1、29.5正多边形与圆知识点 1正多边形与圆的有关概念及计算1.对于以下说法:各角相等的多边形是正多边形;各边相等的三角形是正三角形;各角相等的圆内接多边形是正多边形;各顶点等分外接圆的多边形是正多边形.你认为正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.教材“大家谈谈”第2题变式 如果一个正多边形的中心角为72,那么这个多边形的边数是()A.4 B.5 C.6 D.73.如果一个正多边形绕它的中心旋转45后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形()A.是轴对称图形,但不是中心对称图形B.是中心对称图形,但不是轴对称图形C.既是轴对称图形,又是中心对称图形D.既不是轴对称图形,也不
2、是中心对称图形4.边长为a的正六边形的边心距为()A.2a B.a C.32a D.12a5.2019成都 如图29-5-1,正五边形ABCDE内接于O,P为DE上的一点(点P不与点D重合),则CPD的度数为()A.30 B.36 C.60 D.726.从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个面积最大的正方形,则此正方形的边长为. 图29-5-1 图29-5-27.2019扬州 如图29-5-2,AC是O的内接正六边形的一边,点B在AC上,且BC是O的内接正十边形的一边.若AB是O的内接正n边形的一边,则n=.知识点 2正多边形的画法8.利用等分圆可以作正多边形,下列只利用直尺和圆规不能作出
3、的多边形是()A.正三角形 B.正方形C.正六边形 D.正七边形9.用尺规作图(不要求写作法和证明,但要保留作图痕迹).(1)如图29-5-3,已知正五边形ABCDE,求作它的中心O. 图29-5-3(2)如图29-5-4,已知O,求作O的内接正八边形.图29-5-410.在学完本节课后,高静同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:(1)如图29-5-5,作O的直径AD;(2)作半径OD的垂直平分线,交O于B,C两点;(3)连接AB,AC,那么ABC即为所求作的三角形.请你判断高静同学的作法是否正确,如果正确,请给出ABC是等边三角形的证明过程;如果不正确,请说明理由.图29-5-511.如图2
4、9-5-6,若干个全等的正五边形排成环状,图中所示的是前3个正五边形,要完成这一圆环还需正五边形的个数为()A.10 B.9 C.8 D.7 图29-5-6 图29-5-712.如图29-5-7,要拧开一个边长为a=6 cm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()A.62 cm B.12 cm C.63 cm D.43 cm13.教材习题A组第2题变式 如图29-5-8,正六边形DEFGHI的顶点分别在等边三角形ABC各边上,则S阴影SABC等于()A.12 B.13 C.23 D.32 图29-5-8 图29-5-914.2018株洲 如图29-5-9,正五边形ABCDE和正三角形AMN都
5、是O的内接多边形,则BOM=.15.如图29-5-10,圆内接正八边形的边长为1,以正八边形的一边AB为边作正方形ABCD,将正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC重合,则正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分的面积为.图29-5-1016.2019铜仁 如图29-5-11,正六边形ABCDEF内接于O,BE是O的直径,连接BF,延长BA,过点F作FGBA,垂足为G.(1)求证:FG是O的切线;(2)已知FG=23,求图中阴影部分的面积.图29-5-1117.图29-5-12分别是O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、正n边形ABCD,点M,N分别
6、从点B,C开始以相同的速度在O上逆时针运动,AM与BN交于点P. (1)求图中APN的度数;(2)图中,APN的度数是,图中APN的度数是;(3)试探索APN的度数与正多边形的边数n的关系(直接写出答案). 图29-5-12教师详解详析【备课资源】教材的地位和作用本节主要研究正多边形与圆的关系,为解决圆的有关计算打基础教学目标知识与技能1.了解正多边形与圆的关系,了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.2.能运用正多边形的知识解决与圆有关的计算问题.3.会利用尺规作正多边形过程与方法学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中,体会到要善于发现问题、解决问题,培养学生的观察、比较、分析、概
