1、2019 年山西省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，Bx|x 2+x20，则 AB（ ）A x|1x2 Bx|2x1 C x|0x1 D x|2x22 （5 分）设命题 p：x 00， ，则p 为（ ）Ax0，e xx 1 Bx 0，e xx1C D3 （5 分）若向量 ， 满足| |1，| |2，且| | ，则 ， 的夹角为（ ）A B C D4 （5 分）椭圆 C： 的右焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C
2、于A，B 两点，若 OAB 是直角三角形（O 为坐标原点） ，则 C 的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）内是增函数的是（ ）Ayxlnx Byx 2+x Cysin2x Dy e xe x6 （5 分）如图 1，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2，M，N，Q 分别是线段AD1，B 1C，C 1D1 上的动点，当三棱锥 QBMN 的正视图如图 2 所示时，此三棱锥俯视图的面积为（ ）A1 B2 C D7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为（ ）第 2 页（共 2
3、2 页）A2 B C D38 （5 分）以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点 P，则 P 落在该几何体内的概率为（ ）A B C D9 （5 分）函数 在0，上的值域为（ ）A B CD10 （5 分）双曲线 左、右焦点为 F1，F 2，直线 与 C 的右支相交于 P，若|PF 1|2|PF 2|，则双曲线 C 渐近线方程为（ ）A B C D11 （5 分）电子计算机诞生于 20 世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit） ”，1 位只能存放 2 种不同的信息：0 或l，分别通过电路的
4、断或通实现 “字节（Byte） ”是更大的存储单位，1Byte8bit ，因此1 字节可存放从 00000000（2） 至 11111111（2） 共 256 种不同的信息将这 256 个二进制数中，所有恰有相邻两位数是 1 其余各位数均是 0 的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ）A254 B381 C510 D765第 3 页（共 22 页）12 （5 分）函数 的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D与 a 有关二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，点 A，B 对应的
5、复数分别是 z1，z 2，则|z 1z 2| 14 （5 分）某校高三（1）班，高三（2）班，高三（3）班分别有 3 人，2 人，1 人被评为该校“三好学生” 现需从中选出 4 人入选市级“三好学生” ，并要求每班至少有 1 人入选，则不同的人选方案共有 种（用数字作答） 15 （5 分） 16 （5 分）已知四面体 ABCD 的四个顶点均在球 O 的表面上，AB 为球 O 的直径，AB 4，AD2，BC ，则四面体 ABCD 体积的最大值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说
6、明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分.17 （12 分）在ABC 中，已知ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，BA2BC（1）求BDC 与BDA 的面积之比；（2） ，求边 BC 的长18 （12 分）如图，平面 ABCD平面 CDEF，且四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，BAD CDA90，ABAD ，M 是线段 DE 上的点，满足DM2 ME（1）证明：BE平面 MAC；（2）求直线 BF 与平面 MAC 所成角的正弦值第 4 页（共 22 页）19 （12
7、分）如图，抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，过 F 斜率为 k1 的直线 l1 与抛物线 E 及其准线相交于 A，B，C 三点？过 F 斜率为 k2 的直线 l2 与 E 及其准线相交于 M，N，P三点（1）若 k11，求|AB |；（2）若 l1 与 l2 的倾斜角互补，AMF 与NBF 的面积比为 4：1，求直线 l1 与 l2 的方程20 （12 分）某大型工厂招聘到一大批新员工为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取 100 人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：日加工零件数（个） 80，120）120，160）160，200）200，240）240，280）280，
8、320人数 a a b c c c将频率作为概率，解答下列问题：第 5 页（共 22 页）（1）当 a15，b25 时，从全体新员工中抽取 2 名，求其中恰有 1 名日加工零件数达到 240 及以上的概率；（2）若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为 222 个，求 a，b，c 的值（每组数据以中点值代替） ；（3）在（2）的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200 的员工为 C 级；达到 200 但未达 280 的员工为 B 级；其他员工为 A 级工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C 三个等级的员工分别参加
