1、第一篇 集合与不等式专题 1.02 常用逻辑用语【考试要求】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确使用存在量词对全称命题进行否定；能正确使用全称量词对特称命题进行否定.【知识梳理】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必要条件 pq 且 q pp 是 q 的必要不充分条件 p q 且 qpp 是 q 的充要条件
2、pqp 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个” 等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个” 等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示.3.全称命题和特称命题(命题 p 的否定记为 p，读作“非 p”)名称形式 全称命题 特称命题结构 对 M 中的任意一个 x，有 p(x)成立 存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立简记 xM，p(x) x0M，p(x 0)否定 x0M， p(x0) xM， p(x)【微点提醒】1.区别 A 是 B 的充分不必要条件(A B 且
3、 B A)，与 A 的充分不必要条件是 B(BA 且 A B)两者的不同.2.A 是 B 的充分不必要条件 B 是 A 的充分不必要条件 .3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打 “”或“”)(1)若已知 p：x1 和 q：x1，则 p 是 q 的充分不必要条件 .( )(2)“长方形的对角线相等” 是特称命题.( )(3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件.( )(4)“若 p 不成立，则 q 不成立 ”等价于“若 q 成立，则 p 成立”.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)【解析】 (2)错误.命题“
4、长方形的对角线相等”是全称命题.【教材衍化】2.(选修 21P 26A3 改编)命题“xR ，x 2x0”的否定是( )A.x0 R，x 02x 00 B.x0R ，x 02x 02n，则 p 为( )A.nN，n 22n B.nN ，n 22nC.nN，n 22n D.nN，n 22n【答案】 C【解析】命题 p 的量词“ ”改为“ ”，“n 22n”改为“n 22n”， p：nN，n 22n.5.(2018天津卷)设 xR，则“ 1 是 ff(1)4”的( )2mx 1，x0， x 1x，x1 时，f f(1)f f(2)2 2m1 4， ( 1) 1( 1)当 f f(1)4 时，f f
5、(1)f f(2)2 2m1 42 2， ( 1) 1( 1)2m12，解得 m .12故“m1”是“f f(1)4”的充分不必要条件.【规律方法】 充要条件的两种判断方法(1)定义法：根据 pq，q p 进行判断.(2)集合法：根据使 p，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断 .【训练 1】 (2018浙江卷)已知平面 ，直线 m，n 满足 m，n，则“m n”是“m” 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 若 m，n，mn，由线面平行的判定定理知 m. 若 m ，m ，n，不一定推出mn，直线 m 与 n 可能异面，
6、故“mn”是“m ”的充分不必要条件.考点二 充分条件、必要条件的应用 典例迁移【例 2】 (经典母题)已知 Px|x28x200，非空集合 Sx|1mx1m.若 xP 是 xS 的必要条件，求 m 的取值范围.【答案】 见解析【解析】 由 x28x200，得2x10，Px| 2x10.xP 是 xS 的必要条件，则 SP. 解得 m3.1 m 2，1 m10，)又S 为非空集合，1m1 m ，解得 m0.综上，m 的取值范围是0，3.【迁移探究 1】 本例条件不变，若 xP 是 xS 的必要不充分条件，求 m 的取值范围.【答案】 见解析【解析】 由例知，SP ， 或1 m1 m，1 m 2
7、，1 m 2，1 m10，)解得 0m3 或 0m0.若 a0，则2x3 或 x2，则 x2D.xR，f(x)1 或 f(x)2【答案】 (1)D (2)D【解析】 (1)全称命题的否定为特称命题，命题的否定是：n 0N*，f(n 0) N*或 f(n0)n0.(2)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1 或 f(x)2”.角度 2 含有量词(、) 的参数取值问题 【例 32】 (经典母题)已知 f(x)ln(x 21) ，g(x) m，若对x 10，3，x 21 ，2，使得 f(x1)(12)x g(x2)，则实数 m 的取值范围是_.【答案】 14， )【解析 】当
8、 x0，3时，f(x)min f(0)0，当 x1，2时，g(x)ming(2) m ，对x 10，3 ，14x21，2 使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)ming(x)min，得 0 m，所以 m .14 14【迁移探究】 若将“ x21 ，2”改为“ x21，2” ，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是_.【答案】 12， )【解析】 当 x1，2时，g(x)maxg(1) m，对 x10，3 ， x21 ，2使得 f(x1)g(x2)等价于 f(x)12ming(x)max，得 0 m， m .12 12【规律方法】 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全
