知A，B3，1,1,2且AB，则直线AxBy10的斜率小于0的概率为_答案解析因为A，B3，1,1,2且AB，记有序数对A，B为(A，B)，则所有的(A，B)为(3，1)，(3,1)，(3,2)，(1,1)，(1,2)，(1,2)，(1，3)，(1，3)，
27、(2，3)，(1，1)，(2，1)，(2,1)，共12个，而满足直线AxBy10的斜率小于0，即A，B同号的有序数对有(3，1)，(1，3)，(1,2)，(2,1)，共4个，故该事件的概率为.14.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解(1)用
28、数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以基本事件总数n16.记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率15设a1,2,3,4，b2,4,8,12，则函数f(x)x3axb在区间1,2上没有零点的概率为_答案解析由已知f(x)3x2a0，所以f(x)在R上单调递增，若f(x)在1,2上有零点，则需经验证有(
29、1,12)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(4,4)共5对不满足上述不等式组，总的情况有16对，故所求概率为.16已知直线l1：x2y10，直线l2：axby10，其中a，b1,2,3,4,5,6(1)求直线l1l2的概率；(2)求直线l1与l2的交点位于第三象限的概率解(1)直线l1的斜率k1，直线l2的斜率k2.设事件A为“直线l1l2”a，b1,2,3,4,5,6的总事件数为(1,1)，(1,2)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,6)，(6,5)，(6,6)，共36个若l1l2，则l1l2，即k1k2，即b2a.满足条件的实数对(a，b)有(1,2)，(2,4)，(3,6
30、)，共3种情况P(A).P()，故l1l2的概率为.(2)设事件B为“直线l1与l2的交点位于第三象限”，由于直线l1与l2有交点，则b2a.联立方程组解得l1与l2的交点位于第三象限，a，b1,2,3,4,5,6，b2a.总事件数共36个，满足b2a的事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共27种P(B).故l1与l2的交点位于第三象限的概率为.14
