1、9.5 椭 圆最新考纲 考情考向分析1.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单几何性质.2.会解决直线与椭圆的位置关系的问题.椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中.题型主要以选择、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.1.椭圆的概念平面内与两个定点 F1，F 2 的距离的和等于常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 P M|MF1|MF 2|2a，|F 1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)
2、若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2图形范围axabybbx bay a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A 2(a，0)B1(0，b)，B 2(0，b )A1(0，a)，A 2(0，a) B1(b，0)，B 2(b，0)轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b性质焦距 |F1F2|2c离心率 e (0 ，1)caa，b，c 的关系 a2b 2c 2概念方法微思考1.在椭圆的定义中，若 2a|F 1F2|或 2a1.x20a2 y20b24.直线与椭圆的位置关系有几种？如何判断？提
3、示 直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.判断方法为联立直线与椭圆的方程，求联立后所得方程的判别式 .(1)直线与椭圆相离0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F 2 构成PF 1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( )(2)方程 mx2ny 21( m0，n 0，m n)表示的曲线是椭圆.( )(3) 1( ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( )y2a2 x2b2(4) 1( ab0)与 1(ab0) 的焦距相等.( )x2a2 y2b2 y2a2 x2b2题组二 教材
4、改编2.P49T4椭圆 1 的焦距为 4，则 m 等于( )x210 m y2m 2A.4 B.8 C.4 或 8 D.12答案 C解析 当焦点在 x 轴上时，10mm 20 ，10m(m 2) 4，m4.当焦点在 y 轴上时，m210m 0，m2(10m )4，m8.m4 或 8.3.P80T3(1)过点 A(3，2)且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的方程为 ( )x29 y24A. 1 B. 1x215 y210 x225 y220C. 1 D. 1x210 y215 x220 y215答案 A解析 由题意知 c25，可设椭圆方程为 1(0) ，则 1，解得 10 或x2 5 y2 9 5
5、42(舍去)，所求椭圆的方程为 1.x215 y2104.P49T6已知点 P 是椭圆 1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F 2 为顶点的x25 y24三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为_.答案 或(152，1) ( 152， 1)解析 设 P(x，y)，由 题意知 c2a 2b 2541，所以 c1，则 F1(1，0)，F 2(1，0).由题意可得点 P 到 x 轴 的距离为 1，所以 y1，把 y1代入 1，得 x ，又 x0，所以 x ，x25 y24 152 152所以 P 点坐标为 或 .(152，1) ( 152， 1)题组三 易错自纠5.(2018浙江余姚
6、中学质检)已知方程 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值x2m2 y22 m范围是( )A.m2 或 m2C.12 或22m0 ，解得 m2 或2b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 lx2a2 y2b2 33交 C 于 A，B 两点，若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )3A. 1 B. y 21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24答案 A解析 AF 1B 的周长为 4 ，4a4 ，3 3a ，离心率为 ，c1， b ，333 a2 c2 2椭圆 C 的方程为 1.故选 A.x23 y22第 1 课
7、时 椭圆及其性质题型一 椭圆的定义及应用1.如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆答案 A解析 由条件知|PM | PF|，|PO |PF|PO| PM| OM|R|OF |.P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆.2.已知ABC 的顶点 B，C 在椭圆 y 21 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外x23一个焦点在 BC 边上，则ABC 的周长是( )A.2 B.6 C.4 D.123 3答案 C解析