9、称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练 3】 (2019衡水调研)已知命题 p： xR，log 2(x2xa)0 恒成立，命题 q：x 0 2，2，2a2x0，若命题 p 和 q 都成立，则实数 a 的取值范围为_.【答案】 (54，2【解析】 当命题 p 成立时，x 2xa1 恒成立，即 x2xa10 恒成立， 14(a 1) .54当命题 q 成立时，2a(2x 0)max，x 02，2 ，a2.故 0，所以 h(x)
10、minh a 22a .又由题意可 1， 13) ( 13，1 ( 13) 13知，h(x)的值域是 的子集，所以 解得实数 a 的取值范围是2，0. 13，6 h（ 1）6， a2 2a 13 13，h（1）6， )【评析】 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于 a 的不等式组，求得参数的取值范围.类型 2 形如“存在 x1A 及 x2B，使得 f(x1)g(x2) 成立”【例 2】 已知函数 f(x) 函数 g(x)ksin 2k2(k0)，若存在 x10，1及 x20 ，
11、1，使得 f(x1)x6g(x 2)成立，求实数 k 的取值范围.【答案】 见解析【解析】 由题意，易得函数 f(x)的值域为0，1，g(x) 的值域为 ，并且两个值域有公共部分.2 2k，2 3k2先求没有公共部分的情况，即 22k1 或 2 k ，所以，要使两个值域有公共部分，k32 12 43的取值范围是 .12，43【评析】本类问题的实质是“两函数 f(x)与 g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“ 任意”，则“ 等价转化”策略是利用“f(x)的值域和 g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型 3 形如“对任意
12、x1A ，都存在 x2B，使得 f(x1)0B.不存在 xZ，使 x22x m0C.xZ，使 x22xm0D.xZ，使 x22xm0【答案】 D【解析】 特称命题的否定为全称命题.故选 D.2.命题“所有实数的平方都是正数”的否定是( )A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数【答案】 D【解析】 因为“全称命题” 的否定一定是“ 特称命题”，所以命题“ 所有实数的平方都是正数”的否定是：“至少有一个实数的平方不是正数”.3.设 xR，则“2 x0”是“|x 1|1”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要
13、条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 由 2x0，得 x2，由|x1|1 ，得 0x2.当 x2 时不一定有 0x2，而当 0x2 时一定有 x2，“2x0”是“|x1|1”的必要不充分条件.4.(2019焦作模拟)命题 p：cos ，命题 q：tan 1，则 p 是 q 的( )22A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 D【解析】 由 cos ，得 2k，kZ，则 tan 1，22 4故 pq，p 是 q 的不充分条件；由 tan 1，得 k ，k Z，则 cos ，4 22故 qp，p 是 q 的不必要条件；所以 p 是 q 的
14、既不充分也不必要条件.5.(2017浙江卷)已知等差数列 an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则“d0”是“S 4S 62S 5”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】 C【解析】 由 S4S6 2S5 S6S5(S5S4)a6a5d，所以 S4S62S5 等价 d0，所以“d0”是“S4S62S5”的充要条件.6.已知命题 p：“x0 ，1，ae x”，命题 q：“x0R， x024x 0a 0”.若命题 p 和 q 都成立，则实数 a的取值范围是( )A.(4， ) B.1，4 C.e，4 D.( ，1)【答案】 C【解析】 对
15、于 p 成立，a(ex)max ，ae.对于 q 成立，知 x24xa0 有解，则 164a0，解得 a4.综上可知 ea4.7.(2017北京卷)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 ，使得 mn” 是“mn1 C.a4 D.a4【答案】 D【解析】 命题成立的充要条件是x1，2)，ax2 恒成立，即 a4.命题成立的一个充分不必要条件可以是 a4.二、填空题9.直线 xyk0 与圆(x1) 2y 22 有两个不同交点的充要条件是 _.【答案】 13(xm)”是“q：x 23x4m 3 或 xb” 是“f(a)f(b)”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分
16、也不必要条件【答案】 C【解析】 因为 f(x)3 x3 x，所以 f(x)3 xln 33xln 3(1)3 xln 33xln 3，易知 f(x)0，所以函数 f(x) 3x3x 为(，)上的单调递增函数，从而由 “ab”可得“f(a)f(b)” ，由“f(a)f(b)”可得“ab”，即“ab”是“f(a)f(b)”的充要条件.15.设 p：实数 x 满足 x24ax3a20，)条件，则实数 a 的取值范围是_.【答案】 (1，2【解析】 因为 p 是 q 的必要不充分条件，即 qp 但 p q，设 Ax|p(x)，B x|q(x)，则 B A，又B(2，3，当 a0 时，A(a，3a)；当 a0 时，有 解得 11，a10 或 00，所以数列an 为递增数列.必要性：若数列an是递增数列，则必有 a1b，则 b，但是 ，故答案可以为 1，1(答案不唯一，满1a 1b足 a0，b0 即可).
