1、2019 年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 Ax|x|1，B x|0x2，则 AB（ ）A （0，1） B （0，1 C （1，2 D （1，2）2 （5 分）已知 i 为虚数单位，则复数 （ ）A2+ i B12i C12i D2i3 （5 分）下列命题中的真命题是（ ）A若 0，则向量 与 的夹角为钝角B若 am2bm 2，则 abC若命题“pq 是真命题” ，则命题“pq 是真命题”D命题“ x0R，2 ”的否定是“ xR，2 xx 2”4 （5 分）已知
2、tan2， （0，） ，则 （ ）A B C D5 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx+a 在点（1，f（1） ）处的切线经过原点，则实数 a（ ）A1 B0 C D16 （5 分）已知等比数列a n满足 a5+a82，a 5a88，则 a2+a11（ ）A7 B5 C5 D77 （5 分）如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）A12 B15 C D第 2 页（共 24 页）8 （5 分）在平面区域 ，内任取一点 P（x，y ） ，则点 P 的坐标（x，y ）满足不等式（x 2） 2+y22 的概率
3、为（ ）A1 B C D19 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn+an2n（nN*） ，则 a7（ ）A B C D10 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，直线y2x +10 过点 F1 与双曲线 C 在第二象限相交于点 P，若 ，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D11 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足 xf（x）10，且 f（2）ln2，则 f（e x）x 0 的解集是（ ）A （，ln2） B （ln 2，+） C （0，e 2） D （e 2
4、，+ ）12 （5 分）若函数 f（x ）2sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f （x 1）g（x 2）|4 的 x1、x 2，有| x1x 2|的最小值为 ，则（ ）A B C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）抛物线 yx 2 的准线方程是 14 （5 分）已知单位向量 ， 的夹角为 ，那么| | 15 （5 分）已知函数 f（x ） 若方程 f（x）m 有两个不相等的实根x1，x 2，则 x1+x2 的最大值为 &n
5、bsp; 16 （5 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 4，点 Q 在棱 AA1 上，且AQ3A 1Q，EFGC 1 是面 BCC1B1 内的正方形，且 C1E1，P 是面 BCC1B1 内的动点，第 3 页（共 24 页）且 P 到平面 CDD1C1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 三、解答题：（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA+（ca）sinCbsinB，点 D 是 AC 的中点，DEAC，交
6、AB 于点 E，且 BC2，DE （1）求 B；（2）求ABC 的面积18如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 BC，DE 的中点，ABE 是等边三角形，面 ABE面 BCE，BECE，BE CE 2（1）证明：CN面 AEM；（2）求三棱锥 NAEM 的体积19近年来随着互联网的高速发展，旧货交易市场也得以快速发展某网络旧货交易平台对 2018 年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图现把直方图中各组的频率视为概率，用 x（单位：年）表示该设备第 4 页（共 24 页）的使用时间，y（单位：万元）表示其相应的
7、平均交易价格（1）已知 2018 年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为 100 台，现从这 100 台设备中，按分层抽样抽取使用时间 x（12，20 的 4 台设备，再从这 4 台设备中随机抽取 2 台，求这 2 台设备的使用时间都在（12，16的概率（2）由散点图分析后，可用 ye bx+a 作为此网络旧货交易平台上该种机械设备的平均交易价格 y 关于其使用时间 x 的回归方程 xiyi xizi x5.5 8.7 1.9 301.4 79.75 385表中 zlny ， zi（i）根据上述相关数据，求 y 关于 x 的回归方程；（ii）根据上述回归方程，求当使用时间 x15 时，该种
