1、第八篇 平面解析几何专题8.05椭圆及其几何性质【考试要求】1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【知识梳理】1.椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性
2、质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2【微点提醒】点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m0，n0，m
3、n)表示的曲线是椭圆.()(4)1(ab0)与1(ab0)的焦距相同.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为e，所以e越大，则越小，椭圆就越扁.【教材衍化】2.(选修21P49T1改编)若F1(3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2的距离之和为10，则P点的轨迹方程是_.【答案】1【解析】因为|PF1|PF2|10|F1F2|6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a5，c3，b4，故点P的轨迹方程为1.3.(
4、选修21P49A6改编)已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为_.【答案】(，1)或(，1)【解析】设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，P点坐标为(，1)或(，1).【真题体验】4.(2018张家口调研)椭圆1的焦点坐标为()A.(3，0) B.(0，3) C.(9，0) D.(0，9)【答案】B【解析】根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，c3，故焦点坐标为(0，3).5.(2018全
5、国卷)已知椭圆C：1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()A. B. C. D.【答案】C【解析】不妨设a0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在x轴上，且c2，所以a2448，所以a2，所以椭圆C的离心率e.6.(2018武汉模拟)曲线1与曲线1(k9)的()A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】曲线1表示焦点在x轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为.曲线1(k8|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，所以a8，c4，b4，故所求的轨迹方程为1.(2)法一当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭
6、圆的方程为1 (ab0).椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，解得所求椭圆的标准方程为y21；当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为1 (ab0).椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，解得与ab矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.法二设椭圆方程为mx2ny21 (m0，n0，mn).椭圆过(2，0)和(0，1)两点，解得综上可知，所求椭圆的标准方程为y21.【规律方法】根据条件求椭圆方程的主要方法有：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2
7、ny21(m0，n0，mn)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.【训练2】 (1)(2018济南模拟)已知椭圆C：1(ab0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)(2018榆林模拟)已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)椭圆长轴长为6，即2a6，得a3，两焦点恰好将长轴三等分，2c2a2，得c1，因此，b2a2c2918，所以此椭圆的标准方程为1.(2)由题意
8、，设椭圆方程为1(ab0)，将A(c，y1)代入椭圆方程得1，由此求得y，所以|AB|3，又c1，a2b2c2，可解得a2，b23，所以椭圆C的方程为1.考点三椭圆的几何性质多维探究角度1椭圆的长轴、短轴、焦距【例31】 (2018泉州质检)已知椭圆1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【解析】因为椭圆1的长轴在x轴上，所以解得6mb0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|2c，
9、PF1F2为等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，过P作PE垂直x轴于点E，则PF2E60，所以|F2E|c，|PE|c，即点P(2c，c).点P在过点A，且斜率为的直线上，解得，e.角度3与椭圆性质有关的最值或范围问题【例33】 (2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A.(0，19，) B.(0，9，)C.(0，14，) D.(0，4，)【答案】A【解析】当焦点在x轴上，依题意得0m3，且tan.0m3且m1，则03，且tan，m9，综上，m的取值范围是(0，19，).【规律方法】1.求椭圆
10、离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围、离心率的范围等不等关系.【训练3】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A.1 B. C.2 D.2(2)(2019豫南九校联考)已知两定点A(1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()A. B. C. D.【
11、答案】(1)D(2)A【解析】(1)设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以2cb1，bc1，而2a222(当且仅当bc1时取等号).即长轴长2a的最小值为2.(2)不妨设椭圆方程为1(a1)，与直线l的方程联立消去y得(2a21)x26a2x10a2a40，由题意易知36a44(2a21)(10a2a4)0，解得a，所以e，所以e的最大值为.【反思与感悟】1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法
12、(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2ny21(m0，n0且mn)【易错防范】1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0e1等，在求椭圆相关量的范围时，要
