1、第二章 平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用1利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为_的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作2向量在平面几何中常见的应用已知（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：_（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：_（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：
2、_（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：_，或_（其中两点的坐标分别为（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题3利用向量解决平面几何问题的步骤（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用基底表示其他向量），然后通过一系列
3、的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论二、向量在物理中的应用向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象1向量与力向量是既有_又有_的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量_到同一作用点上学-科网2向量与速度、加速度及位移速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算解决速度、
4、加速度和位移等问题时，常用的知识主要是向量的_、_以及_运算，有时也借助于坐标运算来处理3向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的_，为和的夹角）动量实际上是_向量K知识参考答案：一、1向量2（1）（2）（3） （4） 二、1大小 方向 平移2加法 减法 数乘3数量积 数乘K重点平面几何中的垂直、长度以及夹角问题K难点利用向量方法解决其他实际问题K易错向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误1平面几何中的垂直问题对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为0），而对于这一条件的应用，可以考虑向量关系式的形式，也可
5、以考虑坐标的形式【例1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE【答案】证明详见解析方法二 如题图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），所以因为，所以，即AFDE【名师点睛】用向量法解决平面几何问题，一般来说有两个方向：（1）几何法：选取适当的基底（尽量用已知模或夹角的向量作为基底），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法2平面
6、几何中的长度问题平面几何中求线段的长度问题，在向量中就是求向量的模的问题，可适当构造向量，利用向量知识求解【例2】如图，平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，则对角线AC的长为 【答案】【解析】设，则，即【名师点睛】用向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若，则3平面几何中的夹角问题【例3】等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为ABCD【答案】A【解析】如图，分别以等腰直角三角形的两直角边所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系
7、，设，则，设向量的夹角为，则【名师点睛】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值4平面向量在物理中的应用【例4】一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知F1、F2成60角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为_【答案】【解析】由题意知F3=（F1F2），|F3|=|F1F2|，|F3|2=|F1|2|F2|22|F1|F2|cos60=28，|F3|=学科-网【名师点睛】用向量法解决物理问题的步骤如下：（
8、1）抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；（2）建立以向量为主体的数学模型；（3）利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；（4）用数学模型中的数据解释或分析物理问题5利用向量解决其他问题【例5】已知直线AxByC=0（其中A2B2=C2，C0）与圆x2y2=6交于不同的两点M、N，O是坐标原点，则_【答案】【解析】取MN的中点P，则，又，而，【名师点睛】向量在解决其他问题时的“两个”作用：（1）载体作用：向量在其他问题中出现时，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题（2）工具作用：利用abab=0（a，b
9、为非零向量），aba=b（b0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法6对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错误【例6】在四边形中，则四边形的面积是 【误区警示】对常见的向量表示形式要熟记于心，如：（1）重心若点G是的重心，则或 （其中P为平面内任意一点）反之，若，则点G是的重心（2）垂心若H是的垂心，则反之，若，则点H是的垂心（3）内心若点I是的内心，则有反之，若，则点I是的内心（4）外心若点O是的外心，则或反之，若，则点O是的外心1如图，在圆C中，弦AB的长为4，则=A8B8C4D42已知力F的大小|F|=10，在
10、F的作用下产生的位移S的大小|S|=14，F与S的夹角为60，则F做的功为A7B10C14D703在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量，其中a=（3，1），b=（1，3），若=a+b，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是ABCD4已知正方形ABCD的边长为1，设，则|等于A0BC2D5如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I36已知点G是ABC的重心，（，R），若A=120，则的最小值是ABCD7一个重20 N的物体从倾斜角为30，长为1 m的光滑
11、斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是_8一汽车向北行驶3 km，然后向北偏东60方向行驶3 km，求汽车的位移9（2017新课标）已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则（+）的最小值是A2BCD110（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=，I2=，I3=，则AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I190，由图象知OAOC，OB，0，即I3I190，由图象知OAOC，OB，0，即I3I1I2，故选C11【答案】C【解析】如图，D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，=故选C12【答案】6【解析】设P（cos，sin）.=（2，0），=（cos+2，sin）则=2（cos+2）6，当且仅当cos=1时取等号故答案为：613【答案】3【解析】如图所示，建立直角坐标系A（1，0）由与的夹角为，且tan=7cos=，sin=Ccos（+45）=（cossin）=sin（+45）=（sin+cos）=B=m+n（m，nR），=mn，=0+n，解得n=，m=则m+n=3故答案为：314【答案】【解析】如图所示，ABC中，A=60，AB=3，AC=2，=2，+=+=+（）=+，又=（R），=（+）（.R）=（）+=（）32cos6032+22=4，=1，解得=故答案为：