9、高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加 20，30，50现从样本中随机抽取 1 人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量 X 的分布列和期望21 （12 分）已知函数 （1）当 a4 时，求 f（x ）的单调区间；（2）若 g（x）的图象总在 f'（x）的图象下方（其中 f'（x）为 f（x ）的导函数） ，求 a的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22
10、 （10 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin2cos0（1）写出曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |2，求直线 l 倾斜角求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|xm |（1）当 m1 时，画出函数 yf（x）的图象；（2）不等式 f（x ）|2m+1| 2 恒成立，求 m 的取值范围第 6 页（共 22 页）第 7 页（共 22 页）2019 年山西省高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：
11、本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，Bx|x 2+x20，则 AB（ ）A x|1x2 Bx|2x1 C x|0x1 D x|2x2【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| 2x 1；ABx|0 x1故选：C【点评】考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算2 （5 分）设命题 p：x 00， ，则p 为（ ）Ax0，e xx 1 Bx 0，e xx1C D【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命
12、题的否定是：x 0，e xx1故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键3 （5 分）若向量 ， 满足| |1，| |2，且| | ，则 ， 的夹角为（ ）A B C D【分析】对| | 两边平方计算 ，再代入夹角公式即可求出答案【解答】解：由| | 可得 2 + 3，即 12 +43， 1，cos ， ， 的夹角为 故选：A第 8 页（共 22 页）【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题4 （5 分）椭圆 C： 的右焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于A，B 两点，若 OAB 是直角三角
13、形（O 为坐标原点） ，则 C 的离心率为（ ）A B C D【分析】通过三角形是直角三角形，列出方程，转化求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆 C： 的右焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线交椭圆C 于 A，B 两点，若OAB 是直角三角形（O 为坐标原点） ，可得 ，即 a2c 2ac ，e （0，1）可得 e2+e10，解得 e 故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查5 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）内是增函数的是（ ）Ayxlnx Byx 2+x Cysin2x Dy e xe x【分析】根据题意，依次分析选项中函数
14、的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，yxlnx ，其定义域为（0，+） ，不是奇函数，不符合题意；对于 B，yx 2+x，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；对于 C，ysin2x ，在（0，1 ）上不是增函数，不符合题意；对于 D，ye xe x ，有 f（x）e x e x（e xe x ）f（x） ，为奇函数，又由 ye x+ex 0，则函数在（0，1）内是增函数，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题6 （5 分）如图 1，已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 2
15、，M，N，Q 分别是线段AD1，B 1C，C 1D1 上的动点，当三棱锥 QBMN 的正视图如图 2 所示时，此三棱锥俯视第 9 页（共 22 页）图的面积为（ ）A1 B2 C D【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可【解答】解：由正视图可知：M 是 AD1 的中点，N 在 B1 处，Q 在 C1D1 的中点，可得俯视图的面积为：22 故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的面积与体积，判断方式它的形状是解题的关键7 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 x 的值为（ ）A2 B C D3【分析】根据程序框图进行模拟运算得到 x 的值具备周
