1、第 2 课时 直线与椭圆题型一 直线与椭圆的位置关系1.若直线 ykx1 与椭圆 1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )x25 y2mA.m1 B.m0C.00 且 m5，m1 且 m5.2.已知直线 l：y 2xm，椭圆 C： 1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C：x24 y22(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解 将直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立，得方程组Error!将代入，整理得 9x28mx2m 240.方程根的判别式 (8m )2 49(2m24)8m 2144.(1)当 0，即 3 3 时，方程 没有实数根，可知原方程组没
2、有实数解.这时直2 2线 l 与椭圆 C 没有公共点.思维升华 研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.题型二 弦长及中点弦问题命题点 1 弦长问题例 1 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 y 21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( )x24A.2 B. C. D.455 4105 8105答案 C解析 设 A，B 两点的坐标分别为( x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt，由Error!消去 y，得 5x28tx
3、4(t 21)0，则 x1x 2 t，x1x2 .85 4t2 15|AB| |x1x 2| 1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 ，2 ( 85t)2 44t2 15 425 5 t2当 t0 时，|AB| max .4105命题点 2 中点弦问题例 2 已知 P(1，1) 为椭圆 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则x24 y22此弦所在的直线方程为_.答案 x2y30解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，所以 设其方程 为 y1k(x1) ，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2).由Error!消去 y 得，(2
4、k21)x 24k (k1)x2(k 22k1)0，x 1x 2 ，又x 1x 22， 2，4kk 12k2 1 4kk 12k2 1解得 k .12故此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，12即 x2y30.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，所以 设斜率为 k，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B两点，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1，x214 y212 1，x24 y22得 0，x1 x2x1 x24 y1 y2y1 y22x 1x 22，y 1y 22， y 1y 20，k .x1 x22 y1 y2x1 x2 12此弦所在的直线方程为 y1 (x1)，12即 x2y30.思
5、维升华 (1)解决直线与椭圆 的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关 问题.涉及中点弦的 问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| (k 为直线斜率).1 k2x1 x22 4x1x2 (1 1k2)y1 y22 4y1y2(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下 进行的，不要忽略判别式.跟踪训练 1 已知椭圆 E： 1(ab0) 的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c，0)，(0 ，b)的x2a2 y2b2直线的距离为 c.12(1)求椭圆 E
6、的离心率；(2)如图，AB 是圆 M：(x 2) 2(y1) 2 的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆52E 的方程.解 (1)过点(c，0)，(0 ，b)的直线方程为 bxcybc0，则原点 O 到该直线的距离 d ，bcb2 c2 bca由 d c，得 a2b2 ，解得离心率 e .12 a2 c2 ca 32(2)方法一 由(1) 知，椭圆 E 的方程为 x24y 24b 2.依题意，圆心 M(2，1) 是线段 AB 的中点，且| AB| .10易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程 为 yk( x2) 1，代入得(1 4k 2)x28k(2 k1)x4(2k1) 2 4b
