1、第一篇 集合与不等式专题1.04基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式(a，b0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.【知识梳理】1.基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.(2)ab(a，bR)，当且仅当ab时取等号.3.利用基本不等式求最值已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和xy是
2、定值s，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大).【微点提醒】1.2(a，b同号)，当且仅当ab时取等号.2.(a0，b0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的.()(2)函数yx的最小值是2.()(3)函数f(x)sin x的最小值为4.()(4)x0且y0是2的充要条件.()【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x0，y0，且xy18，则的最大值为()A.9 B.18 C.36 D.813.(必修5P100练习T1改编)若x0，则x()A.
3、有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为2 D.有最大值，且最大值为2【真题体验】4.(2019浙江镇海中学月考)已知f(x)，则f(x)在上的最小值为()A. B. C.1 D.05.(2018济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_m，宽为_m时菜园面积最大.6.(2018天津卷)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.【考点聚焦】考点一利用基本不等式求最值角度1利用配凑法求最值【例11】 (1)(2019乐山一中月考)设0x，则函数y4x(32x)的最大值为_.(2)已知x0，a1)的图象恒
4、过定点A，若点A在直线mxny10上，且m，n为正数，则的最小值为_.角度3基本不等式积(ab)与和(ab)的转化【例13】 (经典母题)正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_.【迁移探究】 本例已知条件不变，求ab的最小值.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019济南联考)若a0，b0且2ab4，则的最小值为()A.2 B.
5、 C.4 D.(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_.考点二基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内
6、求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是_万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019河南八校测评)已知等差数列an中，a37，a919，Sn为数列a
7、n的前n项和，则的最小值为_.(2)(一题多解)(2018江苏卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019厦门模拟)已知f(x)32x(k1)3x2，当xR时，f(x)恒为正值
8、，则k的取值范围是()A.(，1) B.(，21)C.(1，21) D.(21，21)(2)在各项都为正数的等比数列an中，若a2 018，则的最小值为_.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab，(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不
9、可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数yx(m0)的单调性.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019孝感调研)“ab0”是“ab0且x1，lg x2B.0时，2D.当01，y1，且lg x，2，lg y成等差数列，则xy有()A.最小值20 B.最小值200C.最大值20 D.最大值2004.设a0，若关于x的不等式x5在(1，)上恒成立，则a的最小值为()A.16 B.9 C.4 D.25.(2019太原模拟)若P为圆x2y21上的一个动点，且A(1，0)，B(1，0)，则|PA|PB|的最大值为()A.2 B.2 C.4 D.46.某车
10、间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件 B.80件 C.100件 D.120件7.若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.48.(2019衡水中学质检)正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，) B.(，3C.(，6 D.6，)二、填空题9.函数y(x1)的最小值为_.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位
11、：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是_万元.11.已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.12.已知直线mxny20经过函数g(x)loga x1(a0且a1)的定点，其中mn0，则的最小值为_.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018江西师大附中月考)若向量m(a1，2)，n(4，b)，且mn，a0，b0，则log alog3 有()A.最大值log3 B.最小值log32C.最大值log D.最小值014.(2019湖南师大附中模拟)已知ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若ABC的三边长分别为a，b，c，则的最小值为()A.2 B.2 C.4 D.2215.(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_.16.已知函数f(x)(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是_.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足xy1，则xy的取值范围为_，的最小值为_.10
