浙江省20届高考数学一轮 第9章 9.5 第2课时 直线与椭圆

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1、第 2 课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1.若直线 ykx1 与椭圆 1 总有公共点,则 m 的取值范围是( )x25 y2mA.m1 B.m0C.00 且 m5,m1 且 m5.2.已知直线 l:y 2xm,椭圆 C: 1.试问当 m 取何值时,直线 l 与椭圆 C:x24 y22(1)有两个不重合的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点.解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立,得方程组Error!将代入,整理得 9x28mx2m 240.方程根的判别式 (8m )2 49(2m24)8m 2144.(1)当 0,即 3 3 时,方程 没有实数根,可知原方程组没

2、有实数解.这时直2 2线 l 与椭圆 C 没有公共点.思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二 弦长及中点弦问题命题点 1 弦长问题例 1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y 21 相交于 A,B 两点,则|AB|的最大值为( )x24A.2 B. C. D.455 4105 8105答案 C解析 设 A,B 两点的坐标分别为( x1,y1),(x2,y2),直线 l 的方程为 yxt,由Error!消去 y,得 5x28tx

3、4(t 21)0,则 x1x 2 t,x1x2 .85 4t2 15|AB| |x1x 2| 1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 ,2 ( 85t)2 44t2 15 425 5 t2当 t0 时,|AB| max .4105命题点 2 中点弦问题例 2 已知 P(1,1) 为椭圆 1 内一定点,经过 P 引一条弦,使此弦被 P 点平分,则x24 y22此弦所在的直线方程为_.答案 x2y30解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在,所以 设其方程 为 y1k(x1) ,弦所在的直线与椭圆相交于 A,B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2).由Error!消去 y 得,(2

4、k21)x 24k (k1)x2(k 22k1)0,x 1x 2 ,又x 1x 22, 2,4kk 12k2 1 4kk 12k2 1解得 k .12故此弦所在的直线方程为 y1 (x1),12即 x2y30.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在,所以 设斜率为 k,弦所在的直线与椭圆相交于 A,B两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 1,x214 y212 1,x24 y22得 0,x1 x2x1 x24 y1 y2y1 y22x 1x 22,y 1y 22, y 1y 20,k .x1 x22 y1 y2x1 x2 12此弦所在的直线方程为 y1 (x1),12即 x2y30.思

5、维升华 (1)解决直线与椭圆 的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关 问题.涉及中点弦的 问题时用“点差法”解决,往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB| (k 为直线斜率).1 k2x1 x22 4x1x2 (1 1k2)y1 y22 4y1y2(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下 进行的,不要忽略判别式.跟踪训练 1 已知椭圆 E: 1(ab0) 的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0),(0 ,b)的x2a2 y2b2直线的距离为 c.12(1)求椭圆 E

6、的离心率;(2)如图,AB 是圆 M:(x 2) 2(y1) 2 的一条直径,若椭圆 E 经过 A,B 两点,求椭圆52E 的方程.解 (1)过点(c,0),(0 ,b)的直线方程为 bxcybc0,则原点 O 到该直线的距离 d ,bcb2 c2 bca由 d c,得 a2b2 ,解得离心率 e .12 a2 c2 ca 32(2)方法一 由(1) 知,椭圆 E 的方程为 x24y 24b 2.依题意,圆心 M(2,1) 是线段 AB 的中点,且| AB| .10易知,AB 与 x 轴不垂直,设其方程 为 yk( x2) 1,代入得(1 4k 2)x28k(2 k1)x4(2k1) 2 4b

7、20,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x 2 ,8k2k 11 4k2x1x2 ,42k 12 4b21 4k2由 x1x 24,得 4,解得 k ,8k2k 11 4k2 12从而 x1x282b 2.于是|AB| |x1x 2| ,1 (12)2 52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由|AB| ,得 ,解得 b23,10 10b2 2 10故椭圆 E 的方程为 1.x212 y23方法二 由(1)知, 椭圆 E 的方程为 x24y 24b 2,依题意,点 A,B 关于圆心 M(2, 1)对称,且|AB| ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),10则 x 4y 4

