1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.03两角和与差的正弦、余弦和正切公式【考试要求】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)【知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sincoscossin.cos()coscossinsin.tan().2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos.cos 2cos2sin22cos2112sin2.
2、tan 2.3.函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().【微点提醒】1.tan tan tan()(1tan tan ).2.cos2，sin2.3.1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的.()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立.()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立.()(4)存在实数，使tan 22
3、tan .()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，k(kZ).【教材衍化】2.(必修4P127T2改编)若cos ，是第三象限的角，则sin等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】是第三象限的角，sin ，sin.3.(必修4P146A4(2)改编)tan 20tan 40tan 20tan 40_.【答案】【解析】tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.【真题体验】4.(2018全国卷)若sin ，则co
4、s 2()A. B. C. D.【答案】B【解析】因为sin ，cos 212sin2，所以cos 2121.5.(2019青岛一模)已知角是终边经过点P(sin 47，cos 47)，则sin(13)()A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函数定义，sin cos 47，cos sin 47，则sin(13)sin cos 13cos sin 13cos 47cos 13sin 47sin 13cos(4713)cos 60.6.(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.【答案】【解析】由sin cos 1，cos sin 0，两式平方相加，得2
5、2sin cos 2cos sin 1，整理得sin().【考点聚焦】考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin()cos()cos()sin()_.(2)化简：(0)_.【答案】(1)sin()(2)cos 【解析】(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos ()cos()sin()sin()()sin().(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .【规律方法】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇
6、到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.【训练1】 (1)cos()cos sin()sin ()A.sin(2) B.sin C.cos(2) D.cos (2)化简：_.【答案】(1)D(2)cos 2【解析】(1)cos()cos sin()sin cos()cos .(2)原式cos 2.考点二三角函数式的求值角度1给角(值)求值【例21】 (1)计算：_.【答案】【解析】. (2)(2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().求cos 2的值；求tan()的值.【答案】见解析【解析】因为tan ，
7、tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().角度2给值求角【例22】 (1)(2019河南六市联考)已知cos ，cos()，若0，则_.(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_.【答案】(1)(2)【解析】(1)由cos ，0，得sin .由0，得00，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.【规律方法】1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”
8、，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.【训练2】 (1)(2019天津河西区模拟)tan 70cos 10(tan 201)等于()A.1 B.2 C.1 D.2(2)已知，为锐角，cos ，且sin()，则角_.(3)若sin 2，则sin 2()A. B. C. D.【答案】(1)C(2)(3)C【解析
9、】(1)tan 70cos 10(tan 201)cos 101.(2)为锐角，且cos ，sin .，0.又sin()，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(3)由题意知sin 2，2(cos sin )sin 2，则4(1sin 2)3sin22，因此sin 2或sin 22(舍).考点三三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019杭州模拟)设函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x的图象关于直线x对称，其中，为常数，且.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的最值.【答案】见解析【解析】(1)f
10、(x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2x2sin，因为图象关于直线x对称，所以2k(kZ)，所以(kZ)，又，令k1时，符合要求，所以函数f(x)的最小正周期为.(2)因为f0，所以2sin0，则.所以f(x)2sin.由0x，知x，当x，即x0时，f(x)取最小值1.当x，即x时，f(x)取最大值2.【规律方法】1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【训练3】 (2017北京卷)已知函数f(x)co
