1、专题08 力学中圆周运动模型(3)模型界定本模型只局限于力学范围内的圆周运动,(一)讨论圆周运动中的传动及水平面内的匀速圆周运动,(二)讨论竖直平面内的圆周运动及天体的圆周运动问题.本模型不涉及电磁学范围内的圆周运动，电磁学范围内的圆周运动另有等效重力场、动态圆模型等进行专题研究.模型破解3.圆周运动中的动力学问题(ii)竖直平面内的圆周运动圆周运动中的速度在向心加速度的表达式中,v是物体相对圆心的瞬时速度,在圆心静止时才等于物体的对地速度变速圆周运动中的向心力在变速圆周运动中,向心力不是物体所受合外力,是物体在半径方向上的合力.竖直平面内圆周运动的类型竖直平面内的圆周运动分为匀速圆周运动和变
2、速圆周运动两种常见的竖直平面内的圆周运动是物体在轨道弹力（或绳、杆的弹力）与重力共同作用下运动，多数情况下弹力（特别是绳的拉力与轨道的弹力）方向与运动方向垂直对物体不做功，而重力对物体做功使物体的动能不断变化，因而物体做变速圆周运动若物体运动过程中，还受其他力与重力平衡，则物体做匀速圆周运动变速圆周运动中的正交分解应用牛顿运动定律解答圆周运动问题时，常采用正交分解法.以物体所在的位置为坐标原点，建立相互垂直的两个坐标轴：一个沿半径（法线）方向，此方向上的合力即向心力改变物体速度的方向；另一个沿切线方向，此方向的合力改变物体速度的大小处理竖直平面内圆周运动的方法在物体从一点运动至另点的过程中速度
3、之间的联系由能量观点（动能定理、机械能守恒定律）列方程,在物体经过圆周上某一点时速度与外力之间的联系由牛顿运动定律列方程,两类方程相结合是解决此类问题的有效方法竖直平面内变速圆周运动的最高点与最低点例1.如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径.某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动,已知重力加速度为g,空气阻力不计,要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力,则例1题图A.该盒子做匀速圆周运动的周期一定小于B.该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于C.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能小于2mgD.盒子在最低点时盒子与小球之间的作用力大小可能
4、小于2mg【答案】例.一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度v0抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点P处得曲率半径是例题图A B C D 【答案】【解析】物体做斜抛运动，运动中只受重力作用，到达最高点时速度v沿水平方向，大小等于v0cos,因轨迹上点的曲率圆圆心在点正下方，由牛顿第二定律，故有，正确模型演练1.如图所示，物体A放在粗糙板上
5、随板一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，且板始终保持水平，位置、在同一水平高度上，则练1图A.物体在位置、时受到的弹力都大于重力B.物体在位置、时受到的弹力都小于重力C.物体在从位置运动到位置的过程中受到的摩擦力先增大后减小D.物体在从位置运动到位置的过程中受到的摩擦力先减小后增大【答案】【解析】:如图所示,练1答图 (I)轻绳模型如图1所示,此模型包括沿圆形轨道内侧运动的小球,其共同特征是在最高点时均无支撑.图1 图2小球能通过最高点的条件如图2所示,在最高点A:、即小球能过最高点A的临界条件、小球能做完整圆周运动时在最低点B满足的条件小球不脱离轨道在最低点B满足的条件或小球沿圆周运
6、动过程中绳中张力变化情况在最低点绳中张力最大,在最高点时绳中张力最小,此两点处绳中张力大小差值恒定,即.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,绳中张力单调减小.变速圆周上的最高点与最低点小球位于最高点处时:动能最小、势能最大、绳中张力最小,小球在此处最易脱轨,小球在此处不脱轨是保证小球做完整圆周运动的充要条件.小球位于最高点处时:动能最大、势能最小、绳中张力最大,绳在此处最易断裂.圆周运动中的能量小球沿圆周运动过程中只受到重力与绳的拉力,运动中机械守恒.但满足能量守恒的过程不一定能够发生,需注意小球脱离轨道后做斜上抛运动,动能不能全部转化为重力势能.例.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种
7、过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径、。一个质量为kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以的初速度沿轨道向右运动，A、B间距m。小球与水平轨道间的动摩擦因数，圆形轨道是光滑的。假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取，计算结果保留小数点后一位数字。试求（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距应是多少；（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径应满足的条件；小球最终停留点
8、与起点的距离。例3题图【答案】（）.（）.m（）当时， ；当时，【解析】（1）设小于经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v1根据动能定理 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律 由得 （2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意 由得 （3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：I轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足 由得 II轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3，根据动能定理 解得 为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足 解得 R3=27.9m 当时，小球最终焦停留点与起始点A的距离为L，则 例4.如图所示，质量为
