1、第六篇 平面向量与复数专题6.03平面向量的数量积及其应用【考试要求】1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.【知识梳理】1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记a，b，则AOB(0180)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积(或内积)ab|a|b|cos_.规定：零向量与任一向量的数量
2、积为0，即0a0.(3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角.(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos .(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.3.平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律).(2)ab(ab)a(b)(结合律).(3)(ab)cacbc(分配律).【微点提醒】1.两个向量a，b的夹角为锐角
3、ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(4)若abac(a0)，则bc.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)两个向量夹角的范围是0，.(4)由abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa
4、，c，所以向量b和c不一定相等.【教材衍化】2.(必修4P108A10改编)设a，b是非零向量.“ab|a|b|”是“ab”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设a与b的夹角为.因为ab|a|b|cos |a|b|，所以cos 1，即a与b的夹角为0，故ab.当ab时，a与b的夹角为0或180，所以ab|a|b|cos |a|b|，所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件.3.(必修4P108A2改编)在圆O中，长度为的弦AB不经过圆心，则的值为_.【答案】1【解析】设向量，的夹角为，则|cos |cos |()
5、21.【真题体验】4.(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A.4 B.3 C.2 D.0【答案】B【解析】a(2ab)2|a|2ab212(1)3.5.(2018上海嘉定区调研)平面向量a与b的夹角为45，a(1，1)，|b|2，则|3ab|等于()A.136 B.2C. D.【答案】D【解析】依题意得a22，ab2cos 452，|3ab|.6.(2017全国卷)已知向量a(1，2)，b(m，1).若向量ab与a垂直，则m_.【答案】7【解析】由题意得ab(m1，3)，因为ab与a垂直，所以(ab)a0，所以(m1)230，解得m7.【考点聚焦】考点一平面
6、向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m(2k1，k)与向量n(4，1)共线，则mn()A.0 B.4 C. D.(2)(2018天津卷)在如图的平面图形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，则的值为()A.15 B.9 C.6 D.0【答案】(1)D(2)C【解析】(1)由题意得2k14k0，解得k，即m，所以mn241.(2)连接OA.在ABC中，333()3()3()，3()3(2)3(21cos 12012)3(2)6.【规律方法】1.数量积公式ab|a|b|cos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐
7、标系，借助数量积的坐标运算公式abx1x2y1y2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则等于()A.16 B.12 C.8 D.4(2)(2019皖南八校三模)已知|a|b|1，向量a与b的夹角为45，则(a2b)a_.【答案】(1)A(2)1【解析】(1)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3).设E(0，t)，(2，3)(4，t)83t0，
8、t，即E，(0，6)16.(2)因为|a|b|1，向量a与b的夹角为45，所以(a2b)aa22ab|a|22|a|b|cos 451.考点二平面向量数量积的应用角度1平面向量的垂直【例21】 (1)(2018北京卷)设向量a(1，0)，b(1，m).若a(mab)，则m_.(2)(2019宜昌二模)已知ABC中，A120，且AB3，AC4，若，且，则实数的值为()A. B. C.6 D.【答案】(1)1(2)A【解析】(1)a(1，0)，b(1，m)，a21，ab1，由a(mab)得a(mab)0，即ma2ab0.m(1)0，m1.(2)因为，且，所以有()()22(1)220，整理可得(1
9、)34cos 1209160，解得.【规律方法】1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算ab0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有ab0，但不能说ab.角度2平面向量的模【例22】 (1)已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_.(2)(2019杭州调研)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.【答案】(1)(2)5【解析】(1)由(2)得(2)220，所以，所以(2)2422441222410，所以|2|.(2)建立平
10、面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).所以3(2，y)3(1，by)(5，3b4y)，所以|3|(0yb)，所以当yb时，|3|取得最小值5.【规律方法】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3平面向量的夹角【例23】 (1)(2019衡水中学调研)已知非
11、零向量a，b满足|ab|ab|a|，则向量ab与ab的夹角为_.(2)若向量a(k，3)，b(1，4)，c(2，1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.【答案】(1)(2)【解析】(1)将|ab|ab|两边平方，得a2b22aba2b22ab，ab0.将|ab|a|两边平方，得a2b22aba2，b2a2.设ab与ab的夹角为，cos .又0，.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2，1)0，解得k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，此时2a3b与c反向，不合题意.综上，k的取值范围为.【规律方法】1.研
12、究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或；注意向量夹角的取值范围是0，；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos 求解.2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a(2，3)，b(3，m)，且ab，则m_.(2)(一题多解)(2017全国卷)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(3)(2017山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_.【答案】(1)2(2)2(3)【
13、解析】(1)由ab，得ab0，又a(2，3)，b(3，m)，63m0，则m2.(2)法一|a2b|2.法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(3)由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e2|.所以cos 60，解得.考点三平面向量与三角函数【例3】 (2019潍坊摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影.【
14、答案】见解析【解析】(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，且B是ABC一内角，则B.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，c7舍去，故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1.【规律方法】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019石家庄模拟
