1、5.3平面向量的数量积考情考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积拓展
2、：向量数量积不满足：消去律，即abacbc；结合律，即(ab)ca(bc)3向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b)ab.(3)(ab)cacbc.4平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|概念方法微思考1a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相同吗？提示不相同因为a在b方向上的投影为|a|cos，而b在a方向上的投影为|b|cos，其中为a与b的夹角2两个向量的数量积大于0，则
3、夹角一定为锐角吗？提示不一定当夹角为0时，数量积也大于0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(2)由ab0可得a0或b0.()(3)(ab)ca(bc)()(4)两个向量的夹角的范围是.()(5)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()题组二教材改编2P90T18已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_.答案12解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3P89T8已知两个单位
4、向量e1，e2的夹角为.若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.答案6解析b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.因为e1，e2为单位向量，e1，e2，所以b1b23283186.题组三易错自纠4已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案2解析方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.5已知|a|3，|b|2，若ab3，则a与b的夹角的大小为_答案解析设a与b的夹角为，则cos.又0，所
5、以.6已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_.答案解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，abbcac11cos120，abbcac.题型一平面向量数量积的基本运算1(2018全国改编)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)_.答案3解析a(2ab)2a2ab2|a|2ab.|a|1，ab1，原式21213.2(2018苏北四市调研)已知平面向量a与b的夹角等于，若|a|2，|b|3，则|2a3b|_.答案解析由题意可得ab|a|b|cos3，所以|2a3b|.3(2018江苏)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，
6、以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_答案3解析设A(a,2a)，则a0.又B(5,0)，故以AB为直径的圆的方程为(x5)(xa)y(y2a)0.由题意知C.由解得或D(1,2)又0，(5a，2a)，(5a，2a)a25a0，解得a3或a1.又a0，a3.4(2018江苏淮安清江中学调研)如图，在ABC中，BAC120，ABAC2，D为BC边上的点，且0，2，则_.答案1解析0，且D为BC的中点，BC30，在RtADB中可求得AD1，0，()2，1.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)
7、当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模与夹角例1(1)在ABC中，BAC60，AB5，AC6，D是AB上一点，且5，则|_.答案3解析如图所示，设k，所以k，所以(k)k225k5625k155，解得k，所以|3.(2)设向量a，b满足|a|2，|b|1，a(ab)3，则a与b的夹角为_答案解析由题意得a(ab)a2ab421cos42cos3，cos，0，.(3)设向量a，b，c满足|a|b|2，ab2，ac，bc60，则|c|的最大值为_答案4解析因为|
8、a|b|2，ab2，所以cosa，b，a，b120.如图所示，设a，b，c，则ac，bc，AOB120.所以ACB60，所以AOBACB180，所以A，O，B，C四点共圆不妨设为圆M，因为ba，所以2a22abb212.所以|2，由正弦定理可得AOB的外接圆即圆M的直径为2R4.所以当|为圆M的直径时，|c|取得最大值4.命题点2平面向量的平行与垂直例2在平面直角坐标系xOy中，已知向量(6,1)，(x，y)，(2，3)，且.(1)求x与y之间的关系式；(2)若，求四边形ABCD的面积解(1)由题意得(x4，y2)，(x，y)因为，所以(x4)y(y2)x0，即x2y0.(2)由题意(x6，y
9、1)，(x2，y3)因为，所以(x6)(x2)(y1)(y3)0，即x2y24x2y150，联立解得或当时，(8,0)，(0，4)，S四边形ABCDACBD16；当时，(0,4)，(8,0)，S四边形ABCDACBD16.所以四边形ABCD的面积为16.思维升华 (1)求解平面向量模的方法利用公式|a|.利用|a|.(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos，的取值范围为0，坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos.解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中跟踪训练1(1)(2018江苏无锡梅村高中模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB2，BCD是等边三角形，若1，则AD的长为_答
10、案解析取BD的中点H，连结AH，CH，由BCD为等边三角形，可得CHBD，由1，可得()A()()(22)1，可得222426，所以|.(2)已知平面向量，满足|1，且与的夹角为120，则的模的取值范围是_答案解析设在ABC中，a|1，A60，|c，由正弦定理得，则c，即csinC.又0sinC1，即c的取值范围是，则的模的取值范围是.(3)设a，b，c是同一平面内的三个向量，a(1,2)若|c|2，且ca，求c的坐标；若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解因为ca，设ca(，2)，又|c|2，所以5220，解得2，所以c(2,4)或(2，4)因为(a2b)(2ab)0，所以2a2