8、b 2,x 4y 4b 2,21 21 2 2两式相减并结合 x1x 24, y1y 22,得4(x 1x 2)8(y 1y 2)0,易知 AB 与 x 轴不垂直,则 x1x 2,所以 AB 的斜率 kAB ,y1 y2x1 x2 12因此直线 AB 的方程为 y (x2)1,12代入得 x24x 82b 20,所以 x1x 24,x 1x282b 2,于是|AB| |x1x 2| .1 (12)2 52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由|AB| ,得 ,解得 b23,10 10b2 2 10故椭圆 E 的方程为 1.x212 y23题型三 椭圆与向量等知识的综合例 3 (2019杭州

9、质检)已知椭圆 C: 1( ab0), e ,其中 F 是椭圆的右焦点,焦x2a2 y2b2 12距为 2,直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,线段 AB 的中点的横坐标为 ,且 (其中 1).14 AF FB (1)求椭圆 C 的标准方程;(2)求实数 的值.解 (1)由椭圆的焦距为 2,知 c1,又 e ,a2,12故 b2a 2c 23,椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)由 ,可知 A,B,F 三点共线,AF FB 设点 A(x1,y1),点 B(x2,y2).若直线 ABx 轴,则 x1x 21,不符合题意;当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设 l 的方程为

10、yk(x1).由Error! 消去 y 得(34k 2)x28k 2x4k 2120.的判别式 64k44(4k 2 3)(4k212)144(k 21)0.Error!x 1x 2 2 ,k 2 .8k24k2 3 14 12 14将 k2 代入方程,得 4x22x110,14解得 x .1354又 (1 x 1,y 1), (x 21,y 2), ,AF FB AF FB 即 1x 1(x 2 1), ,又 1, .1 x1x2 1 3 52思维升华 一般地,在椭圆与向量等知 识的综合问题中,平面向量只起“背景”或“结论”的作用,几乎都不会在向量的知识上设置障碍,所考 查的核心内容仍然是解

11、析几何的基本方法和基本思想.跟踪训练 2 (2018浙江名校联盟联考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C: 1(ab0)的离心率为 ,焦距为 2.x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 C 的方程;(2)记斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,椭圆 C 上存在点 P 满足 ,求OP OA OB 四边形 OAPB 的面积 .解 (1)由题意得 c1,a2,b ,3故椭圆 C 的方程是 1.x24 y23(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线 AB:ykxm,由Error!消去 y,可得(34k 2)x28kmx4m 2120,故 48(4k 2

12、3m 2)0 且Error!由 ,可得Error!OP OA OB 又点 P 在椭圆 C 上,所以 1 ,x1 x224 y1 y223其中 x1x 2 , 8km3 4k2y1y 2k(x 1x 2)2m ,6m3 4k2代入 1 中,可得 4m234k 2.x1 x224 y1 y223|AB| |x1x 2| ,1 k2 1 k2433 4k2 m23 4k2设点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d .|m|1 k2所以四边形 AOBP 的面积S|AB|d 3.433 4k2 m2|m|3 4k2 12m24m21.若直线 mxny4 与O:x 2y 24 没有交点,则过点 P(m,n

13、)的直线与椭圆 1x29 y24的交点个数是( )A.至多为 1 B.2C.1 D.0答案 B解析 由题意知, 2,即 b0),则 c1.因为过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆x2a2 y2b2交于 A,B 两点,且|AB|3,所以 ,b2a 2c 2,所以 a24,b 2a 2c 2413,椭圆的b2a 32方程为 1.x24 y235.经过椭圆 y 21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l,交椭圆于 A,B 两点.设 O 为坐标x22原点,则 等于( )OA OB A.3 B.13C. 或3 D.13 13答案 B解析 依题意,当直线 l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为 y0

14、tan 45(x1),即yx1.代入椭圆方程 y 21 并整理得 3x24x0,解得 x0 或 x .所以两个交点坐标x22 43为A(0,1) ,B ,所以 (0, 1) .同理,直线 l 经过椭圆的左焦点时,也可(43,13) OA OB (43,13) 13得 .OA OB 136.设 F1,F 2 分别是椭圆 y 21 的左、右焦点,若椭圆上存在一点 P,使x24( ) 0(O 为坐标原点) ,则F 1PF2 的面积是 ( )OP OF2 PF2 A.4 B.3 C.2 D.1答案 D解析 ( ) ( ) 0,OP OF2 PF2 OP F1O PF2 F1P PF2 PF 1PF 2