15、)已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，且mnsin 2C.(1)求角C的大小；(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且()18，求边c的长.【答案】见解析【解析】(1)由已知得mnsin Acos Bcos Asin Bsin(AB)，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，所以mnsin C，又mnsin 2C，所以sin 2Csin C，所以cos C.又0C，所以C.(2)由已知及正弦定理得2cab.因为()18，所以abcos C18，所以ab36.由余弦定理得c2a2b22a
16、bcos C(ab)23ab所以c24c2336，所以c236，所以c6.【反思与感悟】1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.【易错防范】数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出bc，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(ab)c不一定等于a(bc).【核心素养提升】【数学运算、数学建模】平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在
17、明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O为ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为ABC的外心|.(2)O为ABC的重心0.(3)O为ABC的垂心.(4)O为ABC的内心abc0.类型1平面向量与三角形的“重心”【例1】 已
18、知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过()A.ABC的内心 B.ABC的垂心C.ABC的重心 D.AB边的中点【答案】C【解析】取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心.类型2平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0，1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()A. B. C.4 D.6【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边
19、形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍.在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.设ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC.类型3平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，(0，)，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心【答案】B【解析】因为，所以，所以(|)0，所以，所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过ABC的垂心.类型4平面向量与三
20、角形的“外心”问题【例4】 已知在ABC中，AB1，BC，AC2，点O为ABC的外心，若xy，则有序实数对(x，y)为()A. B.C. D.【答案】A【解析】取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则，(xy)y，(xy)x.由，得2y0，由，得2x0，又因为2()2222，所以，把代入、得解得x，y.故实数对(x，y)为.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知向量a(m1，1)，b(m，2)，则“m2”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当m2时，a(1，1)，b(2，2)，所以ab(
21、1，1)(2，2)220，所以ab，充分性成立；当ab时，ab(m1，1)(m，2)m(m1)20，解得m2或m1，必要性不成立.所以“m2”是“ab”的充分不必要条件.2.(2019北京通州区二模)已知非零向量a，b的夹角为60，且|b|1，|2ab|1，则|a|()A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由题意得ab|a|1，又|2ab|1，|2ab|24a24abb24|a|22|a|11，即4|a|22|a|0，又|a|0，解得|a|.3.(2019石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.【答案】D【解析】设|b|
22、1，则|ab|ab|2.由|ab|ab|，得ab0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|，设向量ab与a的夹角为，则cos ，又0，所以.4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB4，BCCD2，若E，F分别是边BC，AB上的点，且满足，则当0时，的值所在的区间是()A. B.C. D.【答案】B【解析】在等腰梯形ABCD中，AB4，BCCD2，可得，60，所以，60，120，所以424，424，222，又，所以，则，所以()()220，即22720，解得(舍去)或.5.(2017浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O.记I1，I2，I3，
23、则()A.I1I2I3 B.I1I3I2C.I3I1I2 D.I2I1I3【答案】C【解析】如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOAF，而AFB90，AOB与COD为钝角，AOD与BOC为锐角，根据题意，I1I2()|cosAOB0，I1I3，作AGBD于G，又ABAD，OBBGGDOD，而OAAFFCOC，|，而cosAOBcosCOD，即I1I3.I3I14，且tsin 取最大值4时，求.【答案】见解析【解析】(1)由题设知(n8，t)，a，8n2t0.又|，564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；当t8时，n8，(24，8)或(8，8).(2)
24、由题设知(ksin 8，t)，与a共线，t2ksin 16，tsin (2ksin 16)sin 2k(sin )2.k4，00)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.13.(2019安徽师大附中二模)在ABC中，AB2AC6，2，点P是ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时，_.【答案】9【解析】|cos B|2，|cos B|6，即A，以A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B(6，0)，C(0，3)，设P(x，y)，则222x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453(x2)2(y1)210当x2，y1时，222取得最小值，此时(2，1)(6，3)9.14.在
25、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ac)c.(1)求角B的大小；(2)若|，求ABC面积的最大值.【答案】见解析【解析】(1)由题意得(ac)cos Bbcos C.根据正弦定理得(sin Asin C)cos Bsin Bcos C，所以sin Acos Bsin(CB)，即sin Acos Bsin A，因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为|，所以|，即b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2).故ABC的面积Sacsin B，因此ABC的面积的最大值为.【新高考创新预测】15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量和，定义cos ，其中为和的夹角.若两个非零的平面向量a和b满足：|a|b|；a和b的夹角；ab和ba的值都在集合x|x，nN中，则ab的值为_.【答案】【解析】abcos ，bacos ，m，nN.由a与b的夹角，知cos2，故mn3，m，nN.因为|a|b|，所以0ba1，所以m1，n3，所以ab.22