7、20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x 2 ，8k2k 11 4k2x1x2 ，42k 12 4b21 4k2由 x1x 24，得 4，解得 k ，8k2k 11 4k2 12从而 x1x282b 2.于是|AB| |x1x 2| ，1 (12)2 52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由|AB| ，得 ，解得 b23，10 10b2 2 10故椭圆 E 的方程为 1.x212 y23方法二 由(1)知， 椭圆 E 的方程为 x24y 24b 2，依题意，点 A，B 关于圆心 M(2， 1)对称，且|AB| ，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，10则 x 4y 4
8、b 2，x 4y 4b 2，21 21 2 2两式相减并结合 x1x 24， y1y 22，得4(x 1x 2)8(y 1y 2)0，易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1x 2，所以 AB 的斜率 kAB ，y1 y2x1 x2 12因此直线 AB 的方程为 y (x2)1，12代入得 x24x 82b 20，所以 x1x 24，x 1x282b 2，于是|AB| |x1x 2| .1 (12)2 52 x1 x22 4x1x2 10b2 2由|AB| ，得 ，解得 b23，10 10b2 2 10故椭圆 E 的方程为 1.x212 y23题型三 椭圆与向量等知识的综合例 3 (2019杭州
9、质检)已知椭圆 C： 1( ab0)， e ，其中 F 是椭圆的右焦点，焦x2a2 y2b2 12距为 2，直线 l 与椭圆 C 交于点 A，B，线段 AB 的中点的横坐标为 ，且 (其中 1).14 AF FB (1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求实数 的值.解 (1)由椭圆的焦距为 2，知 c1，又 e ，a2，12故 b2a 2c 23，椭圆 C 的标准方程为 1.x24 y23(2)由 ，可知 A，B，F 三点共线，AF FB 设点 A(x1，y1)，点 B(x2，y2).若直线 ABx 轴，则 x1x 21，不符合题意；当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为
10、yk(x1).由Error! 消去 y 得(34k 2)x28k 2x4k 2120.的判别式 64k44(4k 2 3)(4k212)144(k 21)0.Error!x 1x 2 2 ，k 2 .8k24k2 3 14 12 14将 k2 代入方程，得 4x22x110，14解得 x .1354又 (1 x 1，y 1)， (x 21，y 2)， ，AF FB AF FB 即 1x 1(x 2 1)， ，又 1， .1 x1x2 1 3 52思维升华 一般地，在椭圆与向量等知 识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考 查的核心内容仍然是解
11、析几何的基本方法和基本思想.跟踪训练 2 (2018浙江名校联盟联考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C： 1(ab0)的离心率为 ，焦距为 2.x2a2 y2b2 12(1)求椭圆 C 的方程；(2)记斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，椭圆 C 上存在点 P 满足 ，求OP OA OB 四边形 OAPB 的面积 .解 (1)由题意得 c1，a2，b ，3故椭圆 C 的方程是 1.x24 y23(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直线 AB：ykxm，由Error!消去 y，可得(34k 2)x28kmx4m 2120，故 48(4k 2
12、3m 2)0 且Error!由 ，可得Error!OP OA OB 又点 P 在椭圆 C 上，所以 1 ，x1 x224 y1 y223其中 x1x 2 ， 8km3 4k2y1y 2k(x 1x 2)2m ，6m3 4k2代入 1 中，可得 4m234k 2.x1 x224 y1 y223|AB| |x1x 2| ，1 k2 1 k2433 4k2 m23 4k2设点 O 到直线 l 的距离为 d，则 d .|m|1 k2所以四边形 AOBP 的面积S|AB|d 3.433 4k2 m2|m|3 4k2 12m24m21.若直线 mxny4 与O：x 2y 24 没有交点，则过点 P(m，n
13、)的直线与椭圆 1x29 y24的交点个数是( )A.至多为 1 B.2C.1 D.0答案 B解析 由题意知， 2，即 b0)，则 c1.因为过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆x2a2 y2b2交于 A，B 两点，且|AB|3，所以 ，b2a 2c 2，所以 a24，b 2a 2c 2413，椭圆的b2a 32方程为 1.x24 y235.经过椭圆 y 21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A，B 两点.设 O 为坐标x22原点，则 等于( )OA OB A.3 B.13C. 或3 D.13 13答案 B解析 依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为 y0