9、m的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为mg，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（ ）例4题图A3mgB5mgC7mgD9mg【答案】【解析】在最高点：，在最低点：由机械能守恒定律：；由此可得正确选项为C例5.如图所示，半径r= 05m的光滑圆轨道被竖直固定在水平地面上，圆轨道最低处有一小球（小球的半径比r小很多）。现给小球一个水平向右的初速度v0，要使小球不脱离轨道运动，v0应满足（ ）例5题图Av05m/s Bv02m/sCv0m/s Dv0m/s【答案】守恒有，联立可解得，答案为D。例6.如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在
10、A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，不计线与钉子碰撞时的能量损失求钉子位置在水平线上的取值范围ABEDlmF例6题图【答案】lxl 【解析】这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（r是做圆周运动的半径）设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x1，则：AD=悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r1=lAD= l当小球落到
11、D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：Fmg= 结合F9mg可得：8mg 由机械能守恒定律得：mg (+r1)=mv12即：v2=2g (+r1) 由式联立解得：x1l 随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x2，如图，例6答图则：AG=r2=lAG= l 在最高点：mg 由机械能守恒定律得：mg (r2)=mv22 由联立得：x2l 在水
12、平线上EF上钉子的位置范围是：lxl 例7.一小球以初速度v0竖直上抛，它能到达的最大高度为H，下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度H（忽略空气阻力） 例7题图A以初速v0沿光滑斜面向上运动（图a）B以初速v0沿光滑的抛物线轨道从最低点向上运动（图b）C以初速v0沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动（图c，）D以初速v0沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动（图d、RH）【答案】有水平方向上的速度,物体的动能不能全部重力势能,则其上升的高度必小于H,答案为C.模型演练2.光滑的水平轨道AB与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B为最低点，D为最高点。一质
13、量为m的小球以初速度v0沿AB运动，恰能通过最高点，则 v0DCBAR练2图 AR越大，v0越大BR越大，小球经过B点后的瞬间对轨道的压力越大Cm越大，v0越大Dm与R同时增大，初动能Ek0增大【答案】【解析】从点到点由机械能守恒有，在及点由牛顿第二定律有、，联立可解得，可见正确错误3.如图所示，质量为m的小球在竖直面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，则当小球通过与圆心等高的A点时，对轨道内侧的压力大小为练图Amg B2mg C3mg D5mg【答案】【解析】:在最高点刚好不脱离轨道时，在A点时所需向心力水平，则向心力刚好完全由轨道的弹力来提供，再由机械能
14、守恒有，联立可解得C项结果。.如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形晃滑轨道，轨道的半径都是R。轨道端点所在的水平线相隔一定的距离。一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为。小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为。不计空气阻力。则练图A、一定时，R越大，一定越大B、一定时，越大，一定越大C、R一定时，越大，一定越大D、R一定时，越大，一定越大【答案】结合表达式可知A错误C正确。5.质量为m的小球由长为L的细线系住，细线的另一端固定在 A点，AB是过A的竖直线，且AB=L，E为AB的中点，过E作水平线 EF，在EF上某一位置钉一小钉D，如图所示现将小球悬线拉至
15、水平，然后由静止释放，不计线与钉碰撞时的机械能损失练5图(1)若钉子在E点位置，则小球经过B点前后瞬间，绳子拉力分别为多少？(2)若小球恰能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，求钉子D的位置离E点的距离x(3)保持小钉D的位置不变，让小球从图示的P点静止释放，当小球运动到最低点时，若细线刚好达到最大张力而断开，最后小球运动的轨迹经过B点试求细线能承受的最大张力T【答案】（）3mg ，5mg（）L （）mg【解析】:(1)mgl=mv2 T1-mg=mT2-mg=m T1=3mg T2=5mg (3)小球做圆周运动到达最低点时，速度设为v2 则 T-mg=m 以后小球做平抛运动过B点，在水平方向有x=
16、v2t 在竖直方向有：L/2-r=gt2 由式可得T=mg练图6.质量为m的小球，用轻软绳系在边长为a的正方形截面木柱的顶角A处（木柱水平，图中斜线部分为其竖直横截面），如图2，软绳长为4a，软绳所能承受的最大拉力为，软绳开始时拉直并处于水平状态。问此时至少应以多大的初速度竖直下抛小球，才能使绳绕在木柱上且各小段均做圆周运动最后击中A点。ABD练6图C【答案】V0【解析】在最低点，对小球应用牛顿第二定律得：由上式可看出，R1小时，T大，绳子易断。故小球在最低点时，应取以B为圆心，即R1=3a，并保障绳子不能被拉断。设开始下抛的初速度为V0，从开始至最低点应用机械能守恒定律得：联立以上三式可得：