13、注意应用这些不等关系.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.椭圆1的焦距为2，则m的值等于()A.5 B.3 C.5或3 D.8【答案】C【解析】由题意知椭圆焦距为2，即c1，又满足关系式a2b2c21，故当a24时，mb23；当b24时，ma25.2.(2019聊城模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1【答案】D【解析】由题意可得，4a12，解得a3，c2，则b，所以椭圆C的方程为1.3.已知圆(x1)2(y1)22经过椭圆C：1(
14、ab0)的右焦点F和上顶点B，则椭圆C的离心率为()A. B. C.2 D.【答案】D【解析】由题意得，椭圆的右焦点F为(c，0)，上顶点B为(0，b).因为圆(x1)2(y1)22经过右焦点F和上顶点B，所以解得bc2，则a2b2c28，解得a2，所以椭圆C的离心率e.4.(2019湖北重点中学联考)已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则ABF1内切圆的半径为()A. B.1 C. D.【答案】D【解析】不妨设A点在B点上方，由题意知：F2(1，0)，将F2的横坐标代入椭圆方程1中，可得A点纵坐标为，故|AB|3，所以由SCr得内切圆半径r(其
15、中S为ABF1的面积，C为ABF1的周长).5.已知椭圆1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()A. B.2 C.2 D.【答案】A【解析】由椭圆的方程可知a2，c，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F2|F1F2|PF2|21.二、填空题6.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)且a2b，则椭圆的标准方程为_.【答案】1【解析】c2，a24b2，a2b23b2c21
16、2，b24，a216.又焦点在y轴上，标准方程为1.7.设F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若F2AB的面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为_.【答案】1【解析】F2AB是面积为4的等边三角形，ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，可求得|F1A|F1B|.又|F1F2|2c，F1F2A30，2c.又SF2AB2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，椭圆C的方程为1.8.(2019昆明诊断)椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是_.【答案】(3，0)或(3，0)【解析】记椭圆的两个焦点分别为
17、F1，F2，有|PF1|PF2|2a10.则m|PF1|PF2|25，当且仅当|PF1|PF2|5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立，即m取得最大值25.点P的坐标为(3，0)或(3，0).三、解答题9.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3).若F1AF2A，求椭圆的标准方程.【答案】见解析【解析】设所求椭圆的标准方程为1(ab0).设焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0).F1AF2A，0，而(4c，3)，(4c，3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5，0)，F2(5，0).2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215
18、.所求椭圆的标准方程为1.10.已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程.【答案】见解析【解析】(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，椭圆的离心率为e.(2)由题知A(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，设B(x，y).由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程
19、为1.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.已知椭圆1(ab0)的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若0，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，M(a，0)，N(0，b)，F(c，0)，(a，b)，(c，b).0，acb20，即b2ac.又b2a2c2，a2c2ac.e2e10，解得e或e(舍).椭圆的离心率为.12.(2019湖南湘东五校联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，且60PF1F2120，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.(，1) B.(，)C. D.【答案】B【解析
20、】由题意可得，|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cos PF1F24c24c222c2ccos PF1F2，即|PF2|2c，所以acc，又60PF1F2120，cos PF1F2，所以2ca(1)c，则，即e1)上两点A，B满足2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大.【答案】5【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即x12x2，y132y2.因为点A，B在椭圆上，所以得y2m，所以xm(32y2)2m2m(m5)244，所以当m5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2.14.(2019石家庄月考)已知点M(，)在椭圆C：1(ab0)上，且椭圆的离心率
21、为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积.【答案】见解析【解析】(1)由已知得解得故椭圆C的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).由消去y，整理得4x26mx3m2120，由根与系数的关系得x1x2m，x1x2，由36m216(3m212)0得m216，则x0m，y0x0mm，即D.因为AB是等腰PAB的底边，所以PDAB，即PD的斜率k1，解得m2，满足m2b0)的右焦点为F(1，0)，其关于直线ybx的对称点Q在椭圆上，则离心率e_，SFOQ_.【答案】【解析】设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1，0)关于直线ybx对称得解得代入椭圆C的方程得1，结合a2b21解得则椭圆的离心率e，SFOQ|OF|1.17
