1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.04三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2上，正切函数在上的性质.【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysinx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，(，0)，(2，0).(2)余弦函数ycosx，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，(，1)，(2，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1
2、，11，1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无【微点提醒】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于ytanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(kZ)内为增函数.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1
3、.()(4)ysin|x|是偶函数.()【教材衍化】2.(必修4P46A2，3改编)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T，最大值为A，则()A.T，A1 B.T2，A1C.T，A2 D.T2，A23.(必修4P47B2改编)函数ytan的单调递减区间为_.【真题体验】4.(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A.4 B.2 C. D.5.(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.6.(2018江苏卷)已知函数ysin(2x) 的图象关于直线x对称，则的值是_.【考点聚焦】考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f(x)2tan的定义域
4、是()A. B.C. D.(2)不等式2cos x0的解集是_.(3)函数f(x)log2(2sin x1)的定义域是_.【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y的定义域为_.(2)函数ylg(sin x)的定义域为_.考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y3sin在区间上的值域是_.(2)(2017全国卷)函数f(x)sin2
5、xcos x的最大值是_.(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A.4 B.5 C.6 D.7(2)(2019临沂模
6、拟)已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_.考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间【例31】 (1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数ysin的单调递减区间为_.角度2利用单调性比较大小【例32】 已知函数f(x)2cos，设af，bf，cf，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acbC.cab D.bac角度3利用单调性求参数【例33】 (2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D.【规律方法】1.已知三角函数解析式求
7、单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.但如果0)在上单调递增，在区间上单调递减，则_.考点四三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1三角函数奇偶性、周期性【例41】 (1)(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()A.f(x)的最小正周期为，最大值为3B.f(x)的最小正周期为，最大值为4C.f(x)的最小正周期为2，最大值为3D.f(x)的最小正周期为2，最大值为4(2)(2019杭州调研)设函数
8、f(x)sincos的图象关于y轴对称，则()A. B. C. D.【规律方法】1.若f(x)Asin(x)(A，0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ).2.函数yAsin(x)与yAcos(x)的最小正周期T，yAtan(x)的最小正周期T.角度2三角函数图象的对称性【例42】 (1)已知函数f(x)asin xcos x(a为常数，xR)的图象关于直线x对称，则函数g(x)sin xacos x的图象()A.关于点对称 B.关于点对称C.关于直线x对称 D.关于直线x对称(2)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为
9、yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.5【答案】(1)C(2)B【规律方法】1.对于可化为f(x)Asin(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可.2.对于可化为f(x)Acos(x)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求x；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求x即可.【训练4】 (1)(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.2(2)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()A.
10、f(x)的一个周期为2B.yf(x)的图象关于直线x对称C.f(x)的一个零点为xD.f(x)在单调递减【反思与感悟】1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t(或ycos t)的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.【易错防范】1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.求三角函数的单调区间时，当单
11、调区间有无穷多个时，别忘了注明kZ.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017山东卷)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为()A. B. C. D.22.(2019石家庄检测)若是函数f(x)sin xcos x图象的一个对称中心，则的一个取值是()A.2 B.4 C.6 D.83.已知函数f(x)2sin x(0)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C.2 D.34.(2019湖南十四校联考)已知函数f(x)2sin xcos x(0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1x2|min2，则f(1)的值为()A. B. C.2 D.
12、25.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为()A.f(x)cos B.f(x)|sin(x)|C.f(x)tan x D.f(x)12cos22x二、填空题6.(2019烟台检测)若函数f(x)cos(00).若f(x)f对任意的实数x都成立，则的最小值为_.三、解答题9.(2018北京卷)已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.10.(2019北京通州区质检)已知函数f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为.(1)求函数yf(x)图象的对称轴方程；(2)讨论函数f(x)在
13、上的单调性.【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.若对于任意xR都有f(x)2f(x)3cos xsin x，则函数f(2x)图象的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)12.(2017天津卷)设函数f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，则()A.， B.，C.， D.，13.已知x0是函数f(x)sin(2x)的一个极大值点，则f(x)的单调递减区间是_.14.已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值.【新高考创新预测】15.(思维创新)已知函数f(x)sin，若对任意的实数，都存在唯一的实数0，m，使f()f()0，则实数m的最小值是_.17