17、若小球恰好能通过最高点，则在最高点处有：，由该式可见R2最大时，通过最高点所需V2越大，故应取C点为圆心，即R2=2a，才能完成圆周运动。从开始至最高点应用机械能守恒定律得：联立以上各式可解得：故所求为：V07.如图所示，P点与 N点等高，Q点有一光滑钉子，Q点与E点等高，O是摆的悬点，O、 N、Q、M在同一竖直线上.Q为MN的中点.将质量为m的摆球拉到与竖直方向成60的P点后无初速释放.当球摆到最低点时悬线被钉子挡住，球沿以Q为中心的圆弧继续运动，下列对小球第一次过M点后的描述和最终状态的描述中正确的是练7图A.在过M点后小球向左摆到 N点后自由下落B.在过M点后小球将在 NM之间做自由下落
18、C.在过M点的瞬间，绳对小球的拉力为小球重力的5倍D.小球最终将绕Q点来回摆动【答案】【解析】:设摆线长OP为l，在P点静止释放后，由机械能守恒定律知，小球通过E点时的速度为又由于P与 N等高，E N为圆周的部分轨道，任何一点都具有速度，所以选项AB错误.小球在过M点的瞬间，绳对小球的拉力与球的重力的合力提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：又据机械能守恒定律得：联立得： 8.晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如题图所示，已知握绳的手离地面高度为d，
19、手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。练8图(1) 求绳断时球的速度大小v1和球落地时球的速度大小v2(2) 问绳承受的最大拉力多大?(3) 改变绳长,使球重复上述运动.若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?最大水平距离为多少?【答案】（），（）mg（）当L=d/2时，xmax=d.【解析】:(1)设绳断后球飞行的时间为t,由平抛运动规律有竖直方向水平方向联立解得由机械能守恒定律有解得(2)设绳能承受的拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力。球做圆周运动的半径为R=3d/4对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg
20、=m v12/R，联立解得T=mg。(3)设绳长为L，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有T-mg=m v32/L解得v3=。绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L，水平位移为x，飞行时间为t1，根据平抛运动规律有d-L=gt12，x= v3 t1联立解得x=4. 当L=d/2时，x有极大值，最大水平距离为xmax=d. 9.如图所示,一物体以速度v0冲向光滑斜面AB，并刚好能沿斜面升高h,下列说法正确的是练9图A.若把斜面从C点锯断，由机械能守恒定律知,物体冲出C点后仍能升高hB.若把斜面弯成如图所示的半圆弧状，物体仍能沿升高成hC.若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状，物
21、体都不能升高h，因为机械能不守恒D.若把斜面从C点锯断或弯成如图所示的半圆弧状,物体都不能升高h,但机械能仍守恒【答案】 10.半径为R的圆桶固定在小车上，有一个光滑的小球静止在圆桶最低点，如图所示。小车以速度v向右匀速运动，当小车遇到障碍物时，突然停止运动，在这之后，关于小球在圆桶中上升的高度的判断，正确的是 vR练10图A不可能等于v2/2gB不可能大于v2/2gC不可能小于v2/2gD不可能等于2R【答案】【解析】当，小球能上升的最大高度不大于圆心所在高度，小球速度能在轨道上减小到零，动能可全部转化为重力势能，由能量守恒知小球上升的最大高度；当，小球上升到圆心上方某处时离开轨道做斜上抛运
22、动，到达最高点时速度不为零，即初动能不能全部转化为重力势能，有；当，小球可在竖直平面内做完整的圆周运动，故只有正确(II)轻杆模型如图3所示,此模型包括沿圆形管轨道内运动的小球、套在光滑环上的小球,其共同特征是在最高点时均有支撑.图3图4小球能通过最高点的条件如图4所示,在最高点C:小球能过最高点C的临界条件、小球能做完整圆周运动时在最低点D满足的条件小球沿圆周运动过程中杆中弹力变化情况在最低点杆中弹力最大,在最高点时杆中弹力不一定最小:若,杆中弹力方向向上,大小为若,杆中弹力方向向上,大小小于重力,大小随此点速度的增大而减小.若,杆中无弹力若,杆中弹力方向向下,大小可小于、等于或大于小球重力
23、,大小 随此点速度的增大而增大此两点处当杆中弹力都是拉力时,其大小差值恒定,即;若在最高点C处杆中弹力为推力时,此两点处弹力大小之和恒定,即.小球从圆周的最低点运动至最高点的过程中,杆中弹力不一定是单调减小的.例7.如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球Ab大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是例7题图A当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mgB当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力C速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动D只要v,小球
24、a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg【答案】【解析】小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b所受重力充当向心力，mgm即v0.小球从最高点运动到最低点过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgRmv02mv2，解以上两式可得：v，B项正确；小球在最低点时，F向m5mg，在最高点和最低点所需向心力的差为4mg，A项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，所以小球通过最高点的最小速度为零，再由机械能守恒定律可知，2mgRmv2，解得v2，C项错；当v时，小球在最低点所受支持力F1mg，由最低点运动到最高点，2mgRmv12mv2，小球对轨道压力F2mgm，解得F2m5mg，F1F26mg，可见小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力大6mg，D项正确 19