8、 由椭圆的方程得 a .设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定义得3|BA| BF|CA| CF|2a，所以 ABC 的周长为|BA| BC|CA| |BA|BF|CF|CA|(|BA| |BF|)(|CF| |CA|)2a2a4a4 .33.椭圆 y 21 的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个x24交点为 P，则| PF2|等于( )A. B. C. D.472 32 3答案 A解析 F 1( ，0)，PF 1x 轴，3P ，|PF 1| ，|PF 2|4 .( 3，12) 12 12 724.设 F1，F 2 分别是椭圆 1 的左、右焦点，P
9、为椭圆上任意一点，点 M 的坐标为x225 y216(6，4)，则|PM| |PF 1|的最小值为_.答案 5解析 由椭圆的方程可知 F2(3，0)，由椭圆的定义可得|PF1|2 a| PF2|.|PM |PF 1| PM|(2a|PF 2|)| PM| PF2|2a|MF 2|2a，当且 仅当M，P，F2 三点共 线时取得等号，又|MF2| 5 ，2a10，| PM|PF 1|5105，即| PM|PF 1|的最小值6 32 4 02为5.思维升华 椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用
10、，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二 椭圆的标准方程命题点 1 定义法例 1 (1)(2019丽水调研)已知两圆 C1：( x4) 2y 2169，C 2：( x4) 2y 29，动圆 M 在圆C1 内部且和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ( )A. 1 B. 1x264 y248 x248 y264C. 1 D. 1x248 y264 x264 y248答案 D解析 设圆 M 的半径为 r，则|MC 1|MC 2|(13r)(3r)168 | C1C2|，所以 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的椭圆，且 2a16， 2c8，即 a8，c4，b 4 ，a
11、2 c2 3故所求的轨迹方程为 1.x264 y248(2)在ABC 中， A(4，0)，B(4 ，0)，ABC 的周长是 18，则顶点 C 的轨迹方程是( )A. 1( y0) B. 1( y0)x225 y29 y225 x29C. 1( y0) D. 1(y0)x216 y29 y216 x29答案 A解析 由|AC| |BC|188108 知，顶点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆( A，B，C 不共线).设其方程为 1(ab0)，则 a5， c4，从而 b3.由 A，B，C 不共线知 y0.故顶x2a2 y2b2点 C 的轨迹方程是 1(y0).x225 y29命题点 2 待定系
12、数法例 2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ，( ， )，则椭( 32，52) 3 5圆的标准方程为_.答案 1y210 x26解析 设椭圆的方程为 mx2ny 21(m， n0，mn).由Error! 解得 m ，n .16 110椭圆方程为 1.y210 x26(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，P(2， )是椭圆上一3点，且|PF 1|，|F 1F2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的标准方程为_.答案 1x28 y26解析 椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上， 可设椭圆 方程为 1( ab0)，x2a2
13、y2b2P(2， )是椭圆上一点，且|PF 1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，3Error! 又 a2b 2c 2，a2 ，b ，c ，2 6 2椭圆的标准方程为 1.x28 y26思维升华 (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法 .(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件 2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形 (焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为 mx2ny 21(m0 ，n0，mn) 的形式.跟踪训练 1 (1)已知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 ，且椭圆 G 上一32点到两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方程为( )A. 1 B. 1
14、x236 y29 x29 y236C. 1 D. 1x24 y29 x29 y24答案 A解析 依题意设椭圆 G 的方程 为 1( ab0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为x2a2 y2b212，2a12，a6，椭圆的离心率为 ，e ，即 ，解得32 ca 1 b2a2 32 1 b236 32b29，椭圆 G 的方程为 1，故选 A.x236 y29(2)过点( ， )，且与椭圆 1 有相同焦点的椭圆的标准方程为_.3 5y225 x29答案 1y220 x24解析 所求椭圆与椭圆 1 的焦点相同，y225 x29其焦点在 y 轴上，且 c225916.设它的标准方程为 1(a b0).y2
