1、 5.4 平面向量的综合应用平面向量的综合应用 最新考纲 考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几 何问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题及 其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数 列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等 问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式 出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题. 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 共线向量定理 ababx1y2x2y10， 其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0 垂直问题 数量积的运算性质 ab
2、a b0x1x2y1y20， 其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为 非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos a b |a|b|( 为向量 a，b 的夹角)，其中 a，b 为非零向量 长度问题 数量积的定义 |a| a2 x2y2，其中 a(x，y)，a 为 非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题 设向量 向量问题 运算 解决向量问题 还原 解决几何问题 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量 的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的 主体 3
3、平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似， 可以用向量的知识来解决 (2)物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 WF s|F|s|cos ( 为 F 与 s 的夹角) 4向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题 知识拓展 1若 G 是ABC 的重心，则GA GB GC 0. 2若直线l 的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l 垂直，向量(B，A)与直线l 平行 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确
4、(请在括号中打“”或“”) (1)若AB AC，则 A，B，C 三点共线( ) (2)在ABC 中，若AB BC0)，则其准线方程为 xp 2. 曲线 E 的方程可化为(x3)2(y2)216， 则有 3p 24，解得 p2，所以抛物线 M 的方程为 y 24x，F(1,0)设 A y20 4，y0 ，则OA y20 4，y0 ，AF 1y 2 0 4，y0 ，所以OA AF y20 4 1y 2 0 4 y204，解得 y0 2.所以点 A 的坐 标为(1,2)或(1，2) 题型一题型一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60
5、 ，E 为 CD 的中点若AC BE1，则 AB_. 答案 1 2 解析 在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则BE FD ，BE FD AD 1 2AB ， 又AC AD AB ， AC BE(AD AB ) AD 1 2AB AD 21 2AD AB AD AB 1 2AB 2 |AD |21 2|AD |AB |cos 60 1 2|AB |2 11 2 1 2|AB |1 2|AB |21. 1 2|AB | |AB|0，又|AB|0，|AB|1 2. (2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA (AB AC)，(
6、0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析 由原等式， 得OP OA(ABAC)， 即AP(ABAC)， 根据平行四边形法则， 知ABAC是 ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD 的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心 引申探究 本例(2)中， 若动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ， (0， )， 则点 P 的轨迹一定通过ABC 的_ 答案 内心 解析 由条件，得OP OA AB |AB | AC |AC | ，即AP AB |AB | AC |AC | ，而 AB |AB |和 AC |AC |分别
7、表示平行 于AB ， AC的单位向量， 故AB |AB | AC |AC |平分BAC， 即AP 平分BAC， 所以点 P 的轨迹必过ABC 的内心 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的 代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 跟踪训练 (1)在ABC中， 已知向量AB 与AC满足 AB |AB | AC |AC | BC 0， 且AB |AB | AC |AC | 1 2， 则ABC 为( ) A
8、等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 答案 A 解析 AB |AB |， AC |AC |分别为平行于AB ， AC的单位向量， 由平行四边形法则可知AB |AB | AC |AC |为BAC 的平分线因为 AB |AB | AC |AC | BC 0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC. 又 AB |AB | AC |AC | AB |AB | AC |AC | cosBAC1 2，所以 cosBAC 1 2，又 0BAC，故BAC 3， 所以ABC 为等边三角形 (2)(2017 湖南长沙长郡中学临考冲刺训练)如图，在平行四边形 ABCD 中，
9、AB1，AD2， 点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，AD 边上的中点，则EF FG GH HE 等于( ) A.3 2 B3 2 C.3 4 D3 4 答案 A 解析 取 HF 中点 O， 则EF FG EF EH EO 2OH2 1 1 2 23 4， GH HE GH GF GO 2OH 2 1 1 2 23 4， 因此EF FG GH HE 3 2，故选 A. 题型二题型二 向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用 典例 (1)已知向量OA (k,12)，OB (4,5)，OC (10，k)，且 A，B，C 三点共线，当 k0 时， 若 k 为直线的斜率，则过点(2，1)