11、ab4ab2b20，解得ab，即cos，又0，所以.题型三平面向量与三角函数例3如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且B，AOB，AOP(0)，四边形OAQP的面积为S.(1)求cossin；(2)求S的最大值及此时的值0.解(1)B，AOB，cos，sin，cossin.(2)由已知得A(1,0)，P(cos，sin)，(1cos，sin)，1cos，又Ssin，Ssincos1sin1，又0，sin1，则S的最大值为1，此时0.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关
12、系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sinx，cosx)，x.(1)若mn，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sinx，cosx)，mn.所以mn0，即sinxcosx0，所以sinxcosx，所以tanx1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sinxcosx，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.1在ABC中，ABAC2，BC2，则_.答案2解析由余弦定理得cosA，所以|
13、cosA222.2已知向量a，b满足|a|1，|b|2，ab(，)，则|2ab|_.答案2解析根据题意，|ab|，则(ab)2a2b22ab52ab5，可得ab0，结合|a|1，|b|2，可得(2ab)24a2b24ab448，则2.3已知向量a(1,1)，b(2，3)，若ka2b与a垂直，则实数k的值为_答案1解析向量a(1,1)，b(2，3)，则ka2b.若ka2b与a垂直，则k4k60，解得k1.4已知四边形ABCD，若2，则的值为_答案0解析因为()()()，所以0.5(2018苏北四市考试)如图，在半径为2的扇形AOB中，AOB90，P为上的一点，若2，则的值为_答案22解析方法一因
14、为|cosAOP22cosAOP2，所以AOP60，BOP30，所以()|cosBOP222cos30222.方法二以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴、y轴设AOP，则P(2cos，2sin)，A(2,0)，B(0,2)，则(2cos，2sin)(2,0)4cos2，解得cos，即，所以P(1，)，则(1，)(2,2)22.6(2018江苏无锡梅村高中月考)已知平面向量a，b满足|a|2，|b|2，|a2b|5，则向量a，b夹角的余弦值为_答案解析因为平面向量a，b满足|a|2，|b|2，|a2b|5，则|a2b|5，解得cosa，b.7已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(
15、含边界)一动点，则的取值范围是_答案1,3解析如图所示，由题意可得，点M所在区域的不等式表示为(x1)2(y1)21(0x2,0y2)可设点M(x，y)，A(0,0)，B(2,0)(x，y)(2x，y)x(2x)y2(x1)2y21，由0,2，1,38.如图，在ABC中，AC3，BC4，C90，D是BC的中点，则的值为_答案17解析如图，建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2)则(3，4)，(3,2)3(3)4217.9(2018南京模拟)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，则实数的值为_答案解析由题意知，()(1)，所以(1)()(1)22(1
16、2)9(1)4(12)32cos1201912，所以.10(2016江苏)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_答案解析设a，b，则(a)(b)ab4.又D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则()ab，ab.ab，aabab，babab，则a2b2ab(a2b2)41.可得a2b2.又aabab.babab，则(a2b2)ab4.11已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，求()的最小值解方法一设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为
17、222.方法二以AB所在直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取最小值，为2.12(2017江苏)已知向量a(cosx，sinx)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cosx，sinx)，b(3，)，ab，所以cosx3sinx.若cosx0，则sinx0，与sin2xcos2x1矛盾，故cosx0.于是tanx.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cosx，sin
18、x)(3，)3cosxsinx2cos.因为x0，所以x，从而1cos，于是，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时，f(x)取得最小值2.13已知O是ABC内部一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为_答案解析0，O为三角形的重心，OBC的面积为ABC面积的，2，|cosBAC2，BAC60，|4，ABC的面积为|sinBAC，OBC的面积为.14在ABC中，A120，3，点G是ABC的重心，则|的最小值是_答案解析设BC的中点为D，因为点G是ABC的重心，所以()()，再令|c，|b，则bccos1203，所以bc6，所以|2(|22|2)(c2b26)(2bc6)，所以|，
19、当且仅当bc时取等号15.如图，等边ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上滑动，M为AB的中点，则的最大值为_答案解析设OBC，则B，C，A，M，2sinsin4cos22cos26coscos2sin224cos26coscos24cos26cos2cos23sincoscos2sin2sin.的最大值为.16已知，是非零不共线的向量，设，定义点集A，当F1，F2A时，若对于任意的m3，当F1，F2不在直线PQ上时，不等式k恒成立，求实数k的最小值解由(m3)，可得P，Q，M三点共线且m，由A，可得cosPFMcosQFM，即PFMQFM，则FM为PFQ的角平分线，由角平分线的性质定理可得m，以P为坐标原点，PQ所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则P，Q，F(x，y)，于是m，化简得2y22，故点F(x，y)是以为圆心，为半径的圆要使得不等式对m3恒成立，只需2k，即k22对m3恒成立，k2.19