11、s2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x时，f(x).【答案】见解析【解析】(1)解f(x)cos2sin xcos xcos 2xsin 2xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以f(x)的最小正周期T.(2)证明由(1)知f(x)sin .x，2x，当2x，即x时，f(x)取得最小值.f(x)成立.【反思与感悟】1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一
12、般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.【易错防范】1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，)范围内，sin 所对应的角不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.【核心素养提升】【逻辑推理与数学运算】缩小角的范围常用策略在运用平方关系和由三角函数值求角时都要注意角的范围.如果条件中角的范围恰好能够使用，那么就能顺势求解题目.但绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条
13、件缩小范围.类型1由三角函数值的符号缩小角的范围【例1】 (一题多解)已知，(0，)，tan 2，cos ，求2的值.【答案】见解析【解析】法一因为tan 20，(0，)，所以.同理可得，且tan .所以(，0)，tan()30，所以，所以2(，0).又tan(2)tan()1，所以2.法二因为tan 21，(0，)，所以.因为cos ，(0，)，所以，所以2.因为tan(2)tan()1，所以2.【评析】三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围.本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tan ，cos 的符号缩小，的范围，得到的范围，再由的范围，结合tan()
14、的符号进而缩小的范围，得到2的范围.难点是想到缩小的范围.另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围.法二较法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势.类型2由三角函数值及特殊角的三角函数值缩小范围【例2】 设，(0，)，sin()，tan ，则cos _.【答案】【解析】因为tan ，所以sin 2sin cos ，cos cos2sin2.又(0，)，所以a，又(0，)，所以.又sin()，所以，所以cos()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .【评析】本题缩小角的范围分为两层：(1)由cos ，结合(0，)，缩
15、小角的范围，得到的范围；(2)由sin()，结合上不单调，解决办法是画图.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.若tan ，则cos 2()A. B. C. D.【答案】D【解析】cos 2cos2sin2.2.(2019北京海淀区)若cos，则cos()A. B. C. D.【答案】D【解析】cos，cossinsin，cos12sin2.3.(2019日照调研)()A. B. C. D.1【答案】A【解析】.4.(2019信阳一模)函数f(x)3sin cos 4cos2(xR)的最大值等于()A.5 B. C. D.2【答案】B【解析】由题意知f(x)sin x
16、4sin x2cos x2sin(x)2(其中tan )，又因为xR，所以f(x)的最大值为.5.(2019济南模拟)若sin，A，则sin A的值为()A. B. C.或 D.【答案】B【解析】A，A，cos0，且cos，sin Asinsincos cossin .二、填空题6.(2017江苏卷)若tan，则tan _.【答案】【解析】tan tan.7.化简：_.【答案】2sin 【解析】2sin .8.(2017全国卷)已知，tan 2，则cos_.【答案】【解析】由tan 2得sin 2 cos ，又sin 2cos21，所以cos2.因为，所以cos ，sin .因为coscos
17、cos sin sin ，所以cos.三、解答题9.(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值.【答案】见解析【解析】(1)由角的终边过点P，得sin ，所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos ，由sin()，得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10.已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)若(0，)，且f，求tan的值.【答案】见解析【解析】(
18、1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k(kZ)，得x(kZ).f(x)的单调递减区间为(kZ).(2)f，即sin1.因为(0，)，所以，故.因此tan2.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若点(，0)是函数f(x)sin x2cos x图象的一个对称中心，则cos 2sin cos()A. B. C.1 D.1【答案】D【解析】点(，0)是函数f(x)sin x2cos x图象的一个对称中心，sin 2cos 0，即tan 2.cos 2sin cos 1.
19、12.(一题多解)已知是第四象限角，且sin，则tan()A. B. C. D.【答案】B【解析】法一sin(sin cos )，sin cos ，2sin cos .是第四象限角，sin 0，sin cos ，由得sin ，cos ，tan ，tan.法二，sincos，又2k2k(kZ)，2k2k(kZ)，cos，sin，tan，tantan.13.(2019广东七校联考)已知sincos ，则cos_.【答案】【解析】sincos ，sin cos ，sin，则sin.故cossinsin.14.(2019烟台二中月考)已知函数f(x)cos(x)为奇函数，且f0，其中aR，(0，).(
20、1)求a，的值；(2)若，fcoscos 20，求cos sin 的值.【答案】见解析【解析】(1)因为f(x)cos(x)是奇函数，所以cos(x)cos，化简、整理得，cos xcos 0，则有cos 0，由(0，)，得，所以f(x)sin x.由f0，得(a1)0，即a1.(2)由(1)知f(x)sin 2x，fcoscos 20sincoscos 2，因为cos 2sinsin2sincos，所以sincos2sin.又，所以sin0或cos2.由sin0，所以cos sin cos sin ；由cos2，得cos(cos sin )cos sin .综上，cos sin 或cos sin .【新高考创新预测】15.(试题创新)设，0，且满足sin cos cos sin 1，则sin(2)sin(2)的取值范围为()A.，1 B.1，C.1，1 D.1，【答案】C【解析】sin cos cos sin 1，sin()1，0，由，sin(2)sin(2)sinsin(2)cos sin sin，1sin1，即所求的取值范围是1，1，故选C.19
