1、第二篇 函数及其性质专题 2.08 函数与方程【考试要求】 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系；2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理【知识梳理】1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数 yf(x )，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程 f(x)0 有实数根 函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x) 有零点.(3)零点存在性定理如果函数 yf(x )满足：在区间a，b 上的图象是连续不断的一条曲线；f(a) f(b)0) 的图象与零点的关系b 2 4ac 0 0 0)的图象与 x 轴的交点
2、 (x1，0) ，(x 2，0) (x1，0) 无交点零点个数 2 1 0【微点提醒】1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程 f(x)0 的实根.2.由函数 yf(x)( 图象是连续不断的 )在闭区间a，b 上有零点不一定能推出 f(a)f(b)1.5.(2018全国卷)函数 f(x)cos 在0，的零点个数是_.(3x6)【答案】 3【解析】 由题意知，cos 0，所以 3x k ，kZ，所以 x ，kZ，当 k0 时，(3x6) 6 2 9 k3x ；当 k1 时，x ；当 k2 时，x ，均满足题意，所以函数 f
3、(x)在0，的零点个数为 3.9 49 796.(2019上海黄浦区月考)方程 2x3xk 的解在1，2)内，则 k 的取值范围是_.【答案】 5，10)【解析】 令函数 f(x)2 x 3xk，则 f(x)在 R 上是增函数 .当方程 2x3xk 的解在(1 ，2)内时，f(1) f(2)0，根据零点存在性定理，可知函数 f(x)ln x x2 有唯一零点，且零点在区间 (1，2)内.(2)设 f(x)x 3 ，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数 yx 3 与 y 的图象如图(12)x 2 (12)x 2 所示.因为 f(1)1 10，(12)0 所以 f(1)f(2)
4、0，f(b)( bc)(b a)0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b) ，(b，c)内分别存在零点，又函数 f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b) ，(b，c )内.(2)易知 f(x)ln x 在定义域 (0，)上是增函数，2x2又 f(1)20.12根据零点存在性定理，可知函数 f(x)ln x 有唯一零点，且在区间(1 ，2)内.2x2考点二 确定函数零点的个数【例 2】 (1)( 一题多解 )函数 f(x) 的零点个数为( )x2 x 2， x0， 1 ln x， x0)A.3 B.2 C.1 D.0(2)(2019安庆二模)定义
5、在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x) 且 f(x1)f(x1) ，若x2 2， x 0， 1） ，2 x2， x 1， 0） ， )g(x)3log 2x，则函数 F(x) f(x)g( x)在(0，) 内的零点有( )A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个【答案】 (1)B (2)B【解析】 (1)法一 由 f(x)0 得 或x0，x2 x 2 0) x0， 1 ln x 0， )解得 x2 或 xe.因此函数 f(x)共有 2 个零点.法二 函数 f(x)的图象如图 1 所示，由图象知函数 f(x)共有 2 个零点.图 1(2)由 f(x1) f(x1)，即 f(x2)f(x
6、)，知 yf(x)的周期 T2.在同一坐标系中作出 yf( x)与 yg(x)的图象( 如图 2).图 2由于两函数图象有 2 个交点.所以函数 F(x)f(x)g(x )在(0，) 内有 2 个零点.【规律方法】 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令 f(x)0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间 a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0)A.( ，1) B.(，1)C.(1，0) D.1，0)(2)(2018全国卷)已知函数 f(x) g(x)f (x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围ex， x0，ln x， x0， )是( )
7、A.1， 0) B.0，)C.1，) D.1，)【答案】 (1)D (2)C【解析】 (1)当 x0 时，f(x)3x1 有一个零点 x .13因此当 x0 时， f(x)e xa0 只有一个实根，ae x(x0)，则1a4. 【反思与感悟】1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数 yf(x )g(x)的零点个数转化为函数 yf(x)与 yg( x)图象公共点的个数来判断.【易错防范】1.若