15、,F 1PF290.设|PF 1| m,|PF2|n,则 mn4,m 2n 212,2mn4, mn2, mn1.12FPSA127.直线 ykxk 1 与椭圆 1 的位置关系是_.x29 y24答案 相交解析 由于直线 ykxk 1 k (x1) 1 过定点(1,1),而(1,1)在椭圆内,故直线与椭圆必相交.8.(2018浙江余姚中学质检)若椭圆 C: 1 的弦被点 P(2,1)平分,则这条弦所在的直x212 y23线 l 的方程是_ ,若点 M 是直线 l 上一点,则 M 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和的最小值为_.答案 x2y40 4655解析 当直线 l 的斜率不存在 时不满足题意

16、,所以 设 l 的斜率为 k,椭圆 C: 1 的弦被x212 y23点 P(2,1)平分,由点差法得 k ,代入已知的中点 P 的坐标得到直线方程为 x2y40.12设点 M(x,y),点 F2(3,0)关于 x2y 40 的对称点为 F2 ,连接 F2F 1,交直线于(175,45)点 M,此时距离之和最小,最小值为|F 2F 1| .(325)2 (45)2 46559.已知椭圆 C: 1(ab0)的左焦点为 F,椭圆 C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,x2a2 y2b2连接 AF,BF,若| AB|10,| AF|6,cosABF ,则椭圆 C 的离心率 e_.45答案 57解析

17、设椭圆的右焦点为 F1,在ABF 中,由余弦定理可解得|BF|8,所以ABF 为直角三角形,且AFB90 ,又因为斜边 AB 的中点为 O,所以 |OF|c5,连接 AF1,因为 A,B 关于原点对称,所以|BF| AF1|8,所以 2a14,a7,所以离心率 e .5710.已知直线 MN 过椭圆 y 21 的左焦点 F,与椭圆交于 M,N 两点.直线 PQ 过原点 Ox22与 MN 平行,且 PQ 与椭圆交于 P,Q 两点,则 _.|PQ|2|MN|答案 2 2解析 不妨取直线 MNx 轴, 椭圆 y 21 的左焦点 F(1,0),令 x1,得 y2 ,x22 12所以 y ,所以|MN|

18、 ,此时|PQ|2b2,22 2则 2 .|PQ|2|MN| 42 211.设 F1,F 2 分别是椭圆 E: 1(ab0)的左、右焦点, E 的离心率为 ,点(0,1)x2a2 y2b2 22是 E 上一点.(1)求椭圆 E 的方程;(2)过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,且 2 ,求直线 BF2 的方程.BF1 F1A 解 (1)由题意知,b1,且 e2 ,c2a2 a2 b2a2 12解得 a22,所以椭圆 E 的方程为 y 21.x22(2)由题意知,直线 AB 的斜率存在且不为 0,故可设直线 AB 的方程为 xmy 1,设 A(x1,y1),B(x2,y2).由Err

19、or! 得(m 2 2)y22my10,则 y1y 2 ,2mm2 2y1y2 ,1m2 2因为 F1(1,0),所以 (1x 2,y 2), (x 11,y 1),BF1 F1A 由 2 可得y 22y 1,BF1 F1A 由可得 B ,( 12, 144)则 或 ,2BFk146 146所以直线 BF2 的方程为y x 或 y x .146 146 146 14612.(2019绍兴质检)已知椭圆 C: 1( ab0)的离心率为 ,且经过点(3,1).x2a2 y2b2 63(1)求椭圆的标准方程;(2)过点 P(6,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,Q 是 x 轴上的点,若ABQ

20、是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,求 l 的方程 .解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,由离心率 e 及 a2b 2 c2,得 a23b 2,ca 63则椭圆的方程为 1,x23b2 y2b2代入点(3,1) 得 1,解得 b24, 则 a212,3b2 1b2所以椭圆的标准方程为 1.x212 y24(2)设 AB 的中点坐标为(x 0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l:xty6,则由Error!得(t 23)y 212ty240,由 0,得 t26,y0 ,x0ty 06 , 6tt2 3 18t2 3则 AB 的中垂线方程为 y t ,6tt2 3 (x 18t2

