1、第三节第三节 平面向量的数量积与应用举例平面向量的数量积与应用举例 【知识重温】【知识重温】 一、必记 4 个知识点 1平面向量的数量积的定义 (1)已知两个_a、b，过 O 点作OA a，OB b，则AOB(0 180 ) 叫做向量 a 与 b 的_. 很显然，当且仅当两非零向量 a、b 同方向时，_，当且仅当 a、b 反方向时， _，特别地，0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题 (2)如果 a，b 的夹角为 90 ，则称 a 与 b 垂直，记作_. (3)a， b 是两个非零向量， 它们的夹角为 ， 则数|a| |b| cos 叫做 a 与 b 的数量积 记作 a b， 即 a b_
2、. 规定 0 a0. 当 ab 时，90 ，这时_0. (4)a b 的几何意义 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的_. 2向量数量积的性质 (1)如果 e 是单位向量，则 a ee a_. (2)ab_且 a b0_.(a，b 为非零向量) (3)a a_，|a| _. (4)cosa，b_. (5)|a b|_|a|b|. 3数量积的运算律 (1)交换律 a b_. (2)分配律(ab) c_. (3)对 R，(a b)_. 4数量积的坐标运算 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则 (1)a b_. (2)ab 21_. (3)|a| 22_. (4)cosa，b 2
3、3_. 二、必明 2 个易误点 1若 a，b，c 是实数，则 abacbc(a0)；但对于向量就没有这样的性质，若向量 a，b，c 满足 a ba c(a0)，则不一定有 bc，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以 同时乘以一个向量 2数量积运算不适合结合律，即(a b) ca (b c) 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)两个向量的数量积是一个向量( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量( ) (3)若 a b0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a b|b|，且 a 与 b 同向，则 ab B|ab|a|b| C|a
4、 b|a| |b| D|ab|a|b| 3 若 e1， e2是夹角为 60 的两个单位向量， 则 a2e1e2与 b3e12e2的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 三、易错易混 4已知 a，b 为非零向量，则“a b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知向量 a，b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|1，则|a2b|_. 四、走进高考 62020 全国卷设 a，b 为单位向量，且|ab|1，则|ab|_. 考点一 平面向量的数量积自主练透型 1已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 P 满足AP
5、 1 2(AB AC)，则|PD |_；PB PD _. 22019 全国卷已知AB (2,3)，AC(3，t)，|BC|1，则AB BC( ) A3 B2 C2 D3 32021 南昌市高三年级摸底测试卷已知ABC 中，AB4，AC3，A 3，BC 的中 点为 M，AM AB 等于( ) A.15 2 B11 C12 D15 4 2021 重庆第一中学月考已知非零向量 a， b， c 满足 abc0， a， b 的夹角为 120 ， 且|b|2|a|，则向量 a，c 的数量积为( ) A0 B2a2 C2a2 Da2 考点二 平面向量数量积的性质(高频考点) 互动讲练型 考向一：平面向量的模
6、 例 1 (1)2021 惠州市高三调研考试试题平面向量 a 与 b 的夹角为 3，a(2,0)，|b|1， 则|a2b|( ) A2 3 B. 6 C0 D2 (2)2021 河北省九校高三联考试题已知两个不相等的非零向量 a，b 满足|a|1，且 a 与 b a 的夹角为 60 ，则|b|的取值范围是( ) A(0， 3 2 ) B 3 2 ，1) C 3 2 ，) D(1，) 考向二：平面向量的夹角 例 2 (1)2020 全国卷已知向量 a，b 满足|a|5，|b|6，a b6，则 cosa，ab ( ) A31 35 B 19 35 C. 17 35 D. 19 35 (2)2021
