2022届高三统考数学(文科)人教版一轮复习学案:5.3 平面向量的数量积与应用举例

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1、第三节第三节 平面向量的数量积与应用举例平面向量的数量积与应用举例 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1平面向量的数量积的定义 (1)已知两个_a、b,过 O 点作OA a,OB b,则AOB(0 180 ) 叫做向量 a 与 b 的_. 很显然,当且仅当两非零向量 a、b 同方向时,_,当且仅当 a、b 反方向时, _,特别地,0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题 (2)如果 a,b 的夹角为 90 ,则称 a 与 b 垂直,记作_. (3)a, b 是两个非零向量, 它们的夹角为 , 则数|a| |b| cos 叫做 a 与 b 的数量积 记作 a b, 即 a b_

2、. 规定 0 a0. 当 ab 时,90 ,这时_0. (4)a b 的几何意义 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的_. 2向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量,则 a ee a_. (2)ab_且 a b0_.(a,b 为非零向量) (3)a a_,|a| _. (4)cosa,b_. (5)|a b|_|a|b|. 3数量积的运算律 (1)交换律 a b_. (2)分配律(ab) c_. (3)对 R,(a b)_. 4数量积的坐标运算 设 a(a1,a2),b(b1,b2),则 (1)a b_. (2)ab 21_. (3)|a| 22_. (4)cosa,b 2

3、3_. 二、必明 2 个易误点 1若 a,b,c 是实数,则 abacbc(a0);但对于向量就没有这样的性质,若向量 a,b,c 满足 a ba c(a0),则不一定有 bc,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以 同时乘以一个向量 2数量积运算不适合结合律,即(a b) ca (b c) 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个向量的数量积是一个向量( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量( ) (3)若 a b0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 a b|b|,且 a 与 b 同向,则 ab B|ab|a|b| C|a

4、 b|a| |b| D|ab|a|b| 3 若 e1, e2是夹角为 60 的两个单位向量, 则 a2e1e2与 b3e12e2的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 三、易错易混 4已知 a,b 为非零向量,则“a b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知向量 a,b 的夹角为 60 ,|a|2,|b|1,则|a2b|_. 四、走进高考 62020 全国卷设 a,b 为单位向量,且|ab|1,则|ab|_. 考点一 平面向量的数量积自主练透型 1已知正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 满足AP

5、 1 2(AB AC),则|PD |_;PB PD _. 22019 全国卷已知AB (2,3),AC(3,t),|BC|1,则AB BC( ) A3 B2 C2 D3 32021 南昌市高三年级摸底测试卷已知ABC 中,AB4,AC3,A 3,BC 的中 点为 M,AM AB 等于( ) A.15 2 B11 C12 D15 4 2021 重庆第一中学月考已知非零向量 a, b, c 满足 abc0, a, b 的夹角为 120 , 且|b|2|a|,则向量 a,c 的数量积为( ) A0 B2a2 C2a2 Da2 考点二 平面向量数量积的性质(高频考点) 互动讲练型 考向一:平面向量的模

6、 例 1 (1)2021 惠州市高三调研考试试题平面向量 a 与 b 的夹角为 3,a(2,0),|b|1, 则|a2b|( ) A2 3 B. 6 C0 D2 (2)2021 河北省九校高三联考试题已知两个不相等的非零向量 a,b 满足|a|1,且 a 与 b a 的夹角为 60 ,则|b|的取值范围是( ) A(0, 3 2 ) B 3 2 ,1) C 3 2 ,) D(1,) 考向二:平面向量的夹角 例 2 (1)2020 全国卷已知向量 a,b 满足|a|5,|b|6,a b6,则 cosa,ab ( ) A31 35 B 19 35 C. 17 35 D. 19 35 (2)2021

7、 山西省八校高三联考已知向量 a(1,2),单位向量 b 满足 b (a 5b) 5 2 , 则向量 a,b 的夹角 为_ 考向三:平面向量的垂直与平行 例 3 (1)2020 全国卷已知单位向量 a,b 的夹角为 45 ,kab 与 a 垂直,则 k _. (2)2021 贵阳市适应性考试已向量 a(1,2),b(m,1), 若 a(ab),则 a b( ) A.5 2 B 5 2 C. 3 2 D 3 2 悟 技法 平面向量数量积应用的技巧 1求两向量的夹角,cos a b |a| |b|,要注意 0, 2两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是:aba b0|ab|ab|. 3求向量的