7、括及归纳的逻辑思维能力情感、态度与价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体会到事物之间是普遍联系的教学重点难点重点探索正多边形与圆的关系,了解正多边形有关的概念,并能进行计算难点探索正多边形与圆的关系易错点正多边形的有关计算教学导入设计活动一忆一忆n边形的内角和为(n-2)180,外角和为360活动二想一想一个圆中,可以作出它的内接正三角形吗?能作出它的内接正方形吗?能作出它的内接正n边形吗?通过这节课的内容,我们就能解决这个问题.答案 能.能.能【详解详析】1.B解析 两种说法正确,其余两种说法错误.判定正多边形的两个条件:各边相等,各角相等,缺一不可
8、.只具有其一时,要保证另外一个能推出来.2.B3.C解析 一个正多边形绕着它的中心旋转45后,能与原正多边形重合,18045=4,这个正多边形绕它的中心旋转180后能与原正多边形重合,这个正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形.4.C解析 如图,设正六边形的中心为O,连接OA,OB,过点O作OCAB于点C,则OA=OB,AOB=60,AOB为等边三角形,OA=a,AC=12AB=12a,OC=OA2-AC2=32a,正六边形的边心距为32a.故选C. 5.B6.102 cm解析 如图,由题意知BOC=90,BC=OB2+OC2=102+102=102(cm).7.158.D解析 直接利用圆的
9、半径即可将圆等分为6份,这样既可得出正三角形,也可以得出正六边形.作两条互相垂直的直径即可将圆四等分,可得出正方形,但是无法利用圆规与直尺七等分圆,故无法得到正七边形.故选D.9.解:(1)如图,点O即为所求.(2)如图,八边形ABCDEFGH即为所求.10.解:高静同学的作法正确.证明:如图,连接BO,CO,设BC与AD交于点E.BC垂直平分OD,在RtOEB中,cosBOE=OEOB=12,BOE=60.由垂径定理,得COE=BOE=60.AOB=AOC=BOC=120,AB=BC=CA,即ABC为等边三角形.11.D解析 五边形的内角和为(5-2)180=540,正五边形的每一个内角为5
10、405=108.如图,延长正五边形的两边相交于点O,则1=180-(360-1082)=36,36036=10.已经有3个正五边形,完成这一圆环还需7个正五边形.12.C解析 设正六边形ABCDEF的中心是O,如图所示.易得AOB=BOC=60,OA=OB=AB=OC=BC,四边形ABCO是菱形.连接AC,则ACOB于点M.AB=6 cm,AOB=60,cosBAC=AMAB,AM=ABcosBAC=632=33(cm),AC=2AM=63(cm).故选C.13.C解析 六边形DEFGHI是正六边形,DE=DI,EDI=120,ADI=60,ADI是等边三角形,则AD=DI,AD=DE,同理B
11、E=DE,AD=DE=BE,ADAB=13,则SADI=19SABC,同理SBEF=19SABC,SCGH=19SABC,S阴影SABC=23.故选C.14.48解析 如图,连接OA.五边形ABCDE是正五边形,AOB=3605=72.AMN是正三角形,AOM=3603=120,BOM=AOM-AOB=48.15.2-1解析 正八边形的内角ABC=(8-2)1808=135.正方形ABCD绕点B顺时针旋转,使BC与正八边形的另一边BC重合,ABC=ABC=90,BAD=BAD=90,ABA=135-90=45,延长BA过点D.AB=1,AB=AB=1,BD=2,AD=2-1,正方形ABCD与正
12、方形ABCD重叠部分的面积为SBDC-SDAE=1211-12(2-1)(2-1)=2-1.16.解:(1)证明:连接OF,AO.AB=AF=EF,AB=AF=EF,ABF=AFB=EBF=12AOF=30.OB=OF,OBF=BFO=30,ABF=OFB,ABOF.FGBA,OFFG,FG是O的切线.(2)AB=AF=EF,AOF=60.OA=OF,AOF是等边三角形,AFO=60,AFG=30.FG=23,AF=4,AO=4.AFB=OBF=30,AFBE,四边形ABOF为平行四边形,SABF=SAOF=12SABOF,图中阴影部分的面积即为扇形AOF的面积为6042360=83.17.解: (1)BM=CN, BAM=CBN.APN为ABP的外角,APN=ABP+BAM=ABP+CBN=ABC=60.(2)90108(3)APN=(n-2)180n.