7、 山西省八校高三联考已知向量 a(1,2)，单位向量 b 满足 b (a 5b) 5 2 ， 则向量 a，b 的夹角 为_ 考向三：平面向量的垂直与平行 例 3 (1)2020 全国卷已知单位向量 a，b 的夹角为 45 ，kab 与 a 垂直，则 k _. (2)2021 贵阳市适应性考试已向量 a(1,2)，b(m，1), 若 a(ab)，则 a b( ) A.5 2 B 5 2 C. 3 2 D 3 2 悟 技法 平面向量数量积应用的技巧 1求两向量的夹角，cos a b |a| |b|，要注意 0， 2两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是：aba b0|ab|ab|. 3求向量的
8、模的方法 (1)公式法：利用|a| a a及(a b)2|a|2 2a b|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算 (2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向 量，再利用余弦定理等方法求解. 变式练(着眼于举一反三) 12021 广东省七校联合体高三联考试题已知向量 a、b 的夹角为 60 ，|a|2，|b|1， 则|ab|( ) A. 3 B. 5 C2 3 D. 7 22021 福州市高三毕业班适应性练习卷已知两个单位向量 e1，e2，若(e12e2)e1，则 e1，e2的夹角为( ) A.2 3 B. 3 C. 4 D. 6 32021 黄冈中
9、学，华师附中等八校联考已知平面向量 a(1，3)，b(4，2)，若 a b 与 b 垂直，则 ( ) A1 B1 C2 D2 考点三 平面向量与三角函数的综合应用 互动讲练型 例 4 2021 福建泉州模拟已知函数 f(x)d e，其中 d(2cos x， 3sin 2x)，e(cos x,1)，xR. (1)求函数 yf(x)的单调递减区间； (2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，f(A)1，a 7，且向量 m (3，sin B)与 n(2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值 悟 技法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中
10、含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得 到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路 是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求值域等. 变式练(着眼于举一反三) 42017 江苏卷已知向量 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，x0， (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f(x)a b，求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值 第三节第三节 平面向量的数量积与应用举例平面向量的数量积与应用举例 【知识重温】【知识重温】 非零向量 夹角 0 180 ab |a|b|cos a
11、b 投影的乘积 |a|cosa，e a b0 ab |a|2 a a a b |a| |b| b a a cb c (a)b a(b) 1 122 aba b 21 1 122 aba b 0 22 22 12 aa 23 1 122 2222 1212 aba b aabb 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析：对于 A：向量不能比较大小，故 A 错误；对于 B：由向量运算的三角形法则， 可得 B 正确；对于 C：a b|a|b|cos ，则必有|a b|a| |b|，C 错误；对于 D：由向量运算的 三角形法则，有|ab|a|b|，D 错
12、误 答案：B 3解析：由题意知 e1 e211cos 60 1 2. a b6e21e1 e22e2261 22 7 2. |a| 2e1e22 4e21e224e1 e2 412 7， |b|3e12e22 9e2112e1 e24e22 9121 24 7， cosa，b a b |a|b| 7 2 7 7 1 2. a 与 b 的夹角为 120 . 答案：C 4解析：根据向量数量积的定义可知，若 a b0，则 a 与 b 的夹角为锐角或零角，若 a 与 b 的夹角为锐角，则一定有 a b0，所以“a b0”是“a 与 b 的夹角为锐角”的必要不充分 条件，故选 B. 答案：B 5解析：方
13、法一 |a2b| a2b2 a24a b4b2 22421cos 60 412 122 3. 方法二 (数形结合法) 由|a|2b|2 知，以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a2b|OC |. 又AOB60 ，所以|a2b|2 3. 答案：2 3 6解析：由|ab|1，得|ab|21，即 a2b22a b1，而|a|b|1，故 a b1 2，|a b| |ab|2 a2b22a b 111 3. 答案： 3 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析： 解法一 如图， 在正方形 ABCD 中， 由AP 1 2(AB AC)得点 P 为 BC 的中点， |PD
