2022高考数学一轮总复习课件:1.2 常用逻辑用语

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1、第一章 集合与常用逻辑用语 12 常用逻辑用语常用逻辑用语 【教材梳理】 1充分条件与必要条件 (1)如果 pq,则称 p 是 q 的_,q 是 p 的_ (2)如果_,且_,那么称 p 是 q 的充分必要条件,简称 p 是 q 的 _,记作_ (3)如果 pq,但 q p,那么称 p 是 q 的_条件 (4)如果_,但_,那么称 p 是 q 的必要不充分条件 (5)如果_,且_,那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2全称量词与存在量词 (1)全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做_,并 用符号“_”表示含有全称量词的命题称为_,全称命题“对 M 中 任意一个

2、 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:xM,p(x) (2)存在量词 “存在一个”“至少有一个”等短语在逻辑中通常叫做_,并用符 号“_”表示含有存在量词的命题称为_,特称命题“存在 M 中 的元素 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为:x0M,p(x0) 注:特称命题也称存在性命题 (3)含有一个量词的命题的否定 命 题 命题的否定 xM,p(x) x0M,p(x0) 因此,全称命题的否定是_命题;特称命题的否定是_命题 【常用结论】 3以下说法等价 (1)pq (2)p 是 q 的充分条件 (3)q 是 p 的必要条件 (4)p 的一个必要条件是 q (5)q 的一个充分条件是 p

3、4关键量词的否定 (1)常用全称量词的否定 每一个 所有的 一个也没有 任意 存在一个 有的 至少有一个 存在 (2)常用存在量词的否定 至少有 n 个 至多有一个 存在 至多有 n1 个 至少有两个 任意 (3)一些常见判断词的否定 是 一定是 都 是 大于 小于 不 大 于 不 是 不一 定是 不 都 是 小于 或等于 大于 或等于 大 于 【自查自纠】 1(1)充分条件 必要条件 (2)pq qp 充要条件 pq (3)充分不必要 (4)p q qp (5)p q q p 2(1)全称量词 全称命题 (2)存在量词 特称命题 (3)x0M,p(x0) xM,p(x) 特称 全称 判断下列

4、命题是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“” (1)当 q 是 p 的必要条件时,p 是 q 的充分条件 ( ) (2)若 pq,则 p 是 q 的充分不必要条件 ( ) (3)当 p 是 q 的充要条件时,也可说成 q 成立当且仅当 p 成立 ( ) (4)“长方形的对角线相等”是特称命题 ( ) (5)命题“所有素数都是奇数”的否定是“所有素数都不是奇数” ( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) (2020天津卷)设 aR,则“a1”是“a2a”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解: 由 a2a 可得 a1 或 a1”

5、是“a2a” 的充分不必要条件故 选 A (2018北京卷)设 a,b 均为单位向量,则“|a3b|3ab|”是 “ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解:|a3b|3ab|的两边平方得|a|26a b9|b|29|a|26a b|b|2,所以 8|a|212a b8|b|20, 所以 2|a|23a b2|b|20因为|a|b|1, 所以 3a b0, 所以 a b0,所以 ab反之,步步可逆,故是充分必要条件故选 C (2021四川绵阳期末)设命题 p:xR,x2x10,则p 为( ) Ax0R,x2 0 x010 Bx0R,x2

6、0 x010,则p 为:x0R,x2 0 x010故选 C 若“x 0, 6 ,2sinxm”是真命题,则实数 m 的最小值为 _ 解:因为 0 x 6,所以 02sinx1因为“x 0, 6 ,2sinxm”是 真命题,所以 m1,所以实数 m 的最小值为 1故填 1 考点一考点一 充分、必要条件的判定充分、必要条件的判定 (1)(2020四省八校联考)等比数列an中,a10,则“a1a4”是“a3a5”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解:a10,则 a1a4a1a1q3q31q1 a10, 则 a3a5a1q2a1q4q2(q21)0q1

7、或 q1(1, ) ( ,1)(1,)故选 A (2)(2020北京卷)已知 , R,则“存在 kZ 使得 k(1)k ”是“sin sin ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解:当存在 kZ 使得 k(1)k时, 若 k 为偶数,则 sinsin(k)sin; 若 k 为奇数,则 sinsin(k)sin(k1)sin()sin; 当 sinsin时,2m 或 2m,mZ,即 k(1)k(k2m)或 k(1)k(k2m1),即存在 kZ 使得 k(1)k 所以, “存在 kZ 使得 k(1)k”是“sinsin”的充分必要条件故选

8、C 【点拨】 充要条件的三种判断方法:定义法:分三步进行,第一步,分清条件与结 论;第二步,判断 pq 及 qp 的真假;第三步,下结论集合法:写出集合 Ax|p(x) 及 Bx|q(x),利用集合之间的包含关系加以判断:(i)若 AB,则 p 是 q 的充分条件;(ii) 若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件;(iii)若 BA,则 p 是 q 的必要条件;(iv)若 B A, 则 p 是 q 的必要不充分条件;(v)若 AB,则 p 是 q 的充要条件;(vi)若 AB 且 BA,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件等价转化法:将命题转化为另一个等价且容易判断真 假的命题一般地,

9、这类问题由几个充分必要条件混杂在一起,可以画出关系图,运用逻 辑推理判断真假 (1)(2019天津卷)设 xR,则“x25x0”是“|x1|1”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解:由 x25x0 可得 0 x5,由|x1|1 可得 0 x0,b0,则“ab4”是“ab4”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解: 当 a0, b0 时, ab2 ab, 则当 ab4 时, 有 2 abab4, 解得 ab4, 充分性成立;当 a1,b4 时,满足 ab4,但此时 ab54,必要性不成立 综上