8、机械设备的平均交易价格的预报值（精确到 0.01） 附：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ，（u n，v n） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， u参考数据：e 0.551.733，e 0.95 0.3867，e 1.85 0.1572 20已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别是 F1，F，其离心率为 ，点 P 是椭圆 C 上任一点，且PF 1F2 面积的最大值为 第 5 页（共 24 页）（1）求椭圆 C 的方程；（2）若斜率不为 0 的直线与椭圆 C 相交于 M，N 两个不同点，且 OMPN 是平行四边形，证明：四边形 OMPN 的面
9、积为定值21已知函数 f（x ）2lnx +（2a）x，a R（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）当 a0，时，若对于任意 x1，x 2（1，+） （x 1x 2） ，都存在 x0（x 1，x 2） ，使得 f（x 0） ，证明： 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以原点 0 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C1 方程中的参数是 ，且 C1 与 C2 有且只有一个公共点，求 C1 的普通方程；（2）已知点 A（0，1） ，若曲线 C1 方程中的参数是 t，0 ，且 C1 与 C2 相交于P，Q 两个
10、不同点，求 的最大值23已知函数 f（x ）|2x 1|+2|x+1|（1）求不等式 f（x ）5 的解集；（2）若存在实数 x0，使得 f（x 0）5+mm 2 成立的 m 的最大值为 M，且实数 a，b 满足 a3+b3M，证明：0a+ b2第 6 页（共 24 页）2019 年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 Ax|x|1，B x|0x2，则 AB（ ）A （0，1） B （0，1 C （1，2 D （1，2）【分析】先求集合 A，再求交集即可【解答】解：Ax| 1
11、x 1；AB（0，1） 故选：A【点评】本题考查集合的运算，绝对值不等式的解法，考查计算能力2 （5 分）已知 i 为虚数单位，则复数 （ ）A2+ i B12i C12i D2i【分析】由复数的除法运算化简求解即可【解答】解： 故选：C【点评】本题考查复数的运算，考查计算能力，是基础题3 （5 分）下列命题中的真命题是（ ）A若 0，则向量 与 的夹角为钝角B若 am2bm 2，则 abC若命题“pq 是真命题” ，则命题“pq 是真命题”D命题“ x0R，2 ”的否定是“ xR，2 xx 2”【分析】对于选项 A：当 0，则向量 与 的夹角为钝角或夹角，可以判断是否
12、为真命题；对于选项 B：要注意 am2bm 2 成立时，m0 这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项 C：命题 “pq 是真命题”p，q 中至少有一个为真命题，不能确定 pq 是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题【解答】解：选项 A：若 0，则向量 与 的夹角为钝角或平角，所以选项 A 是假命题；第 7 页（共 24 页）选项 B：am 2bm 2，则 ab 并且 m0 或 m0，a，bR，所以选项 B 是假命题；选项 C：命题“pq 是真命题 ”p，q 中至少有一个为真命题，只有当 p，q 都是真命题时，pq 才是真
13、命题，所以选项 C 是假命题；选项 D；根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则；“x0R，2 ”的否定是“x R，2 xx 2”是真命题；故选：D【点评】本题考查了命题真假的判断，涉及向量的数量积，不等式的基本性质，复合命题的真假，命题的否定，属于基础题4 （5 分）已知 tan2， （0，） ，则 （ ）A B C D【分析】由诱导公式及二倍角公式化简可得 2cos，由 2，结合同角三角函数基本关系式得 cos，即可求解【解答】解： 2cos，又 tan ，sin 2+cos21，解得：cos ，又 （0， ） ， tan0，故 （0， ） ，故 co
14、s ，所以： 故选：A【点评】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题5 （5 分）已知函数 f（x ）xlnx+a 在点（1，f（1） ）处的切线经过原点，则实数 a（ ）第 8 页（共 24 页）A1 B0 C D1【分析】先求导，再求切线斜率，利用点斜式写出方程，即可求解【解答】解：函数 f（x ）xlnx+a，f（x）lnx+1 ，f（1）1，切线方程为 yx 1+a，故 001+a，解 a1故选：A【点评】本题考查切线方程，导数的几何意义，考查计算能力，是基础题6 （5 分）已知等比数列a n满足 a5+a82，a 5a88，则 a2+a1
