1、专题 06 三角函数的恒等变形一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三 【
2、题型方法】（一）三角公式的变形例 1. _【答案】2【解析】因为 ，又 ，所以 ，所以 .故答案为 2练习 1 _.【答案】【解析】由题 = =故答案为练习 2.计算： 000tan1t5tan12_【答案】 3【解析】由 0000tan1t5tan6t153，可得000t1t53ta，所以00ttan315，填 。练习 3.0000tan21ttn2t3t241tan5_【答案】8【解析】注意到 tata1nt可化为 tantatan.项证明一般结论如下： 1tant45ta45ta451ta45ta45tan4512 ，由于 20123，故原式 28.练习 4.已知 为 的最小正周期， ，
3、 且，求 的值【答案】【解析】因为 为 的最小正周期，故 因 ，又 故 由于 ，所以（二）正切两弦的互化例 2. 若钝角 满足 ，则 （ ）A B C D【答案】D【解析】因为 ，所以 ，又 为钝角，所以 ，则 ，解得 （正根舍去）.故选：D练习 1. 化简0001cos21intan5it的值为_【答案】 32【解析】原式2cos10cos5incos102cos10inin4ini2ii 13s2s0icos102i3 3si10nin2n ，故答案为 32.练习 2在下列五个命题中：已知大小分别为 1N与 2的两个力，要使合力大小恰为 6N，则它们的夹角为 3;已知 5， 7，则 sin
4、co；若 A,B,C 是斜 ABC的三个内角，则恒有 tantatnatABCAB成立； 001sin13ta2计 算 式 子 的 结 果 是 ；已知 3coix（ ） x且 （ ， ） ，则 x的大小为 3;其中错误的命题有_.（写出所有错误命题的序号）【答案】【解析】由三角形法则 11422F，不符。52coscsinsi714不符。 tantan1BCA，所以tanABtaCAtaB成立，对。 00si53t 0 00 00si6nco61n6isi51si5co1co= 0 00 0 0i ssiini 1sc，错。23coincos,3tan2xxx或 os2，所以 23x或 ，错。
5、填。练习 3.已知 .（1）求 的值；（2）求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）由题已知：，所以 .（2）由（1）知 ，所以 .（三）角的一致性原则例 3. 已知 0 ， cos（ +）=- ，sin（ +）= ，则 cos（+）=（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意知， ， ，所以 为第二象限角，所以 ，因为 ，所以 为第二象限角，所以 ，则，故选：D练习 1. ( )A B C D【答案】A【解析】，故选 A.练习 2. （ ）A B C D【答案】C【解析】 ，故选 C.（四）角的相对性关系设 ，且 ，则 _【答案】【解析】故 tan又 = 故 ，则练习 1. 已知
6、角 ,满足 tan2，若 1sin3，则 sin的值为_.【答案】 19【解析】设 sinx，即 cosininx ，则由 13sin ，可得1co3sii ，由 求得 1cos,co2662xi i ，再由 tan2 261cosxin，求得 9x ，故答案为 9 .（五）和差倍半的灵活运用例 5等差数列 满足： ， ,且公差，若当且仅当 时，数列 前 项和取得最大值，则 的取值范围是_【答案】【解析】分析：先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式化简等式的左边，再利用等差中项进行化简，再利用数列通项的符号变化确定答案.详解：由 ，得 ，即 ，即 ，即 ，即 ，因为 ，所以 ，则 ，即 ，又
7、 ，得 ；若当且仅当 时，数列 前 项和取得最大值，则 ，解得 .点睛：在处理等差数列 的前 项和 的最值时，往往转化为判定 的符号变化：若 ，当 时，则当且仅当 最大；若 ，当 时，则当且仅当 最小；若 最大，则 .练习 1.已知 02， sinsin0， coscos0，则_【答案】 23【解析】cos+cos+cos=sin+sin+sin=0，cos =coscos，sin=sinsin ， 2sinco=1， 22cossin=1，整理得：2+2(coscos +sinsin)=1,即 coscos+sinsin= 12，cos( )= 12，02 ，0 2 = 3或 4.同理可得：
8、cos( )= 12,解得： = 23或 4。cos()= 12;解得：= 3或 4。0 2， = ,= ,= . 故 的值为 23.练习 2.已知 且 的值.【答案】【解析】由练习 3.（1）证明： 3sin3i4sinxx；（2）试结合（1）的结论，求 018的值.（可能用到的公式： 32241ttt）【答案】 （1） 3sin4ix；（2） 51sin84.【解析】试题分析：（1）将 拆成 x，再用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式，同角的平方关系等，得出结论；（2）用（1）中的公式，再分解因式，求出 sin18的值。试题解析：（1） sin3i2sinco2xxxx 3sico1sii
9、x= 23siix3si4ix. （2）由（1）得， 2n84n18sin54cos361sin8即 324sin8si13si10，所以 280，解得 5i或 5in84（舍去）或 sin1（舍去） ，所以 51sin84. （六）三角函数与方程例 6. 方程 的两根为 ， ，且 ，则 （ ）A B C D 或【答案】B【解析】方程 的两根为 ， ，且 ， ， ，再结合 ，故 ， ，故 又 ， ，故选 B练习 1.函数 y= sinx+cosx+2sinxcosx 的最大值为_。【答案】【解析】令 且 ，所以 则 ，所以所以对称轴为 ，因为所以当 时取得最大值为练习 2.已知圆 与函数 的图
10、象有唯一交点，且交点的横坐标为 ，则( )A B2 C D3【答案】B【解析】根据题意，圆 ： 与函数 的图象有唯一交点，则圆 在交点的切线与函数 在交点处的切线重合；又由交点的横坐标为 ，则交点的坐标为 ，对于 ，其导数 ，则有 ，则有 ，变形可得 ，则 ；故选 B（七）三角函数综合例 7. 已知 ， 求当 时， 的值域；若函数 在 内有且只有一个零点，求 a 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】 由题意：设 ， ，则 ，那么 ， ，当 时， 转化为，当 时， 取得最大值为 0；当 时， 取得最小值为故得 的值域为 ；由题意：设 ，在 内，则则 ，那么 转化为 ， ，函数 在 内
11、有且只有一个零点，即 在 上只有一个零点令 ，即当 时，可得 ，显然 a 无解；当 时， ，可得 验证： ，可得 ， ，即在 上有两个零点当 时，要使在 上只有一个零点则即 ，可得： ，故得 a 的取值范围是练习 1. 已知向量 ， ，函数 （1）当 时，求 的值域；（2）若对任意 ， ，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】 （1） 当 时， ， ，所以 的值域为 （2）令 ， ，由（1）得 ，问题等价于 ， 恒成立，当时， ； 当 时， ， 恒成立，因为 ， ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 2，故 ，综上，实数 的取值范围为 练习 2.已知函数 .（1）求函数 图象的对称轴方程；（2）求函数 的在区间 上的最值.【答案】 （1） ；（2）最大值为 ，最小值为 .【解析】 （1）.令 ，得 .所以函数 图象的对称中心为 .（2）由（1）求解，得 .因为 ，所以 .故 .所以 ，所以函数 的单调递减区间是 上的最大值为 ，最小值为 .