16、期性，利用周期性的性质进行求解即可【解答】解：x ，当 i1 时，x ，i2 时，x2，i3 时，x3，i 4第 10 页（共 22 页）时，x ，即 x 的值周期性出现，周期数为 4，20185044+2，则输出 x 的值为2，故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件判断 x 的值具备周期性是解决本题的关键8 （5 分）以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点 P，则 P 落在该几何体内的概率为（ ）A B C D【分析】设正方体的棱长为 2，其体积 V8，再求出新几何体的体积，由测度比是体积比得答案【解答】解：设正方体的棱长为 2，其体积 V8
17、，新几何体是由两个正四棱锥拼接而成，每个正四棱锥的高为 1，底面面积为 2，几何体的体积 ，P 落在该几何体内的概率为 P 故选：C【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查多面体体积的求法，是基础题9 （5 分）函数 在0，上的值域为（ ）A B CD【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在0，上的值域【解答】解：函数 cosx sinx cos（x+ ） ，在0，上，x+ ， ，cos（x+ ） 1， ，f（x） ，1 ，故选：B第 11 页（共 22 页）【点评】本题主要考查辅助角公式，余弦函数的定义域和值域，属于中档题10 （5 分
18、）双曲线 左、右焦点为 F1，F 2，直线 与 C 的右支相交于 P，若|PF 1|2|PF 2|，则双曲线 C 渐近线方程为（ ）A B C D【分析】求出双曲线的焦点坐标，解出 P 的坐标，利用双曲线的定义转化求解 a，b 关系，即可求解双曲线的渐近线方程【解答】解：把 代入 C 的方程可得 x2a；P（2a， b） ，F 1（c，0） ，F2（c， 0） ，由双曲线的定义可知：|PF 1|4a，|PF 2|2a， ， 2a，整理可得 8ac12a 2，2c3a，4（a 2+b2）9a 2， ，所以双曲线的渐近线方程为：y 故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本
19、知识的考查11 （5 分）电子计算机诞生于 20 世纪中叶，是人类最伟大的技术发明之一计算机利用二进制存储信息，其中最基本单位是“位（bit） ”，1 位只能存放 2 种不同的信息：0 或l，分别通过电路的断或通实现 “字节（Byte） ”是更大的存储单位，1Byte8bit ，因此1 字节可存放从 00000000（2） 至 11111111（2） 共 256 种不同的信息将这 256 个二进制数中，所有恰有相邻两位数是 1 其余各位数均是 0 的所有数相加，则计算结果用十进制表示为（ ）A254 B381 C510 D765【分析】由题意，可知符合题意的数为：11 （2） ，1
20、10 （2） ，1100 （2） ，11000000 （2） 共7 个，化成十进制数后，利用等比数列的求和公式即可计算得解【解答】解：根据题意，可知符合题意的数为：11 （2） ，110 （2） ，1100 （2） ，11000000（2） 共 7 个，化成十进制数后，它们可以构成以 3 为首项，2 为公比的等比数列，故计算结果为 3 381第 12 页（共 22 页）故选：B【点评】本题考查进位制之间的转化，等比数列的求和，考查了转化首项和计算能力，属于中档题12 （5 分）函数 的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D与 a 有关【分析】利用基本不等式可得 + 2e x，从而得到
21、 f（x）0【解答】解：f（x ） + 2x2 2x22e x2x22（e xx1）0，f（x）0，函数 f（x）没有零点故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用基本不等式可以得到 f（x）的范围，角度新颖，属中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1，点 A，B 对应的复数分别是 z1，z 2，则|z 1z 2| 2 【分析】由已知求得 z1，z 2，进一步求得 z1z 2，再由复数模的计算公式求解【解答】解：由题意可知，z 1i，z 22i ，z 1z 2i2+i2+2
22、i，则|z 1z 2| 故答案为： 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题14 （5 分）某校高三（1）班，高三（2）班，高三（3）班分别有 3 人，2 人，1 人被评为该校“三好学生” 现需从中选出 4 人入选市级“三好学生” ，并要求每班至少有 1 人入第 13 页（共 22 页）选，则不同的人选方案共有 9 种（用数字作答） 【分析】由排列、组合及简单的计数原理得：入选方案可分为两类：高三（1）班选2 人，其余各班各选 1 人，此时入选方案数为 6，高三（2）班选 2 人，其余各班各选 1 人，此时入选方案数为 3，综合得：不同的人选方案共有9 种，得解
23、【解答】解：由已知有满足题意的入选方案可分为两类：高三（ 1）班选 2 人，其余各班各选 1 人，此时入选方案数为 6，高三（ 2）班选 2 人，其余各班各选 1 人，此时入选方案数为 3，综合得：不同的人选方案共有 9 种，故答案为：9【点评】本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题15 （5 分） 【分析】求出数列通项公式，然后利用裂项相消法求解数列的和即可【解答】解：由题意可知： ，所以 1 故答案为： 【点评】本题考查数列求和，数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力16 （5 分）已知四面体 ABCD 的四个顶点均在球 O 的表面上，AB 为球
24、O 的直径，AB 4，AD2，BC ，则四面体 ABCD 体积的最大值为 【分析】由题意画出图形，可知当平面 ABC平面 ABD 时，四面体的体积最大，然后求解三角形得 AC，再由棱锥体积公式求解【解答】解：当平面 ABC平面 ABD 时，四面体的体积最大，过 C 作 CFAB，垂足为 F，由于 AB 为球的直径，ADBACB90，AD2，BC ，BD ，AC ，第 14 页（共 22 页）F 为 AB 的中点， CF 为四面体的高，四面体 ABCD 体积的最大值 V 故答案为： 【点评】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三