15、1（ ）A7 B5 C5 D7【分析】根据题意，由等比数列的性质可得 或 ，分情况求出 q3 的值，结合等比数列的性质计算可得答案【解答】解：根据题意，等比数列a n满足 a5+a82，a 5a88，解可得： 或 ，当 时，q 3 2，此时 a2+a11 +a8q37，当 时，q 3 ，此时 a2+a11 +a8q37；故 a2+a117；故选：D【点评】本题考查等比数列的基本运算及性质，考查计算能力，是基础题7 （5 分）如图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（ ）第 9 页（共 24 页）A12 B15 C D【分析】由三视图可
16、以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高为 5，求出底面积，用棱锥的体积公式求出体积【解答】解：由三视图可以判定出这是一个底面为四边形的四棱锥，其高 h 为 5底面四边形可以分割成二个三角形，面积 S 44+ 10，体积 V ，故选：D【点评】本题考查了通过三视图识别几何体的形状求其体积8 （5 分）在平面区域 ，内任取一点 P（x，y ） ，则点 P 的坐标（x，y ）满足不等式（x 2） 2+y22 的概率为（ ）A1 B C D1【分析】画出可行域，由（x，y）满足不等式（x 2） 2+y22 得到点 P 满足的区域，再求面积求概率即可【解答】解：由题不等式组表示的区域如图
17、阴影所示：则满足不等式（x2） 2+y22 的 P 的轨迹为阴影部分除去扇形 CAB 的部分，故扇形面积为 ，联立 得 D（ ） ，故三角形 OCD 面积为 ，第 10 页（共 24 页）则点 P 的坐标（x ，y ）满足不等式（ x2） 2+y22 的概率为 故选：A【点评】本题考查几何概型及线性规划，扇形的面积，准确计算是关键，是基础题9 （5 分）已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足 Sn+an2n（nN*） ，则 a7（ ）A B C D【分析】由已知数列递推式求得首项，且得到 2ana n1 2（n2） ，构造等比数列得2（a n2）a n1 2，进而求得a n通项，
18、即可求解【解答】解：由 Sn+an2n，得 a11，当 n2 时，S n1 +an1 2（n1） ，得 2ana n1 2，2（a n2）a n1 2，故a n2是首项为 a121，公比为 的等比数列， ，故 故选：B【点评】本题考查递推关系求数列通项公式，等比数列通项公式，考查计算推理能力，是基础题10 （5 分）已知双曲线 C： 1（a0，b0）的左右焦点分别为 F1，F 2，直线第 11 页（共 24 页）y2x+10 过点 F1 与双曲线 C 在第二象限相交于点 P，若 ，则双曲线 C 的离心率是（ ）A B C2 D【分析】由 ，求 PF1，PF 2 的值，结合定义求得
19、a 则离心率可求【解答】解：因为直线 y2x+10 过点 F1（5，0）与双曲线 C 在第二象限相交于点P，则 c5，若 ，故 PF1 2 ，PF 210 4 ，又 PF2PF 12a，故 a ， 故选：B【点评】本题考查双曲线的几何性质，离心率的计算，定义的运用，考查计算能力，是基础题11 （5 分）已知定义在（0，+）上的函数 f（x ）满足 xf（x）10，且 f（2）ln2，则 f（e x）x 0 的解集是（ ）A （，ln2） B （ln 2，+） C （0，e 2） D （e 2，+ ）【分析】构造函数 g（x）f （x）lnx，f （e x）x0g（e x）g（2）
20、 ，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：构造函数 g（x）f （x）lnx，f （e x）x0g（e x）g（2） ，g（x） 0，g（x） 在（0，+）上单调递减，且 g（2）f（2）ln20ex2，解得 xln2故解集为：（，ln2） 故选：A【点评】本题考查导数与单调性的应用、构造函数的思想、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）若函数 f（x ）2sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数第 12 页（共 24 页）g（x）的图象，若对满足|f（x 1）g（x 2）|4 的 x1、x 2，有| x1x 2|的最小值为 ，则（ &nbs
21、p;）A B C D【分析】由题意可得|x 1x 2|的最小值为 ，由此求得 的值【解答】解：函数 f（x ）2sin2x 的图象向右平移 （0 ）个单位后得到函数g（x）2sin2（x）的图象，若对满足|f（x 1）g（x 2）| 4 的 x1、x 2，有|x 1x 2|的最小值为 ， ，故选：C【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象变换规律，判断 |x1x 2|的最小值为，是解题的关键，属于中档题二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）抛物线 yx 2 的准线方程是 4y +10 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在 y 轴上以及