14、tan 45(x1)，即yx1.代入椭圆方程 y 21 并整理得 3x24x0，解得 x0 或 x .所以两个交点坐标x22 43为A(0，1) ，B ，所以 (0， 1) .同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可(43，13) OA OB (43，13) 13得 .OA OB 136.设 F1，F 2 分别是椭圆 y 21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使x24( ) 0(O 为坐标原点) ，则F 1PF2 的面积是 ( )OP OF2 PF2 A.4 B.3 C.2 D.1答案 D解析 ( ) ( ) 0，OP OF2 PF2 OP F1O PF2 F1P PF2 PF 1PF 2
15、，F 1PF290.设|PF 1| m，|PF2|n，则 mn4，m 2n 212，2mn4， mn2， mn1.12FPSA127.直线 ykxk 1 与椭圆 1 的位置关系是_.x29 y24答案 相交解析 由于直线 ykxk 1 k (x1) 1 过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交.8.(2018浙江余姚中学质检)若椭圆 C： 1 的弦被点 P(2，1)平分，则这条弦所在的直x212 y23线 l 的方程是_ ，若点 M 是直线 l 上一点，则 M 到椭圆 C 的两个焦点的距离之和的最小值为_.答案 x2y40 4655解析 当直线 l 的斜率不存在 时不满足题意
16、，所以 设 l 的斜率为 k，椭圆 C： 1 的弦被x212 y23点 P(2，1)平分，由点差法得 k ，代入已知的中点 P 的坐标得到直线方程为 x2y40.12设点 M(x，y)，点 F2(3，0)关于 x2y 40 的对称点为 F2 ，连接 F2F 1，交直线于(175，45)点 M，此时距离之和最小，最小值为|F 2F 1| .(325)2 (45)2 46559.已知椭圆 C： 1(ab0)的左焦点为 F，椭圆 C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，x2a2 y2b2连接 AF，BF，若| AB|10，| AF|6，cosABF ，则椭圆 C 的离心率 e_.45答案 57解析
17、设椭圆的右焦点为 F1，在ABF 中，由余弦定理可解得|BF|8，所以ABF 为直角三角形，且AFB90 ，又因为斜边 AB 的中点为 O，所以 |OF|c5，连接 AF1，因为 A，B 关于原点对称，所以|BF| AF1|8，所以 2a14，a7，所以离心率 e .5710.已知直线 MN 过椭圆 y 21 的左焦点 F，与椭圆交于 M，N 两点.直线 PQ 过原点 Ox22与 MN 平行，且 PQ 与椭圆交于 P，Q 两点，则 _.|PQ|2|MN|答案 2 2解析 不妨取直线 MNx 轴， 椭圆 y 21 的左焦点 F(1，0)，令 x1，得 y2 ，x22 12所以 y ，所以|MN|
18、 ，此时|PQ|2b2，22 2则 2 .|PQ|2|MN| 42 211.设 F1，F 2 分别是椭圆 E： 1(ab0)的左、右焦点， E 的离心率为 ，点(0，1)x2a2 y2b2 22是 E 上一点.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，且 2 ，求直线 BF2 的方程.BF1 F1A 解 (1)由题意知，b1，且 e2 ，c2a2 a2 b2a2 12解得 a22，所以椭圆 E 的方程为 y 21.x22(2)由题意知，直线 AB 的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 xmy 1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2).由Err
19、or! 得(m 2 2)y22my10，则 y1y 2 ，2mm2 2y1y2 ，1m2 2因为 F1(1，0)，所以 (1x 2，y 2)， (x 11，y 1)，BF1 F1A 由 2 可得y 22y 1，BF1 F1A 由可得 B ，( 12， 144)则 或 ，2BFk146 146所以直线 BF2 的方程为y x 或 y x .146 146 146 14612.(2019绍兴质检)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，且经过点(3，1).x2a2 y2b2 63(1)求椭圆的标准方程；(2)过点 P(6，0)的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，Q 是 x 轴上的点，若ABQ