8、函数 yf(x)在闭区间 a，b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)1， )A. ，0 B.2，0 C. D.012 12【答案】 D【解析】 当 x1 时，令 f(x)2 x10，解得 x0；当 x1 时，令 f(x)1log 2x0，解得 x ，12又因为 x1，所以此时方程无解.综上函数 f(x)的零点只有 0.2.(2019岳阳二模)已知函数 f(x) 则函数 yf (x)3x 的零点个数是( )x2 2x， x0，1 1x， x0， )A.0 B.1 C.2 D.3【答案】 C【解析】 函数 yf( x)3x 的零点个数就是 yf(x)与 y 3x 两个函数图象的
9、交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为 2.3.函数 f(x)2 x a 的一个零点在区间 (1，2)内，则实数 a 的取值范围是( )2xA.(1，3) B.(1，2) C.(0，3) D.(0，2)【答案】 C【解析】 因为函数 f(x)2 x a 在区间(1 ，2)上单调递增，又函数 f(x)2 x a 的一个零点在区间2x 2x(1，2)内，则有 f(1)f(2)0.f(2)f(e)0， )A.(1，2) B.(，2C.(，1) (2，) D.(，12，)【答案】 D【解析】 当 x0 时，x f(x) m，即 x1m ，解得 m1；当 x0 时，xf(x)m ，即 x m，
10、解得1xm2，即实数 m 的取值范围是(，1 2，).8.(2019北京燕博园联考)已知函数 f(x) Error!若函数 yf( x)k 有三个不同的零点，则实数ln（ x 1）x3 3x )k 的取值范围是( )A.(2， 2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3)【答案】 C【解析】 当 x0，2|x|， x0， )【答案】 5【解析】 由 2f(x)23f( x) 10 得 f(x) 或 f(x)1，12作出函数 yf(x )的图象.由图象知 y 与 yf(x)的图象有 2 个交点，y 1 与 yf(x)的图象有 3 个交点.12因此函数 y2f(x) 23f(x )1 的零
11、点有 5 个.12.(2018天津卷)已知 a0，函数 f(x) 若关于 x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的x2 2ax a， x0， x2 2ax 2a， x0.)实数解，则 a 的取值范围是_.【答案】 (4，8)【解析】 当 x0 时，由 x2 2axaax，得 ax 2ax；当 x0 时，由x 22ax2aax，得2ax 2ax.令 g(x) 作出 ya( x0)，y2a(x0)，函数 g(x)的图象如图所示，g(x )的 x2 ax， x0， x2 ax， x0.)最大值为 ，由图象可知，若 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则 a0)的最小值为 8，则实数 a 的取
12、值范围是( )A.(5，6) B.(7，8) C.(8，9) D.(9，10)【答案】 A【解析】 由于 f(x)在0，) 上是增函数，在(，0)上是减函数，f(x) minf(0)alog 2a8.令 g(a)alog 2a8，a0.则 g(5)log 2530，又 g(a)在(0 ，)上是增函数，实数 a 所在的区间为(5，6).14.(2019天津河东区一模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当 x 1，1时，f(x) x 2.令g(x)f(x) kx k，若在区间 1，3内，函数 g(x)0 有 4 个不相等实根，则实数 k 的取值范围是( )A.(0， )
13、 B.(0，12C. D.(0，14 14， 13【答案】 C【解析】 令 g(x)0，得 f(x)k (x1)，由 f(x)的周期性，作出 yf( x)在1，3 上的图象如图所示 .设直线 yk 1(x1)经过点(3， 1)，则 k1 .14直线 yk(x 1)经过定点( 1，0) ，且由题意知直线 yk(x1) 与 yf (x)的图象有 4 个交点，00)有三个不同的实根 x1，x 2，x 3，则x1x 2x 3_.【答案】 0【解析】 易知 ye xe x 为奇函数，且其图象向上平移 4 个单位，得 yf(x) 的图象.所以 yf(x) 的图象关于点(0 ，4) 对称，又 ykx4 过点
14、(0 ，4)且关于(0，4)对称.方程 f(x)kx4 的三个根中有一个为 0，且另两根之和为 0.因此 x1x 2x 30.16.若曲线 ylog 2(2xm)(x 2)上至少存在一点与直线 yx1 上的一点关于原点对称，则 m 的取值范围为_.【答案】 (2，4【解析】 因为直线 yx 1 关于原点对称的直线为 y x1，依题意方程 log2(2xm )x1 在(2，)上有解，即 m2 x1 在 x(2，)上有解，m 2.又 2xm 0 恒成立，则 m(2x)min4，所以实数 m 的取值范围为(2，4.【新高考创新预测】17.(多填题) 已知函数 f(x) 若 f(x)是单调函数，则实数 a 的取值范围是_；若存在实数2x， x0 且 2aa2.在同一坐标系下作出函数 y2 x与 yx 2 的图象，由图可知，实数 a 的取值范围为2，4. 函数 g(x)f (x)b有三个零点等价于函数 yf(x )与 yb 的图象有三个交点，在同一坐标系下作出函数 yf(x)与 yb 的图象，由图可知，当 a 在 y 轴的左方时，存在实数 b，使得两函数图象有三个交点，所以要使函数 g(x)有三个零点，实数 a 的取值范围为( ，0).