25、、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共60 分.17 （12 分）在ABC 中，已知ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，BA2BC（1）求BDC 与BDA 的面积之比；（2） ，求边 BC 的长【分析】 （1）设BDC 与BDA 的面积分别为 S1，S 2，利用三角形的面积公式及角平分线的性质即可计算得解（2）设 BCm，则 BA2m ，由（1）可得： 2，解得 AC，在ABC 中，由余弦定理即可解得 m 的值，即 BC 的值【解答】 （本题满分为 12
26、 分）解：（1）设BDC 与BDA 的面积分别为 S1，S 2，则 S1 CBBDsinCBD， S2 BABDsinABD，因为 BD 平分ABC，所以ABDCBD，又因为 BA2BC ，所以 S22S 1，即BDC 与BDA 的面积之比为 6 分（2）设 BCm，则 BA2m ，第 15 页（共 22 页）由（1）可得： 2，可得：AC3 ，在ABC 中，由余弦定理可得：4m 2+m22m 2mcos12063，解得：m3，即 BC312 分【点评】本题主要考查了三角形的面积公式及角平分线的性质以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18 （12 分）如图，
27、平面 ABCD平面 CDEF，且四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF 是矩形，BAD CDA90，ABAD ，M 是线段 DE 上的点，满足DM2 ME（1）证明：BE平面 MAC；（2）求直线 BF 与平面 MAC 所成角的正弦值【分析】 （1）连结 BD，交 AC 于 N，连结 MN，推导出 MNBE，由此能证明 BE平面 MAC（2）推导出 DE平面 ABCD，从而 AD，CD，DE 两两垂直，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量法能求出直线 BF 与平面 MAC 所成角的正弦值【解答】证明：（1）连结 BD，交 AC 于 N，连结 MN，AB ， ，MNBE，MN
28、平面 MAC，BE 平面 MAC，BE平面 MAC解：（2）平面 ABCD平面 CDEF，DECD，DE平面 ABCD，AD ， CD，DE 两两垂直，以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz，第 16 页（共 22 页）设 AB1，则 C（0，2，0） ，M （0，0， ） ，F（0，2，1） ，B（1，1，0） ，A（1，0，0） ，（1，0， ） ， （1，2，0） ，设平面 MAC 的法向量 （x，y ，z ） ，则 ，令 z3，得平面 MAC 的一个法向量 （2，1，3） ，而 （1，1，1） ，设直线 BF 与平面 MAC 所成角为 ，则 sin 直线 BF 与平面 MAC 所成
29、角的正弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题19 （12 分）如图，抛物线 E：y 24x 的焦点为 F，过 F 斜率为 k1 的直线 l1 与抛物线 E 及其准线相交于 A，B，C 三点？过 F 斜率为 k2 的直线 l2 与 E 及其准线相交于 M，N，P三点（1）若 k11，求|AB |；（2）若 l1 与 l2 的倾斜角互补，AMF 与NBF 的面积比为 4：1，求直线 l1 与 l2 的方程第 17 页（共 22 页）【分析】 （1）求出直线 l1 的方
30、程，代入抛物线方程消去 y，根据根与系数的关系和抛物线的性质计算弦长；（2）设 l1 方程为 xmy +1，代入抛物线方程消去 x，根据相似三角形的面积比得出A，B 两点的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求出 A 点坐标，进而可得 l1 的方程，根据 l1，l 2 的斜率互为相反数得出 l2 的方程【解答】解：（1）抛物线的焦点为 F（1，0） ，准线方程为：x1，当 k1 时，直线 l1 的方程为 yx1，代入 y24x 得：x26x+10，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 x1+x26，|AB| x1+x2+28（2）由题意可知直线 l1 斜率存在且不为 0，设 l1
31、 的方程为 xmy+1，代入 y24x 可得：y 24my 40，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1y24，AMF BNF， 4，又 y1y24，y 12 ，y 2 ，x 12，x 2 ，即 A（2， 2 ） ，B（ ， ） ，代入 xmy+1 可得 m ，直线 l1 的方程为 x y10，即 4x y40，l 1 与 l2 的倾斜角互补，l 1，l 2 的斜率互为相反数直线 l2 的方程为 4x+ y40【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法的解题思想，属于中档题第 18 页（共 22 页）20 （12 分）某大型工厂招聘到一大批新员
32、工为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取 100 人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：日加工零件数（个） 80，120）120，160）160，200）200，240）240，280）280，320人数 a a b c c c将频率作为概率，解答下列问题：（1）当 a15，b25 时，从全体新员工中抽取 2 名，求其中恰有 1 名日加工零件数达到 240 及以上的概率；（2）若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为 222 个，求 a，b，c 的值（每组数据以中点值代替） ；（3）在（2）的条件下，工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零