10、的直线方程为_ 答案 2xy30 解析 AB OB OA (4k，7)， BC OC OB (6，k5)，且AB BC， (4k)(k5)670， 解得 k2 或 k11. 由 k0 可知 k2，则过点(2，1)且斜率为2 的直线方程为 y12(x2)，即 2xy 30. (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 4 y2 31 的中心和左焦点， 点 P 为椭圆上的任意一点， 则OP FP 的最大值为_ 答案 6 解析 由题意，得 F(1,0)，设 P(x0，y0)， 则有x 2 0 4 y20 31，解得 y 2 03 1x 2 0 4 ， 因为FP (x 01，y0)，OP (x0，y0
11、)， 所以OP FP x 0(x01)y 2 0x 2 0x03 1x 2 0 4 x 2 0 4x03，对应的抛物线的对称轴方程为 x0 2，因为2x02，故当 x02 时，OP FP 取得最大值22 4 236. 思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向 量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、 斜率、夹角、轨迹、最值等问题 (2)工具作用：利用 aba b0(a，b 为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行 问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解
12、析几何中的垂直、平行问题是一种比 较简捷的方法 跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 l：xky10 与圆 C：x2y24 相交于 A，B 两点，OM OA OB ，若点 M 在圆 C 上，则实数 k_. 答案 0 解析 设 AB 的中点为 D，则有OM OA OB 2OD ， |OM |2|OD |R2(R 为圆 C 的半径)， |OD |1. 由点到直线的距离公式，得 1|001| k21 ，解得 k0. (2)(2017 安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)已知点 A 在椭圆x 2 25 y2 91 上，点 P 满 足AP (1) OA (R)(O 是坐标原点)，
13、且OA OP 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的 最大值为_ 答案 15 解析 因为AP (1)OA ，所以OP OA ， 即 O，A，P 三点共线，因为OA OP 72， 所以OA OP |OA |272， 设 A(x，y)，OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的投影长度为|OP |cos |x| 72|x| |OA |2 72|x| x2y2 72 16 25|x| 9 |x| 72 2 169 25 15， 当且仅当|x|15 4 时取等号 题型三题型三 向量的其他应用向量的其他应用 命题点 1 向量在不等式中的应用 典例 已知 O 是坐标原点， 点 A(
14、1,2)， 若点 M(x， y)为平面区域 xy2， x1， y2 上的一个动点， 则OA OM 的取值范围是( ) A1,0 B0,1 C1,3 D1,4 答案 D 解析 作出点 M(x，y)满足的平面区域，如图阴影部分所示，设 zOA OM ，因为 A(1,2)， M(x，y)，所以 zOA OM x2y，即 y1 2x 1 2z.平移直线 y 1 2x，由图象可知，当直线 y 1 2x 1 2z 经过点 C(0,2)时，截距最大，此时 z 最大，最大值为 4，当直线 y 1 2x 1 2z 经过点 B 时，截距最小，此时 z 最小，最小值为 1，故 1z4，即 1OA OM 4. 命题点
15、 2 向量在解三角形中的应用 典例 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 20aBC 15bCA12cAB0，则 ABC 最小角的正弦值等于( ) A.4 5 B.3 4 C.3 5 D. 7 4 答案 C 解析 20aBC 15bCA12cAB0， 20a(AC AB)15bCA12cAB0， (20a15b)AC (12c20a)AB0， AC 与AB不共线， 20a15b0， 12c20a0， 解得 b4 3a， c5 3a， ABC 最小角为角 A， cos Ab 2c2a2 2bc 16 9 a225 9 a2a2 24 3a 5 3a 4 5， sin A3
16、5，故选 C. 命题点 3 向量在物理中的应用 典例 如图，一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已 知 F1，F2成 60 角，且 F1，F2的大小分别为 2 和 4，则 F3的大小为( ) A2 7 B2 5 C2 D6 答案 A 解析 如题图所示，由已知得 F1F2F30，则 F3(F1F2)，即 F23F21F222F1 F2 F21F222|F1| |F2| cos 60 28.故|F3|2 7. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义 或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化 跟踪训练 (1)函数
17、ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N 分别是最高点、最低 点，O 为坐标原点，且OM ON 0，则函数 f(x)的最小正周期是_ 答案 3 解析 由图象可知，M 1 2，1 ，N( )xN，1 ， 所以OM ON 1 2，1 (xN，1) 1 2xN10， 解得 xN2， 所以函数 f(x)的最小正周期是 2 21 2 3. (2)已知 x，y 满足 yx， xy2， xa， 若OA (x,1)，OB (2，y)，且OA OB 的最大值是最小值的 8 倍，则实数 a 的值是_ 答案 1 8 解析 因为OA (x,1)，OB (2，y)，所以OA OB 2xy，令 z2x y，依题意
18、，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)， 观察图象可知，当目标函数 z2xy 过点 C(1,1)时，zmax211 3， 目标函数 z2xy 过点 F(a， a)时， zmin2aa3a， 所以 383a， 解得 a1 8. 三审图形抓特点 典例 已知 A，B，C，D 是函数 ysin(x) 0，0 2 一个周期内的图象上的四个 点，如图所示，A 6，0 ，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个 对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，由CD 在 x 轴上的投影为 12，则 ， 的值为( ) A2， 3 B2， 6 C1 2， 3 D1 2， 6 E为函数图象的对称中心，C为图象最低点 作出点C的对称点M D，B两点对称 CD和MB对称 CD在x轴上 的投影是 12 BM在x轴上的投影OF= 12 A (- 6，0) AF 4 T 2 ysin2x 和ysin 2x图象比较 2 6 3 解析 由 E 为该函数图象的一个对称中心，作点 C 的对称点 M，作 MFx 轴，垂足为 F， 如图B 与 D 关于点 E 对称，由CD 在 x 轴上的投影为 12，知 OF 12. 又 A 6，0 ，所以 AF T 4 2 4，所以 2.同时函数 ysin(x)图象可以看作是由 y sin x 的图象向左平移得到，故可知 2 6，即 3. 答案 A