21、 3)所以 Q .(12t2 3,0)易知点 Q 到直线 l 的距离为 d ,(12t2 3,0) | 12t2 3 6|1 t2 6t2 1t2 3|AB| ,1 t2 y1 y22 4y1y243 1 t2 t2 6t2 3所以 62 ,解得 t29, 满足 t26,则 t3,3 t2 6所以直线 l 的方程为 x3y60.13.(2018台州模拟)已知椭圆 C: 1( ab0)的右焦点为 F2,O 为坐标原点,M 为 yx2a2 y2b2轴上一点,点 A 是直线 MF2 与椭圆 C 的一个交点,且|OA| |OF 2|2|OM|,则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 2

22、5 55 53答案 D解析 方法一 |OA| OF2|2|OM|,M 在椭圆 C 的短轴 上, 设椭圆 C 的左焦点为 F1,连接 AF1,|OA |OF 2|,|OA| |F1F2|,AF 1AF 2,12从而AF 1F2 OMF2, ,|AF1|AF2| |OM|OF2| 12又|AF 1|2| AF2|2(2 c)2,|AF 1| c,|AF2| c,255 455又|AF 1| AF2|2a, c2a,即 .655 ca 53故选 D.方法二 |OA| OF2|2|OM|,M 在椭圆 C 的短轴上,在 RtMOF 2 中,tanMF 2O ,|OM|OF2| 12设椭圆 C 的左焦点为

23、 F1,连接 AF1,|OA |OF 2|,|OA| |F1F2|,12AF 1AF 2,tanAF 2F1 ,|AF1|AF2| 12设|AF 1| x(x0),则| AF2|2x ,|F 1F2| x,5e ,故选 D.2c2a |F1F2|AF1| |AF2| 5xx 2x 5314.已知椭圆 1(ab0)短轴的端点为 P(0,b),Q(0,b) ,长轴的一个端点为x2a2 y2b2M,AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若 PA,PB 的斜率之积等于 ,则点 P14到直线 QM 的距离为 _.答案 b455解析 设 A(x0,y0),则 B 点坐标为( x 0, y0),则 ,

24、即 ,y0 bx0 y0 b x0 14 y20 b2x20 14由于 1,则 ,x20a2 y20b2 y20 b2x20 b2a2故 ,则 ,不妨取 M(a,0),则直线 QM 的方程为 bxayab0,b2a2 14 ba 12则点 P 到直线 QM 的距离为 d b.|2ab|a2 b2 2b1 (ba)2 45515.平行四边形 ABCD 内接于椭圆 1,直线 AB 的斜率 k12,则直线 AD 的斜率 k2x28 y24等于( )A. B. C. D.212 12 14答案 C解析 设 AB 的中点为 G,则由椭圆的对称性知,O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点,则 GOAD

25、 .设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有Error! 两式相减得 ,x1 x2x1 x28 y1 y2y1 y24整理得 k12,x1 x22y1 y2 y1 y2x1 x2即 .又 G ,y1 y2x1 x2 14 (x1 x22 ,y1 y22 )所以 kOG ,即 k2 ,故 选 C.y1 y22 0x1 x22 0 14 1416.过椭圆 1(ab0)上的动点 M 作圆 x2y 2 的两条切线,切点分别为 P 和 Q,y2a2 x2b2 b23直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F,求EOF 面积的最小值.解 设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,

26、y2),由题意知 PQ 的斜率存在,且不为 0,所以 x0y00,则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1xy 1y ,x2xy 2y .因为点 M 在 MP 和 MQ 上,所b23 b23以有 x1x0y 1y0 ,x2x0y 2y0 ,则 P,Q 两点的坐标满 足方程 x0xy 0y ,所以直线b23 b23 b23PQ 的方程为 x0xy 0y ,可得 E 和 F ,b23 (b23x0,0) (0,b23y0)所以 SEOF |OE|OF| ,12 b418|x0y0|因为 b2y a 2x a 2b2,b2y a 2x 2ab| x0y0|,20 20 20 20所以|x 0y0| ,ab2所以 SEOF ,b418|x0y0| b39a当且仅当 b2y a 2x 时取“” ,20 20a2b22故EOF 面积的最小值为 .b39a

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