22、 2p1，再直接代入即可求出其准线方程【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x 2y，焦点在 y 轴上；所以：2p1，即 p ，所以： ，准线方程 y ，即 4y+10故答案为：4y+10【点评】本题主要考查抛物线的基本性质解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置14 （5 分）已知单位向量 ， 的夹角为 ，那么| | 【分析】先将所求向量的模平方，转化为向量数量积运算，再利用已知两向量的模和夹角，利用数量积运算性质计算即可，最后别忘了开平方【解答】解：单位向量 ， 的夹角为 ，第 13 页（共 24 页）| |2 4 +41411cos +412+43| |故答案
23、为【点评】本题主要考查了单位向量、向量夹角的概念，向量数量积运算及其性质的应用，求向量的模的一般方法15 （5 分）已知函数 f（x ） 若方程 f（x）m 有两个不相等的实根x1，x 2，则 x1+x2 的最大值为 3ln22 【分析】画出 f（x ）的图象，求出 x1，x 2，表示为 m 的函数即可求解【解答】解：f（x ）的图象如图所示：设 x1x 2，则 x1 ，x 2lnm 方程 f（x）m 有两个不相等的实根，故 m1，则 x1+x2lnm g（m） （m 1） ，g（m） ，当 1m8 时，g（m）0，g（m）单增，当 m8 时，g（m）0，g（m）单减，故 g（m）
24、g（8）3ln22，即 x1+x2 的最大值为 3ln22，故答案为 3ln22【点评】本题考查函数与方程的零点，导数与函数的最值，考查分析转化能力，考查运第 14 页（共 24 页）算能力，是中档题16 （5 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 4，点 Q 在棱 AA1 上，且AQ3A 1Q，EFGC 1 是面 BCC1B1 内的正方形，且 C1E1，P 是面 BCC1B1 内的动点，且 P 到平面 CDD1C1 的距离等于线段 PF 的长，则线段 PQ 长度的最小值为 【分析】过 Q 作 QMBB 1，连接 MP，则 QMMP，从而 PQ2QM
25、 2+MP216+MP 2，当 MP 最小时，PQ 最小，利用空间直角坐标系，求出 MP2 的表达式，求出最小值，最后求出 PQ 长度的最小值【解答】解：以 D 为原点， DA，DC，DD所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系：过 Q 作 QMBB，连接 MP，则 QMMP，PQ 2QM 2+MP216+MP 2，当 MP 最小时，PQ 最小设 P（x ，4，z） ，F （1，4，3） ，M（4，4，3） ，N（0，4，z） ，0x4，0z4，P 到平面 CDD1C1 的距离等于线段 PF 的长，PNPF，x 2x1（z3） 2，MP2（x4）+（z 3） 2x 26x
26、 +15（x 3） 2+66 ，x3 时，MP 2 有最小值 6，PQ 2 的最小值为 22，线段 PQ 长度的最小值为 故答案为： 第 15 页（共 24 页）【点评】本题考查线段的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题三、解答题：（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17如图，已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 asinA+（ca）sinCbsinB，点 D 是 AC 的中点，DEAC，交 AB 于点 E，且 BC2，DE （1）求 B；（2）求ABC 的面积【分析】 （
27、1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出 B（2）根据已知条件可以确定 AECE，并求出它们的表达式，在BCE 中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出 A，BE 的大小，最后求出面积【解答】解：（1）asinA+（c a）sinCbsin B，由 ，得：a 2+c2abb 2，由余弦定理得：cosB ，0B，B60：第 16 页（共 24 页）（2）连接 CE，如下图：D 是 AC 的中点，DEAC，AECE，CEAE ，在BCE 中，由正弦定理得 ， ，cosA ，0A180，A45，ACB75，BCEACBACE 30，BEC 90，CEAE ，AB AE+BE ，S AB
28、C ，【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，M，N 分别是 BC，DE 的中点，ABE 是等边三角形，面 ABE面 BCE，BECE，BE CE 2（1）证明：CN面 AEM；（2）求三棱锥 NAEM 的体积【分析】 （1）设 AE 的中点为 F，连接 MF，NF，证明 MCNF 是平行四边形即可证明；第 17 页（共 24 页）（2）利用（1）CN平面 AEM，转化 VNAEM V CAEM V ACEM 求解即可【解答】 （1）证明：设 AE 的中点为