8、模的方法 (1)公式法:利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a b|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算 (2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向 量,再利用余弦定理等方法求解. 变式练(着眼于举一反三) 12021 广东省七校联合体高三联考试题已知向量 a、b 的夹角为 60 ,|a|2,|b|1, 则|ab|( ) A. 3 B. 5 C2 3 D. 7 22021 福州市高三毕业班适应性练习卷已知两个单位向量 e1,e2,若(e12e2)e1,则 e1,e2的夹角为( ) A.2 3 B. 3 C. 4 D. 6 32021 黄冈中

9、学,华师附中等八校联考已知平面向量 a(1,3),b(4,2),若 a b 与 b 垂直,则 ( ) A1 B1 C2 D2 考点三 平面向量与三角函数的综合应用 互动讲练型 例 4 2021 福建泉州模拟已知函数 f(x)d e,其中 d(2cos x, 3sin 2x),e(cos x,1),xR. (1)求函数 yf(x)的单调递减区间; (2)在ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,f(A)1,a 7,且向量 m (3,sin B)与 n(2,sin C)共线,求边长 b 和 c 的值 悟 技法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中

10、含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得 到三角函数的关系式,然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路 是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求值域等. 变式练(着眼于举一反三) 42017 江苏卷已知向量 a(cos x,sin x),b(3, 3),x0, (1)若 ab,求 x 的值; (2)记 f(x)a b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 第三节第三节 平面向量的数量积与应用举例平面向量的数量积与应用举例 【知识重温】【知识重温】 非零向量 夹角 0 180 ab |a|b|cos a

11、b 投影的乘积 |a|cosa,e a b0 ab |a|2 a a a b |a| |b| b a a cb c (a)b a(b) 1 122 aba b 21 1 122 aba b 0 22 22 12 aa 23 1 122 2222 1212 aba b aabb 【小题热身】【小题热身】 1答案:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析:对于 A:向量不能比较大小,故 A 错误;对于 B:由向量运算的三角形法则, 可得 B 正确;对于 C:a b|a|b|cos ,则必有|a b|a| |b|,C 错误;对于 D:由向量运算的 三角形法则,有|ab|a|b|,D 错

12、误 答案:B 3解析:由题意知 e1 e211cos 60 1 2. a b6e21e1 e22e2261 22 7 2. |a| 2e1e22 4e21e224e1 e2 412 7, |b|3e12e22 9e2112e1 e24e22 9121 24 7, cosa,b a b |a|b| 7 2 7 7 1 2. a 与 b 的夹角为 120 . 答案:C 4解析:根据向量数量积的定义可知,若 a b0,则 a 与 b 的夹角为锐角或零角,若 a 与 b 的夹角为锐角,则一定有 a b0,所以“a b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分 条件,故选 B. 答案:B 5解析:方

13、法一 |a2b| a2b2 a24a b4b2 22421cos 60 412 122 3. 方法二 (数形结合法) 由|a|2b|2 知,以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB,如图,则|a2b|OC |. 又AOB60 ,所以|a2b|2 3. 答案:2 3 6解析:由|ab|1,得|ab|21,即 a2b22a b1,而|a|b|1,故 a b1 2,|a b| |ab|2 a2b22a b 111 3. 答案: 3 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析: 解法一 如图, 在正方形 ABCD 中, 由AP 1 2(AB AC)得点 P 为 BC 的中点, |PD

14、| 5, PB PD PB (PCCD )PB PCPB CD PB PC11cos 180 1. 解法二AP 1 2(AB AC),P 为 BC 的中点,以 A 为原点,建立如图所示的平面直角坐 标系,由题意知 A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(2,1),|PD |202122 5,PB (0,1),PD (2,1),PB PD (0,1) (2,1)1. 答案: 5 1 2解析:因为BC ACAB(1,t3),所以|BC| 1t321,解得 t3,所以BC (1,0),所以AB BC21302,故选 C. 答案:C 3 解析: 解法一 因为 M 为 BC 的中点,