14、| 5， PB PD PB (PCCD )PB PCPB CD PB PC11cos 180 1. 解法二AP 1 2(AB AC)，P 为 BC 的中点，以 A 为原点，建立如图所示的平面直角坐 标系，由题意知 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，P(2,1)，|PD |202122 5，PB (0，1)，PD (2,1)，PB PD (0，1) (2,1)1. 答案： 5 1 2解析：因为BC ACAB(1，t3)，所以|BC| 1t321，解得 t3，所以BC (1,0)，所以AB BC21302，故选 C. 答案：C 3 解析： 解法一 因为 M 为 BC 的中点，
15、 所以AM 1 2(AB AC)， 则AM AB 1 2(AB AC) AB 1 2AB 21 2AB AC81 243cos 311，故选 B. 解法二 如图，以 A 为坐标原点，AC 所在的直线为 x 轴，过点 A 与 AC 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，C(3,0)，B(2,2 3)因为 M 为 BC 的中心，所以 M(5 2， 3)， 所以AM (5 2， 3)，AB (2，2 3)，所以AM AB 5 22 32 311，故选 B. 答案：B 4解析：由非零向量 a，b，c 满足 abc0，可得 c(ab)，所以 a ca (a b)a2a ba2|a|
16、|b| cosa，b 由于 a，b 的夹角为 120 ，且|b|2|a|，所以 a c a2|a| |b|cos 120 |a|22|a|2 1 2 0.故选 A. 答案：A 考点二 例 1 解析：(1)因为|a|2，|b|1，平面向量 a 与 b 的夹角为 3，所以 a b21cos 3 21 21，所以|a2b| |a2b| 2 a24a b4b2 4442，选 D. (2) 如图所示，设OA a，AB ba，则OB b.因为 a 与 ba 的夹角为 60 ，所以BAC 60 ，则OAB120 ，则 B 为射线 AD 上的动点(不包括点 A)，又|a|1，即|OA |1，所以 由图可知，|
17、b|1，故选 D. 答案：(1)D (2)D 例 2 解析： (1)由题意得 cos a， ab a ab |a| |ab| a2a b |a| a2b22a b 256 5 253612 19 35.故选 D. (2)由 b (a 5b) 5 2 得 a b 5|b|2 5 2 ，|b|1，a b 5 2 ，又|a| 5，cos 1 2，而 0，向量 a，b 的夹角 2 3 . 答案：(1)D (2)2 3 例 3 解析：(1)因为(kab) aka2a b0，且单位向量 a，b 的夹角为 45 ，所以 k 2 2 0，即 k 2 2 . (2)通解 依题意得 ab(m1,1)由 a(ab)
18、得(m1)2110，m1 2，a b m25 2，选 B. 优解 由 a0，及 a(ab)得 ab，因此 b1 2a，a b 1 2a 25 2.选 B. 答案：(1) 2 2 (2)B 变式练 1解析：|ab| ab2 a22a bb2 42|a| |b|cos 60 1 3，故选 A. 答案：A 2解析：因为(e12e2)e1，所以(e12e2) e10，所以 e212e2 e1，所以 cos e1，e2 1 2，又e1，e20，所以e1，e2 3，故选 B. 答案：B 3解析：由已知得 ab(4，32)，因为 ab 与 b 垂直，所以(ab) b0, 即 (4，32) (4，2)0，所以
19、 416640，解得 2，故选 D. 答案：D 考点三 例 4 解析：(1)f(x)d e2cos2 x 3sin 2x1cos 2x 3 sin 2x12cos 2x 3 ，令 2k2x 32k(kZ)，解得 k 6xk 3(kZ)，所以 f(x)的单调递减区间为 k 6，k 3 (kZ) (2)因为 f(A)12cos 2A 3 1，所以 cos 2A 3 1.又 32A 3 7 3 ，所以 2A 3，即 A 3.因为 a 7，由余弦定理得 a 2b2c22bccos A(bc)23bc7 .因为 向量 m(3，sin B)与 n(2，sin C)共线，所以 2sin B3sin C，由正
20、弦定理得 2b3c ，由 可得 b3，c2. 变式练 4解析：(1)因为 a(cos x，sin x)，b(3， 3)，ab， 所以 3cos x3sin x. 若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾， 故 cos x0. 于是 tan x 3 3 . 又 x0，所以 x5 6 . (2)f(x)a b(cos x，sin x) (3， 3)3cos x 3sin x2 3cos x 6 . 因为 x0，所以 x 6 6， 7 6 ， 从而1cos x 6 3 2 . 于是，当 x 6 6，即 x0 时，f(x)取到最大值 3； 当 x 6，即 x 5 6 时，f(x)取到最小值2 3.