29、 F，连接 MF，NF，N 是 DE 的中点，FNAD，FN ，ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，M 是 BC 的中点，FNMC，FNMC ，则 MCNF 是平行四边形，CNMF，又 CN平面 AEM，MF平面 AEM，CN平面 AEM；（2）解：过点 A 作 AOBE，O 为垂足，连接 AC，平面 ABE平面 BCE， AO平面 BCE，ABE 是等边三角形，BE2，AO ，由（1）得 CN平面 AEM，V NAEM V CAEM V ACEM 【点评】本题考查线面平行的判定及棱锥体积，熟记判定定理，准确计算是关键，注意等体积的转化，是中档题19近年来随着互联网的高速发展，旧货交易
30、市场也得以快速发展某网络旧货交易平台对 2018 年某种机械设备的线上交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，和如图所示的散点图现把直方图中各组的频率视为概率，用 x（单位：年）表示该设备的使用时间，y （单位：万元）表示其相应的平均交易价格第 18 页（共 24 页）（1）已知 2018 年在此网络旧货交易平台成交的该种机械设备为 100 台，现从这 100 台设备中，按分层抽样抽取使用时间 x（12，20 的 4 台设备，再从这 4 台设备中随机抽取 2 台，求这 2 台设备的使用时间都在（12，16的概率（2）由散点图分析后，可用 ye bx+a 作为此网络旧货交易平台上该种机械设
31、备的平均交易价格 y 关于其使用时间 x 的回归方程 xiyi xizi x5.5 8.7 1.9 301.4 79.75 385表中 zlny ， zi（i）根据上述相关数据，求 y 关于 x 的回归方程；（ii）根据上述回归方程，求当使用时间 x15 时，该种机械设备的平均交易价格的预报值（精确到 0.01） 附：对于一组数据（u 1，v 1） ， （u 2，v 2） ，（u n，v n） ，其回归直线 v+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， u参考数据：e 0.551.733，e 0.95 0.3867，e 1.85 0.1572 【分析】 （1）由分层抽样确定 x（12，16 的
32、设备有 3 台，使用时 x（16，20的设备有 1 台，由古典概型列举求解即可；（2） （i）由题意得 zlnylne bx+abx+a，由公式求解回归系数，即可求解；（ii）将 x15 代入回归方程求解即可第 19 页（共 24 页）【解答】解：（1）由图 1 中频率分布直方图可知，从 2018 年成交的该种机械设备中使用时间 x（12 ，16 的台数为 10040.0312，使用时间 x（ 16，20 的台数为 10040.014，按分层抽样所抽取 4 台中，使用时间 x（12，16 的设备有 3 台，分别记为a，b，c；使用时 x（16 ，20 的设备有 1 台，记为 D，从这 4 台设
33、备中随机抽取 2 台的结果为 ab，ac，aD ， bc，bD ，cD，共有 6 种等可能出现的结果，其中这 2 台设备的使用时间 x 都在（12，16结果为 ab， ac，bc，共有 3 种，故所求事件的概率为 P ；（2） （i）由题意得 zlnylne bx+abx+a， 0.3， 1.9+0.35.53.55，z 关于 x 的线性回归方程为 z0.3x+3.55，y 关于 x 的回归方程为 y e0.3x+3.55 ，（ii）由（i）当使用时间 x 15 时，该种机械设备的平均交易价格的预报值为ye 0.315+3.55 e 0.95 0.39（万元） 【点评】本题考查了回归直线方程及
34、应用问题，也考查了古典概型的概率与分层抽样应用问题，准确计算是关键，是中档题20已知椭圆 C： 1（ab0）的左、右焦点分别是 F1，F，其离心率为 ，点 P 是椭圆 C 上任一点，且PF 1F2 面积的最大值为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）若斜率不为 0 的直线与椭圆 C 相交于 M，N 两个不同点，且 OMPN 是平行四边形，证明：四边形 OMPN 的面积为定值第 20 页（共 24 页）【分析】 （1）由题列 a，b，c 的方程组求解即可；（2）设直线 MN 的方程为 ykx+m（k0） ，设 M（x 1， y1） ，N（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，与椭圆联立，由 O
35、MPN 是平行四边形得 ，向量坐标化得 P 的坐标，代入椭圆化简整理得 4m23+4 k2，再利用弦长公式及点到线距离代入 SOMPNd| MN|3求解即可【解答】解：（1）由题意得 椭圆 C 的方程为 ；（2）设直线 MN 的方程为 ykx+m（k0） ，设 M（x 1， y1） ，N（x 2，y 2） ，P（x 0，y 0） ，把 ykx+m（k 0） ，代入椭圆方程，化为（3+4k 2）x 2+8kmx+4m2120，64k 2m24（3+4 k2） （4m 212）0，x 0x 1+x2 ，y 0y 1+y2k（x 1+x2）+2 m OMPN 是平行四边形，得 ，点 P 在椭圆 M