15、a2 x2b2c 216，且 c2a 2b 2，故 a2b 216.又点( ， )在所求椭圆上，3 5 1，即 1. 52a2 32b2 5a2 3b2由得 b24，a 220，所求椭圆的标准方程为 1.y220 x24题型三 椭圆的几何性质命题点 1 求离心率的值(或范围 )例 3 (1)设椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上的点，x2a2 y2b2PF2F 1F2，PF 1F230，则 C 的离心率为( )A. B. C. D.36 13 12 33答案 D解析 方法一 如图，在 Rt PF2F1 中，PF 1F230，| F1F2|2c，|PF 1|
16、，|PF2|2ctan 30 .2ccos 30 43c3 23c3|PF 1| |PF2| 2a，即 2a，可得 ca.43c3 23c3 3e .ca 33方法二 (特殊值法)：在 Rt PF2F1 中，令|PF 2|1，PF 1F230，|PF 1|2，| F1F2| .3e .2c2a |F1F2|PF1| |PF2| 33(2)椭圆 1(a b0)，F 1，F 2 为椭圆的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 为椭圆上一x2a2 y2b2点，|OP| a，且|PF 1|，|F 1F2|，| PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为( )24A. B. C. D.24 23 63 64答案
17、 D解析 设 P(x，y)，则|OP| 2x 2y 2 ，a28由椭圆定义得|PF 1| PF2|2a，|PF 1|22| PF1|PF2|PF 2|2 4a2，又|PF 1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF 1|PF2| |F1F2|24c 2，则|PF 1|2| PF2|28c 24a 2，(xc) 2y 2(xc) 2y 28c 24a 2，整理得 x2y 25c 22a 2，即 5c 22a 2，整理得 ，a28 c2a2 38椭圆的离心率 e .ca 64(3)(2018杭州调研)已知椭圆 1(ab c0，a 2b 2c 2)的左、右焦点分别为 F1，F 2，x2a2 y
18、2b2若以 F2 为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且|PT| 的最小值不小于 (ac )，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_.32答案 35，22)解析 因为|PT| (bc)，|PF2|2 b c2而|PF 2|的最小 值为 ac，所以|PT|的最小值为 .a c2 b c2依题意，有 (ac )，a c2 b c232所以(ac) 24(bc )2，所以 ac 2( bc)，所以 ac2b，所以( ac )24(a 2c 2)，所以 5c22ac3a 20，所以 5e22e30.又 bc，所以 b2c2，所以 a2c 2c2，所以 2e23 时，
19、焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足AMB120 ，则 tan 60 ，即 ，解得 m9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0，19， ).故选 A.思维升华 (1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为 e 的关系式，常用方法如下：直接求出 a，c，利用离心率公式 e 求解.ca由 a 与 b 的关系求离心率，利用 变形公式 e 求解.1 b2a2由椭圆的定义求离心率，e ，而 2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c 是焦ca 2c2a距，从而与焦点三角形联系起来 .构造 a，c 的 齐次式.离心率 e 的
20、求解中可以不求出 a，c 的具体值，而是得出 a 与 c 的关系，从而求得 e，一般步 骤如下：()建立方程：根据已知条件得到齐次方程 Aa2Bac Cc 20；()化简：两边同时除以 a2，化 简齐次方程，得到关于 e 的一元二次方程 ABeCe 20；()求解：解一元二次方程，得 e 的值；()验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围 e(0， 1)确定离心率 e 的值.若得到齐次不等式，可以类似求出离心率 e 的取值范围.(2)椭圆几何性质的应用技巧与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考 时也要联想到图形.椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，
21、byb ，0b0) 中，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐x2a2 y2b2标原点，直线 y x 交椭圆于第一象限内的点 C，若 SBFO S BFC ，则椭圆的离心率等于( )baA. B.22 17 22 17C. D. 122 13 2答案 A解析 联立直线 y x 与椭圆 1，得在第一象限的交点为 C ，又因为 Sba x2a2 y2b2 ( 22a，22b)BFOS BFC，所以直 线 BF 与直线 y x 的交点为线段 OC 的中点，即线段 OC 的中点ba在直线 BF： 1 上，则 1，化 简得 椭圆的离心率 e ，故(24a，24b) xc yb 24ac 24bb ca 2
22、2 17选 A.(3)(2018温州高考适应性测试) 正方形 ABCD 的四个顶点都在椭圆 1 上，若椭圆的x2a2 y2b2焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.(5 12 ，1) (0，5 12 )C. D.(3 12 ，1) (0，3 12 )答案 B解析 由椭圆的对称性可知，正方形的四个 顶点为直线 yx 与椭圆的交点，即，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以 c0，所以 e43e 210，又 03 B.a3 或 a3 或6a60，解得 a3 或62) 上的动弦 EF 过 的一个焦点(动弦x2m 6 y2m 2不在 x 轴上)，若 的另一个焦点与动弦 EF 所构成