20、是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，求 l 的方程 .解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由离心率 e 及 a2b 2 c2，得 a23b 2，ca 63则椭圆的方程为 1，x23b2 y2b2代入点(3，1) 得 1，解得 b24， 则 a212，3b2 1b2所以椭圆的标准方程为 1.x212 y24(2)设 AB 的中点坐标为(x 0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：xty6，则由Error!得(t 23)y 212ty240，由 0，得 t26，y0 ，x0ty 06 ， 6tt2 3 18t2 3则 AB 的中垂线方程为 y t ，6tt2 3 (x 18t2
21、 3)所以 Q .(12t2 3，0)易知点 Q 到直线 l 的距离为 d ，(12t2 3，0) | 12t2 3 6|1 t2 6t2 1t2 3|AB| ，1 t2 y1 y22 4y1y243 1 t2 t2 6t2 3所以 62 ，解得 t29， 满足 t26，则 t3，3 t2 6所以直线 l 的方程为 x3y60.13.(2018台州模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F2，O 为坐标原点，M 为 yx2a2 y2b2轴上一点，点 A 是直线 MF2 与椭圆 C 的一个交点，且|OA| |OF 2|2|OM|，则椭圆 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 2
22、5 55 53答案 D解析 方法一 |OA| OF2|2|OM|，M 在椭圆 C 的短轴 上， 设椭圆 C 的左焦点为 F1，连接 AF1，|OA |OF 2|，|OA| |F1F2|，AF 1AF 2，12从而AF 1F2 OMF2， ，|AF1|AF2| |OM|OF2| 12又|AF 1|2| AF2|2(2 c)2，|AF 1| c，|AF2| c，255 455又|AF 1| AF2|2a， c2a，即 .655 ca 53故选 D.方法二 |OA| OF2|2|OM|，M 在椭圆 C 的短轴上，在 RtMOF 2 中，tanMF 2O ，|OM|OF2| 12设椭圆 C 的左焦点为
23、 F1，连接 AF1，|OA |OF 2|，|OA| |F1F2|，12AF 1AF 2，tanAF 2F1 ，|AF1|AF2| 12设|AF 1| x(x0)，则| AF2|2x ，|F 1F2| x，5e ，故选 D.2c2a |F1F2|AF1| |AF2| 5xx 2x 5314.已知椭圆 1(ab0)短轴的端点为 P(0，b)，Q(0，b) ，长轴的一个端点为x2a2 y2b2M，AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 PA，PB 的斜率之积等于 ，则点 P14到直线 QM 的距离为 _.答案 b455解析 设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为( x 0， y0)，则 ，
24、即 ，y0 bx0 y0 b x0 14 y20 b2x20 14由于 1，则 ，x20a2 y20b2 y20 b2x20 b2a2故 ，则 ，不妨取 M(a，0)，则直线 QM 的方程为 bxayab0，b2a2 14 ba 12则点 P 到直线 QM 的距离为 d b.|2ab|a2 b2 2b1 (ba)2 45515.平行四边形 ABCD 内接于椭圆 1，直线 AB 的斜率 k12，则直线 AD 的斜率 k2x28 y24等于( )A. B. C. D.212 12 14答案 C解析 设 AB 的中点为 G，则由椭圆的对称性知，O 为平行四边形 ABCD 的对角线的交点，则 GOAD
25、 .设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有Error! 两式相减得 ，x1 x2x1 x28 y1 y2y1 y24整理得 k12，x1 x22y1 y2 y1 y2x1 x2即 .又 G ，y1 y2x1 x2 14 (x1 x22 ，y1 y22 )所以 kOG ，即 k2 ，故 选 C.y1 y22 0x1 x22 0 14 1416.过椭圆 1(ab0)上的动点 M 作圆 x2y 2 的两条切线，切点分别为 P 和 Q，y2a2 x2b2 b23直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，求EOF 面积的最小值.解 设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，
26、y2)，由题意知 PQ 的斜率存在，且不为 0，所以 x0y00，则直线 MP 和 MQ 的方程分别为 x1xy 1y ，x2xy 2y .因为点 M 在 MP 和 MQ 上，所b23 b23以有 x1x0y 1y0 ，x2x0y 2y0 ，则 P，Q 两点的坐标满 足方程 x0xy 0y ，所以直线b23 b23 b23PQ 的方程为 x0xy 0y ，可得 E 和 F ，b23 (b23x0，0) (0，b23y0)所以 SEOF |OE|OF| ，12 b418|x0y0|因为 b2y a 2x a 2b2，b2y a 2x 2ab| x0y0|，20 20 20 20所以|x 0y0| ，ab2所以 SEOF ，b418|x0y0| b39a当且仅当 b2y a 2x 时取“” ，20 20a2b22故EOF 面积的最小值为 .b39a