36、上 ，4m 23+4k 2，满足0x 1+x2 ，x 1x21|MN | |x1x 2| ，点 O 到直线 MN 的距离为 d ，S OMPN d|MN|3【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，点在曲线上应用，突破点在于求出 P 坐标，考查计算能力，是中档题第 21 页（共 24 页）21已知函数 f（x ）2lnx +（2a）x，a R（1）讨论函数 f（x ）的单调性；（2）当 a0，时，若对于任意 x1，x 2（1，+） （x 1x 2） ，都存在 x0（x 1，x 2） ，使得 f（x 0） ，证明： 【分析】 （1）由题意得：f （x ） ax+（2a） （x0） ，
37、对 a分类讨论，即可得出单调性（2）当 a0 时，由 ln a（x 1+x2）+（2a） ，f（x 0） ax 0+（2a） ，可得： ln a（x 1+x2） ax 0，由f（x 0） a（x 1+x2） ax 0，代入化简，换元，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出【解答】解：（1）由题意得：f（x ） ax+（2a） （x0） ，当 a 0 时， f（x ）0 在（ 0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上单调递增；当 a 0 时，令 f（x ） 0，解得 ；令 f（x ）0，则 x ，f（x）在（0 ， ）上单调递增，在（ ，+）单调递减（2）证明：当 a0 时， ln a（x
38、 1+x2）+（2a） ，f（x 0） ax 0+（2a） ， ln a（x 1+x2） ax 0， f（x 0） a（x 1+x2） ax 0，第 22 页（共 24 页） ln ln ln 令 t ，g（t） lnt，t1则 g（t） 0，g（t）g（1）0， f（x 0）0， f（x 0） ，设 h（x） ax +（2a） ，x 0，则 h（x） a0，h（x）f （x）在（1，+）上单调递增， 【点评】本题考查函数与导数的综合应用、函数单调性、分类讨论思想、整体代入及换元的方法，考查推理计算能力，属于难题22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以原点 0 为极点，
39、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 2cos （1）若曲线 C1 方程中的参数是 ，且 C1 与 C2 有且只有一个公共点，求 C1 的普通方程；（2）已知点 A（0，1） ，若曲线 C1 方程中的参数是 t，0 ，且 C1 与 C2 相交于P，Q 两个不同点，求 的最大值【分析】 （1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切，可以得到等式，求出|t|（2）把曲线 C1 参数方程代入曲线 C2 直角坐标方程，得到一个一元二次方程，设与点第 23 页（共 24 页）P，Q，的参数分别是 t1，t 2 一元二次方程根与系数关系，求出 + 的表达式，求出最
40、大值【解答】解：（1）2cos ，曲线 C2 的直角坐标方程为 （x1） 2+y21， 是曲线 C1： 的参数，C 1 的普通方程为 x2+（y1） 2t 2，C 1 与 C2 有且只有一个公共点，|t | 1 或|t | +1，C 1 的普通方程为 x2+（y 1） 2（ ） 2 或 x2+（y1） 2（ ） 2（2）t 是曲线 C1： 的参数，C 1 是过点 A（0，1）的一条直线，设与点 P，Q 相对应的参数分别是 t1，t 2，把 ，代入（x1） 2+y21 得t2+2（sin cos ）t+10， + + |t 1|+|t2|t 1+t2|2 |sin（ ）| 2 ，当 时，4（si
41、ncos） 2440，+ 取最大值 2 【点评】本题考查了参数方程化为变通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，利用参数的意义求最值问题，属中档题23已知函数 f（x ）|2x 1|+2|x+1|（1）求不等式 f（x ）5 的解集；（2）若存在实数 x0，使得 f（x 0）5+mm 2 成立的 m 的最大值为 M，且实数 a，b 满足 a3+b3M，证明：0a+ b2【分析】 （1）根据绝对值的几何意义，求出解集；（2）求出函数 f（x ）的最小值，求出 M，利用立方差公式，结合重要不等式2aba 2+b2，最后证出【解答】解（1）f（x ）|2x1|+2|x+1|5，|x |+|x+1| ，由
42、绝对值得几何意义可得 x 和 x1 上述不等式中的等号成立，不等式 f（x） 5 的解集为 ，1；第 24 页（共 24 页）（2）由绝对值得几何意义易得 f（x ）2（|x |+|x+1|）的最小值为 3，35+mm 2，1m 2，M2，a 3+b32，2a 3+b3（a+ b） （a 2ab+ b2） ，a 2ab+b 20，a+ b0，2aba 2+b2，4ab（a+b） 2，ab ，2a 3+b3（a+ b） （a 2ab+ b2）（a+b）（a+b） 23ab （a+b） 3，a+b20a+b2【点评】本题考查了绝对值的几何意义、利用立方差公式，结合重要不等式证明不等式问题，属中档题
