1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.06正弦定理和余弦定理【考试要求】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【知识梳理】1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC常见变形(1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C
2、2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解【微点提醒】1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，ABabsin Asin
3、Bcos Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，ABC为钝角三角形.()【教材衍化】2.(必修5P10A4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A. B. C. D.3.(必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.【真题体验】4.(2018烟台质检)已知ABC中，A，B，a1，则b等于()A.2 B.1 C. D.5.(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()
4、A.4 B. C. D.26.(2019荆州一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，cos A，sin B2sin C，则ABC的面积是_.【考点聚焦】考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.(2)(2019枣庄二模)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，则A()A. B. C. D.(3)(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.【规律方法】1.三角形解
5、的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B. C. D.(2)(2019北京海淀区二模)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2cos 2C1，
6、4sin B3sin A，ab1，则c的值为()A. B. C. D.6(3)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定考点二判断三角形的形状【例2】 (1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定【规律方法】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之
7、间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 若将本例(2)中条件变为“cacos B(2ab)cos A”，判断ABC的形状.考点三和三角形面积、周长有关的问题多维探究角度1与三角形面积有关的问题【例31】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积.角度2与三角形周长有关的问题【
8、例32】 (2018上海嘉定区模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A.若a4，则ABC周长的最大值为_.【规律方法】1.对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】 (2019潍坊一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0.(1)求B；(2)若b3，ABC的周长为32，求ABC的面积.【反思与感悟】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系
9、或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中，若a2b2c2，由cos C19sin Bsin C对任意ABC都成立，则实数k的最小值为_.三、解答题9.(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高.10.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2ab2b20.(1)若B，求A，C；(2)若C，c14，求SABC.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2
10、，则ABC的外接圆面积为()A.4 B.8 C.9 D.3612.(2019武汉模拟)在ABC中，C，AB3，则ABC的周长为()A.6sin3 B.6sin3C.2sin3 D.2sin313.(2019长春一模)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos Asin Acos C，且a2，则ABC面积的最大值为_.14.(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值.【新高考创新预测】15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为S.若a2sin C4sin A，(ac)212b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为_.13