10、所述, “ab4”是“ab4”的充分不必要条件 故选 A 考点二考点二 充分、必要条件的综合应用充分、必要条件的综合应用 “直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同的交点”的一个充分不必要条 件可以是 ( ) A1k3 B1k3 C0k3 Dk3 解:直线 xyk0 与圆(x1)2y22 有两个不同交点等价于|10k| 2 2,解得 k(1,3)四个选项中只有(0,3)是(1,3)的一个真子集,故充分不必要条件可以是 “0k3”故选 C 【点拨】 求解充要条件的应用问题时,一般是把充分条件、必要 条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出 关于参数的不等式(组)求解

11、;求解参数的取值范围时,一定要注意对 区间端点值进行检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值 范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现 错误 (2019湖南师大附中3月考)设 p:ln(2x1)0,q:(xa)x (a1)0,若 q 是 p 的必要而不充分条件,则实数 a 的取值范围是 ( ) A 0,1 2 B 0,1 2 C(,0 1 2, D(,0) 1 2, 解: 由 p 得: 1 2x1, 由 q 得: axa1, 因为 q 是 p 的必要而不充分条件, 所以 1 2,1 a,a1,所以 a1 2且 a11,所以 0a 1 2故选 A 考点三考点三 全称

12、命题与特称命题全称命题与特称命题 命题角度 1 全称命题与特称命题的否定 (1)(2019合肥适应性考试)已知 f(x)sinxtanx,命题 p:x0 0, 2 ,f(x0)0,则( ) Ap 是假命题,p:x 0, 2 ,f(x)0 Bp 是假命题,p:x0 0, 2 ,f(x0)0 Cp 是真命题,p:x 0, 2 ,f(x)0 Dp 是真命题,p:x0 0, 2 ,f(x0)0 解:x 0, 2 时,sinx0,0cosx1,则 1 cosx1, sinx cosxsinx,故 sinxtanx 恒成立,所以命题 p 是真命题(或取 x 4知 p 为真),排除 A,B; p:x 0,

13、2 ,f(x)0故选 C (2)(2020届山东新高考模拟)设命题 p:所有正方形都是平行四边形, 则綈 p 为( ) A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 解:由全称命题的否定为特称命题可知,C 正确故选 C 【点拨】 全称命题与特称命题真假的判断: (i)要判断全称命题是真命 题,需要对集合 M 中每个元素 x,证明 p(x)成立,如果在集合 M 中找到一个 元素 x0,使得 p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题;(ii)要判定一个特 称命题是真命题,只要在限定的集合 M 中,至少能找一个 xx0,

14、使 p(x0)成 立即可,否则,这一特称命题就是假命题否定全称(特称)命题分两步: 第一步,改变量词;第二步,否定结论没有量词的要结合命题的含义加上 量词全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题 (1)命题“nN*,f(n)N*且 f(n)n”的否定形式是( ) AnN*,f(n)N*且 f(n)n BnN*,f(n)N*或 f(n)n Cn0N*,f(n0)N*且 f(n0)n0 Dn0N*,f(n0)N*或 f(n0)n0 解:全称命题的否定为特称命题,因此原命题的否定形式是“n0N*,f(n0)N* 或 f(n0)n0”故选 D (2)(2020年浙江高一练习)命题“存在一个三

15、角形,内角和不等于 180” 的否定为 ( ) A存在一个三角形,内角和等于 180 B任意三角形,内角和都等于 180 C任意三角形,内角和都不等于 180 D很多三角形,内角和不等于 180 解:该命题是一个“特称命题”,于是“存在”否定为“任意”;“不等于” 否定为“都等于”,命题的否定为“任意三角形,内角和都等于 180”故选 B 命题角度 2 依据全称(特称)命题真假求参数取值范围 (2021陕西省高新学校期末)若命题“存在 x0R,x2 02ax090”为假 命题,则实数 a 的取值范围是 ( ) A(,3)(3,) B(3,3) C(,33,) D3,3 解:命题“存在 x0R,

16、x2 02ax090”为假命题,等价于“xR,都 有 x22ax90”,所以(2a)24903a3故选 D 【点拨】 已知命题真假求参数范围,可根据命题的含义,利用 函数值域(或最值)求解,另外注意转换,如本例,将特称命题为假 命题转换为全称命题为真命题,从而转化为一元二次不等式恒成立 问题 已知“命题 p:x0R,ax2 02x010,132,又四个命题三真一假,故甲、乙必有 一个是假,由甲为假易知,符合题意,由乙为假推出矛盾故选 A 【点拨】 此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题, 实际考查中, 也可能基于数学文化,生活生产等,体现对逻辑推理素养及批判性思维 能力的考查逻辑推理是指从一些

17、事实和命题出发,依据规则推出其他 命题的素养主要包括两类:一类是从特殊到一般的推理,推理形式主 要有归纳、类比,一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要有演绎 数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f(x),甲、乙、丙、丁四位同学各说 出了这个函数的一条性质: 甲:在(,0上函数单调递减; 乙:在0,)上函数单调递增; 丙:函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称; 丁:f(0)不是函数的最小值 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确,那么,你认为说法错误的同 学是_ 解:假设甲,乙两个同学回答正确,因为在0,)上函数 单调递增,所以丙说“函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称”错 误此时 f(0)是函数的最小值,所以丁的回答也是错误的,这与 “四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾,所以只有乙回答错 误故填乙

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