33、件数未达200 的员工为 C 级；达到 200 但未达 280 的员工为 B 级；其他员工为 A 级工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A，B，C 三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加 20，30，50现从样本中随机抽取 1 人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量 X 的分布列和期望【分析】 （1）根据题意可得：c 15，故员工日加工零件数达到 240 及以上的概率为 0.3设抽取的 2 名员工中，日加工零件数达到 240 及以上的人数为Y，则 YB（2，0.3） 即可得出（2）根据后三组数据对
34、应频率分布直方图的纵坐标为 0.005，可知： 0.005，解得 c20因此 b1002a320，由频率分布直方图可得样本平均数的估计值计算公式即可得出 a，进而得出 b，c第 19 页（共 22 页）（3）由已知可得：X 的可能取值为 20，30，50且 P（X20）0.2，P（X30）0.4，P（X 50）0.4即可得出分布列与数学期望【解答】解：（1）根据题意可得：c 15，故员工日加工零件数达到 240及以上的概率为 0.3设抽取的 2 名员工中，日加工零件数达到 240 及以上的人数为 Y，则 YB（2，0.3） 故所求概率 0.3（10.3）0.42（2）根据后三组数据对应频率分布
35、直方图的纵坐标为 0.005，可知： 0.005，解得 c20因此 b1002a320，由频率分布直方图可得样本平均数的估计值222解得 a5b30，c20（3）由已知可得：X 的可能取值为 20，30，50且 P（X20）0.2，P（X30）0.4，P（X 50）0.4X 的分布列为：X 20 30 50P 0.2 0.4 0.4E（X）200.2+300.4+500.436【点评】本题考查了有关概率统计的问题、频率分布直方图的应用，考查了阅读与分析问题的能力、推理能力与计算能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 （
36、1）当 a4 时，求 f（x ）的单调区间；（2）若 g（x）的图象总在 f'（x）的图象下方（其中 f'（x）为 f（x ）的导函数） ，求 a的取值范围【分析】 （1）当 a4 时，f（x ） x22x3lnx （x0） f（x）x2 ，即可得出单调区间第 20 页（共 22 页）（2）由题意可得：x2+ ln 2x，即 a+1xln 2xx 2+2x 恒成立令 h（x）xln 2xx 2+2x，利用利用导数研究函数的单调性极值与最值【解答】解：（1）当 a4 时，f（x ） x22x3lnx （x0） f（x）x2 ，可得函数 f（x）在（ 0，3）上单调递减，在（3，+
37、）上单调递增（2）由题意可得：x2+ ln 2x，即 a+1xln 2xx 2+2x 恒成立令 h（x）xln 2xx 2+2x，h（x）ln 2x+2lnx2x+2，令 u（x）ln 2x+2lnx2x+2，u（x） + 2 令 v（x）lnx+1x ，则 v（x） 1 可得 x1 时，函数 v（x ）取得极大值即最大值v（x）v（ 1）0u（x）0，函数 u（x）即 h（x ）在（0，+）上单调递减，又 h（1）0x1 时，函数 h（x ）取得极大值即最大值h（x）h（1）1a0【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查学生的运算推理能力，属于难题
38、（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin2cos0（1）写出曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |2，求直线 l 倾斜角求 的值【分析】 （1）由 2sin 2cos 得 22 sin2cos0，得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y22x
39、2y0；第 21 页（共 22 页）（2）设出直线 l 的方程后，利用圆中的直角三角形列式可得【解答】解（1）由 2sin 2cos 得 22 sin2cos0，得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2 2x2y0；（2）易知直线 l 的斜率存在，可设直线 l 的方程为：kxy+ k0（ktan） ，设圆心 C（1，1）到直线了的距离为 d，由直角三角形可知 22 ，d1， 1，解得 k0，或 k1，0，或 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|+|xm |（1）当 m1 时，画出函数 yf（x）的图象；（2）不等式 f（x
40、）|2m+1| 2 恒成立，求 m 的取值范围【分析】 （1）当 m1 时，代入可得 f（x）| x1|+|x +1|，讨论 x 的范围，结合一次函数的图象即可（2）由绝对值不等式可得 f（ x）|x1|+| xm | m1|，从而有|m1|2 m+1|2 恒成立，结合含有绝对值的不等式的解法即可求解 m 的范围【解答】解：（1）当 m1 时，f（x）| x1|+|x +1|其图象如图所示，第 22 页（共 22 页）（2）f（x）|2m+1|2 恒成立，又f（x）|x 1|+|xm| m1|m 1|2m+1|2 恒成立， 或 或解可得，4m 的取值范围4， 【点评】本题主要考查了含有绝对值的不等式的求解及绝对值不等式的性质的应用，体现了分类讨论思想的应用