23、的三角形的周长为 20，则椭圆 的离心率为( )A. B. C. D.15 12 25 45答案 C解析 由椭圆的定义，得 4a 20，解得 a5.又 c2a 2b 2m6(m2) 4，所以 c2，所以椭圆的离心率 e ，故选 C.ca 253.(2018浙江省高考模拟试卷) 已知椭圆的方程为 1，矩形 ABCD 的四个顶点都在椭x212 y24圆上，若椭圆的焦点在矩形的内部，则矩形的长与宽的比值的取值范围为( )A.(1，2) B.(1，3)C.( ，) D.(1， )6 6答案 C解析 根据椭圆与矩形的对称性知，矩形的相 邻两边分别 平行于 x 轴，y 轴，且 椭圆与矩形都以原点 O 为对
24、称中心，如图是矩形的边过焦点时的情形，由 椭圆方程 1，知当 x2 时，y ，故 Ax212 y24 2 233，此时，矩形的长与宽的比值为 ，由于焦点在矩形的内部，所以矩形的长与宽的(22，233) 6比值大于 ，故选 C.64.设椭圆 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，点 P 在椭圆上，且满足 9，则x216 y212 PF1 PF2 |PF1|PF2|的值为 ( )A.8 B.10 C.12 D.15答案 D解析 由 椭 圆 方 程 1，可 得 c2 4，所 以 |F1F2| 2c 4，而 ，所 以x216 y212 F1F2 PF2 PF1 | | |，两边同时平方，得 | |2|
25、 |22 | |2，所以| |2|F1F2 PF2 PF1 F1F2 PF1 PF1 PF2 PF2 PF1 |2| |22 161834，根据 椭圆定义，得PF2 F1F2 PF1 PF2 |PF1|PF 2|2 a8，(|PF 1| |PF2|)2|PF 1|2|PF 2|22|PF 1|PF2|64，所以342| PF1|PF2|64，所以|PF 1|PF2|15.故选 D.5.2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球
26、心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用 2c1 和 2c2 分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a 1c 1a 2c 2；a 1c 1 a2c 2； a1c2.c1a1c2a2其中正确式子的序号是( )A. B. C. D.答案 D解析 观察图形可知 a1c 1a2c 2，即式不正确；a 1c 1a 2c 2|PF|，即 式正确；由a1c 1a 2c 20，c1c20 知， a1c2， ，即式正确，a1 c1c1 a2 c2c2 a1c1a2c2 c1a1c2a2
27、式不正确.故选 D.6.(2018浙江省金华十校期末) 椭圆 M： 1(a b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为x2a2 y2b2椭圆 M 上任一点，且|PF 1|PF2|的最大值的取值范围是2b 2，3b 2，椭圆 M 的离心率为e，e 的最小值是( )1eA. B.22 2C. D.66 63答案 A解析 由椭圆的定义可知|PF 1|PF 2|2a，|PF 1|PF2| 2a 2，(|PF1| |PF2|2 )2b 2a 23b 2，即 2a22c 2a 23a 23c 2， ，即 e .12 c2a2 23 22 63令 f(e)e ，则 f(e)在 上是增函数，1e 22，6
28、3当 e 时，e 取得最小值 .22 1e 22 2 227.(2018浙江七彩阳光联盟联考) 已知椭圆的方程为 1，过椭圆中心的直线交椭圆于x29 y24A，B 两点，F 2 是椭圆的右焦点，则ABF 2 的周长的最小值为_，ABF 2 的面积的最大值为_.答案 10 2 5解析 设 F1 是椭圆的左焦点.如图， 连接 AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定 义知| AF2| BF2|2a6，所以要使ABF 2 的周长最小，必有|AB|2 b4，所以 ABF 2 的周长的最小值为 10. 2c|yA| |yA|2 ，2ABFS1212 5 5所以ABF 2 面积的最大值为 2 .58.设 F1
29、，F 2 为椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，经过 F1 的直线交椭圆 C 于 A，Bx2a2 y2b2两点，若F 2AB 是面积为 4 的等边三角形，则椭圆 C 的方程为_.3答案 1x29 y26解析 F 2AB 是面积为 4 的等边三角形，ABx 轴 ，A，B 两点的横坐标为c，代入3椭圆方程，可求得|F 1A| F1B| .b2a又|F 1F2|2c，F 1F2A30 ， 2c.b2a 33又 2c 4 ，2ABS12 2b2a 3a2b 2c 2，由解得 a29，b 26，c 23，椭圆 C 的方程为 1.x29 y269.已知椭圆 C1： 1(ab0)与椭圆 C2： 1(ab
30、0)相交于 A，B，C，D 四点，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2若椭圆 C1 的一个焦点为 F( ，0) ，且四边形 ABCD 的面积为 ，则椭圆 C1 的离心率 e 为2163_.答案 22解析 联立Error!两式相减得 ，又 ab，x2 y2a2 x2 y2b2所以 x2y 2 ，a2b2a2 b2故四边形 ABCD 为正方形， ，(*)4a2b2a2 b2 163又由题意知 a2b 22，将其代入 (*)式整理得 3b42b 280，所以 b22，则 a24，所以椭圆 C 的离心率 e .2210.已知 A，B ，F 分别是椭圆 x2 1(00，则椭圆的离心率的取值范围为 _.