15、 所以AM 1 2(AB AC), 则AM AB 1 2(AB AC) AB 1 2AB 21 2AB AC81 243cos 311,故选 B. 解法二 如图,以 A 为坐标原点,AC 所在的直线为 x 轴,过点 A 与 AC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 A(0,0),C(3,0),B(2,2 3)因为 M 为 BC 的中心,所以 M(5 2, 3), 所以AM (5 2, 3),AB (2,2 3),所以AM AB 5 22 32 311,故选 B. 答案:B 4解析:由非零向量 a,b,c 满足 abc0,可得 c(ab),所以 a ca (a b)a2a ba2|a|

16、|b| cosa,b 由于 a,b 的夹角为 120 ,且|b|2|a|,所以 a c a2|a| |b|cos 120 |a|22|a|2 1 2 0.故选 A. 答案:A 考点二 例 1 解析:(1)因为|a|2,|b|1,平面向量 a 与 b 的夹角为 3,所以 a b21cos 3 21 21,所以|a2b| |a2b| 2 a24a b4b2 4442,选 D. (2) 如图所示,设OA a,AB ba,则OB b.因为 a 与 ba 的夹角为 60 ,所以BAC 60 ,则OAB120 ,则 B 为射线 AD 上的动点(不包括点 A),又|a|1,即|OA |1,所以 由图可知,|

17、b|1,故选 D. 答案:(1)D (2)D 例 2 解析: (1)由题意得 cos a, ab a ab |a| |ab| a2a b |a| a2b22a b 256 5 253612 19 35.故选 D. (2)由 b (a 5b) 5 2 得 a b 5|b|2 5 2 ,|b|1,a b 5 2 ,又|a| 5,cos 1 2,而 0,向量 a,b 的夹角 2 3 . 答案:(1)D (2)2 3 例 3 解析:(1)因为(kab) aka2a b0,且单位向量 a,b 的夹角为 45 ,所以 k 2 2 0,即 k 2 2 . (2)通解 依题意得 ab(m1,1)由 a(ab)

18、得(m1)2110,m1 2,a b m25 2,选 B. 优解 由 a0,及 a(ab)得 ab,因此 b1 2a,a b 1 2a 25 2.选 B. 答案:(1) 2 2 (2)B 变式练 1解析:|ab| ab2 a22a bb2 42|a| |b|cos 60 1 3,故选 A. 答案:A 2解析:因为(e12e2)e1,所以(e12e2) e10,所以 e212e2 e1,所以 cos e1,e2 1 2,又e1,e20,所以e1,e2 3,故选 B. 答案:B 3解析:由已知得 ab(4,32),因为 ab 与 b 垂直,所以(ab) b0, 即 (4,32) (4,2)0,所以

19、 416640,解得 2,故选 D. 答案:D 考点三 例 4 解析:(1)f(x)d e2cos2 x 3sin 2x1cos 2x 3 sin 2x12cos 2x 3 ,令 2k2x 32k(kZ),解得 k 6xk 3(kZ),所以 f(x)的单调递减区间为 k 6,k 3 (kZ) (2)因为 f(A)12cos 2A 3 1,所以 cos 2A 3 1.又 32A 3 7 3 ,所以 2A 3,即 A 3.因为 a 7,由余弦定理得 a 2b2c22bccos A(bc)23bc7 .因为 向量 m(3,sin B)与 n(2,sin C)共线,所以 2sin B3sin C,由正

20、弦定理得 2b3c ,由 可得 b3,c2. 变式练 4解析:(1)因为 a(cos x,sin x),b(3, 3),ab, 所以 3cos x3sin x. 若 cos x0,则 sin x0,与 sin2xcos2x1 矛盾, 故 cos x0. 于是 tan x 3 3 . 又 x0,所以 x5 6 . (2)f(x)a b(cos x,sin x) (3, 3)3cos x 3sin x2 3cos x 6 . 因为 x0,所以 x 6 6, 7 6 , 从而1cos x 6 3 2 . 于是,当 x 6 6,即 x0 时,f(x)取到最大值 3; 当 x 6,即 x 5 6 时,f(x)取到最小值2 3.

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