1、第二篇 函数及其性质专题2.03函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
2、(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，
3、则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()【教材衍化】2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()A
4、.yx2sin x B.yx2cos xC.y|ln x| D.y2x3.(必修4P46A10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1，1)时，f(x)则f_.【真题体验】4.(2019济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()A.yx3 B.yxC.y|x| D.y|tan x|5.(2017全国卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_.6.(2019上海崇明区二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x0，1时，f(x)log2(x1)，则当x1，2时，f(x)_.【考点聚焦】考点一判断函数的奇偶性【
5、例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.【训练1】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yxsin 2x B.yx2cos xC.y2x D.yx2sin x(2)已知f(x)，g(x)，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函
6、数 B.f(x)g(x)是奇函数C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数考点二函数的周期性及其应用【例2】 (1)(一题多解)(2018全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.【规律方法】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(xa)f(x)(a
7、是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练2】 (1)(2019南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0x1时，f(x)x(1x)，则f()A. B. C. D.(2)(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2).若当x3，0时，f(x)6x，则f(919)_.考点三函数性质的综合运用角度1函数单调性与奇偶性【例31】 (2019石家庄模拟)设f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(3)的解集为()A.3，3 B.2，4 C.1，5 D.0，6【规律
8、方法】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f(x)f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2函数的奇偶性与周期性【例32】 (1)(2019山东省实验中学检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x5)f(x)，且当x时，f(x)x33x，则f(2 018)()A.2 B.18 C.18 D.2(2)(2019洛阳模拟)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)是偶函数，且f(1)，设F(x)f(x)f(x)，则F(3)()A. B. C. D.【规律方法】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，
9、常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练3】 (1)(2019重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x3对称，当x0，3时，f(x)x，则f(16)_.(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数.如果实数t满足f(ln t)f2f(1)，那么t的取值范围是_.【反思与感悟】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性
10、可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用.【易错防范】1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【核心素养提升】【数学运算】活用函数性质中“三个二级”结论类型1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有
11、f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【例1】 设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.类型2抽象函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.【例2】 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，有f(x3)f(x)，且当x(0，3)时，f(x)x1，则f(2 017)f(2 018)()A.3
12、 B.2 C.1 D.0类型3抽象函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.【例3】 (2019日照调研)函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1
13、.(2019玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y|log3x| B.yx3C.ye|x| D.ycos |x|2.(一题多解)(2019河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x) 则g(8)()A.2 B.3 C.2 D.33.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(2，0)时，f(x)2x2，则f(2 019)等于()A.2 B.2 C.98 D.984.(一题多解)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b
14、，c的大小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bca5.(2019山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在1，)上单调递减，且f(x1)是偶函数，不等式f(m2)f(x1)对任意的x1，0恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，1 B.4，2C.(，31，) D.(，42，)二、填空题6.若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.7.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0，则x的取值范围为()A.x|0x2 B.x|x2C.x|x3 D.x|x112.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有()A.fffB.f
15、ffC.fffD.fff13.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0，1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.14.设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.【新高考创新预测】15.(多填题、新定义题)定义：函数f(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值之差为函数f(x)的极差.若定义在区间2b，3b1上的函数f(x)x3ax2(b2)x是奇函数，则ab_，函数f(x)的极差为_.12