31、答案 (0，22)解析 如图所示，线段 FA 的垂直平分线为 x ，线段 AB 的中点为 .1 1 b22 (12，b2)因为 kABb，所以线段 AB 的垂直平分线的斜率 k ，1b所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y .b2 1b(x 12)把 x p 代入上述方程可得 y q.1 1 b22 b2 1 b22b因为 pq0，所以 0，1 1 b22 b2 1 b22b化为 b .1 b2又 0| F1F2|，所以点 M 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为 4，焦距为 2，则短半轴长为 ，3所以点 M 的轨迹方程为 1.x24 y2312.已知椭圆 x2( m3)y 2m
32、(m0)的离心率 e ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、32焦点坐标、顶点坐标.解 椭圆方程可化为 1，m 0.x2m y2mm 3m 0，m ，mm 3 mm 2m 3 mm 3a 2m，b 2 ，c .mm 3 a2 b2 mm 2m 3由 e ，得 ，m1.32 m 2m 3 32椭圆的标准方程为 x2 1， a1，b ，c .y214 12 32椭圆的长轴长和短轴长分别为 2a2 和 2b1，焦点坐标为 F1 ，F2 ，四个 顶( 32，0) ( 32，0)点的坐标分别为 A1(1，0) ，A2(1，0)，B1 ，B2 .(0， 12) (0，12)13.(2018浙江省台州适应性
33、考试) 已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(5，0)为椭圆 C 的左焦点，P 为椭圆 C 上一点，且满足|OP |OF|，|PF |6，则椭圆 C 的标准方程为( )A. 1 B. 1x249 y224 x224 y249C. 1 D. 1x249 y225 x225 y249答案 A解析 如图，设椭圆 C 的标准方程为 1( ab0)，椭圆 C 的右焦点为 M，x2a2 y2b2连接 PM，则|FM |2|OF|10，由 |OP|OF|OM|知， FPPM ，又 |PF|6，所以 |PM|8，所以 2a| PF|PM| 14，所以 a7，又 c5，所以 b2a 2c 2492524，102
34、62所以椭圆 C 的标准方程为 1.x249 y22414.(2018浙江省镇海中学模拟) 设椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点x2a2 y2b2A，B 关于原点对称，且满足 0，| FB|FA |2|FB|，则椭圆 C 的离心率的取值范围FA FB 是( )A. B.22，53 53，1)C. D. 1，1)22，3 1 3答案 A解析 如图，作出椭圆的左焦点 F，分 别连接 AB，AF，BF，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF为平行四边形.由 0，知 FAFB，所以四边形FA FB AFBF为矩形，所以| AB|FF|2c.设| AF|m ，|AF|n，则由椭圆
35、的定义知 mn2a ，在 Rt AFF 中，m 2n 24c 2.由，得 mn2(a 2c 2)，则 .mn nm 2c2a2 c2令 t，得 t .nm 1t 2c2a2 c2由|FB| |FA| 2|FB|，得 t1，2，nm所以 t ，即 2 ，1t 2c2a2 c2 2，52 2e21 e2 52解得 e ，故选 A.22 5315.(2018嘉兴测试)椭圆 1(ab0)，直线 l1：y x，直线 l2：y x，P 为椭圆上x2a2 y2b2 12 12任意一点，过 P 作 PMl 1 且与 l2 交于点 M，作 PNl 2 且与 l1 交于点 N，若|PM| 2|PN| 2 为定值，
36、则椭圆的离心率为_.答案 32解析 设 P(x0，y0)，则直线 PM 的方程为 y x y 0，直线 PN 的方程为12 x02y x y 0，分别与直12 x02线 l2，l1 的方程联立可得 M ，N ，从而(x02 y0，x04 y02) (x02 y0， x04 y02)|PM|2|PN| 2 x y .又点 P(x0，y0)在椭圆上，所以 b2x a 2y a 2b2.又|PM| 2| PN|2为定值，5820 5220 20 20所以 ，从而 e2 ，从而 e .b2a25852 14 a2 b2a2 34 3216.已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c ， 0)，
37、F 2(c， 0)，若椭圆上存在点x2a2 y2b2P 使 ，求该椭圆的离心率的取值范围.1 cos 2 PF1F21 cos 2 PF2F1 a2c2解 由 ，得 .1 cos 2 PF1F21 cos 2 PF2F1 a2c2 ca sin PF2F1sin PF1F2又由正弦定理得 ，sin PF2F1sin PF1F2 |PF1|PF2|所以 ，即 |PF1| |PF2|.|PF1|PF2| ca ca又由椭圆定义得|PF 1| PF2|2a，所以|PF 2| ，|PF1| ，2a2a c 2aca c因为 PF2 是PF 1F2 的一边，所以有 2c 0，所以 e22e10(0e1)，解得椭圆离心率的取值范围为( 1， 1).2
