专题1.2 常用逻辑用语 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(原卷版)

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1、第一篇 集合与不等式专题1.02常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系;2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定;能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp2.全称量词与

2、存在量词(1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“”表示.(2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题p的否定记为p,读作“非p”) 名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记xM,p(x)x0M,p(x0)否定x0M,p(x0)xM,p(x)【微点提醒】1.区别A是B的充分不必要条件(AB且BA),与A的充分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同.2.A是B的充分不必要条件B是A的充分不必要条件.3.含有一个量词的命题的

3、否定规律是“改量词,否结论”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若已知p:x1和q:x1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()【教材衍化】2.(选修21P26A3改编)命题“xR,x2x0”的否定是()A.x0R,x02x00 B.x0R,x02x00C.xR,x2x0 D.xR,x2x2n,则p为()A.nN,n22n B.nN,n22nC.nN,n22n D.nN,n22n5.(2018天津卷)设xR,则“”是

4、“x31是ff(1)4”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【规律方法】充要条件的两种判断方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.【训练1】 (2018浙江卷)已知平面,直线m,n满足m,n,则“mn”是“m”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件考点二充分条件、必要条件的应用典例迁移【例2】 (经典母题)已知Px|x28x200,非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要条件,求m的取值范围.【迁移探究1】 本例条件不变,若xP是xS

5、的必要不充分条件,求m的取值范围.【迁移探究2】 本例条件不变,若xP的必要条件是xS,求m的取值范围.【迁移探究3】 本例条件不变,问是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?并说明理由.【规律方法】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.(3)数学定义都是充要条件.【训练2】 (2019临沂月考)

6、设p:实数x满足x24ax3a20.若a0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.考点三全称量词与存在量词角度1全(特)称命题的否定【例31】 (1)命题“nN*,f(n)N*且f(n)n”的否定形式是()A.nN*,f(n)N*且f(n)nB.nN*,f(n) N*或f(n)nC.n0N*,f(n0) N*且f(n0)n0D.n0N*,f(n0) N*或f(n0)n0(2)(2019德州调研)命题“x0R,1f(x0)2”的否定形式是()A.xR,1f(x)2B.x0R,12D.xR,f(x)1或f(x)2角度2含有量词(、)的参数取值问题【例32】 (经典母题)已知f(x)ln(x2

7、1),g(x)m,若对x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是_.【迁移探究】 若将“x21,2”改为“x21,2”,其他条件不变,则实数m的取值范围是_.【规律方法】1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数的最值解决.【训练3】 (2019衡水调研)已知命题p:xR,log2(x2xa)0恒成立,命题q:x02,2,2a2x0,若命题p和q都成立,则实

8、数a的取值范围为_.【反思与感悟】1.充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(1)定义法(2)利用集合间的包含关系判断:设Ax|p(x),Bx|q(x);若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;若AB,则p是q的充要条件.2.要写一个命题的否定,需先分清其是全称命题还是特称命题,再对照否定结构去写,否定的规律是“改量词,否结论”.【易错防范】1.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.2.注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定.【核心素养提升】

9、逻辑推理、数学运算突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是:逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1A,都存在x2B,使得g(x2)f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)x,g(x)x,若对任意x11,1,总存在x20,2,使得f(x1)2ax1g(x2)成立,求实数a的取值范围.【评析】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策

10、略是“等价转化”,即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于a的不等式组,求得参数的取值范围.类型2形如“存在x1A及x2B,使得f(x1)g(x2)成立”【例2】 已知函数f(x)函数g(x)ksin2k2(k0),若存在x10,1及x20,1,使得f(x1)g(x2)成立,求实数k的取值范围.【评析】本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1A,都存在x

11、2B,使得f(x1)0B.不存在xZ,使x22xm0C.xZ,使x22xm0D.xZ,使x22xm02.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是()A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数3.设xR,则“2x0”是“|x1|1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.(2019焦作模拟)命题p:cos ,命题q:tan 1,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.(2017浙江卷)已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,

12、则“d0”是“S4S62S5”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知命题p:“x0,1,aex”,命题q:“x0R,x024x0a0”.若命题p和q都成立,则实数a的取值范围是()A.(4,) B.1,4 C.e,4 D.(,1)7.(2017北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得mn”是“mn1 C.a4 D.a4二、填空题9.直线xyk0与圆(x1)2y22有两个不同交点的充要条件是_.10.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的充要条件,那么p是q的_条件.11.已知“p:(xm)23(xm)”是“q:x23x4b”是“f(a)f(b)”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15.设p:实数x满足x24ax3a20,其中a0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是_.16.设数列an是等比数列,求证:“an是递增数列”的充要条件为“a1a2b,则”为假命题的一组a,b的值依次为_(填写一个正确的即可).12

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