1、2018 年山西省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知单元素集合 Ax|x 2（a+2）x +10，则 a（ ）A0 B4 C4 或 1 D4 或 02 （5 分）某天的值日工作由 4 名同学负责，且其中 1 人负责清理讲台，另 1 人负责扫地，其余 2 人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A6 种 B12 种 C18 种 D24 种3 （5 分）已知函数 f（x ）x+sinx，若 af （3） ，bf（2） ，cf（log 26） ，则 a，b，
2、c 的大小关系是（ ）Aabc Bcba Cbac Dbc a4 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F，设 ， ，则向量 （ ）A + B C + D 5 （5 分）已知抛物线 C：y 2x，过点 P（a，0）的直线与 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 0，则 a 的取值范围是（ ）A （，0） B （0，1） C （1，+） D16 （5 分） 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，
3、且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体） 在如图所示的堑堵 ABCA 1B1C1 中，AA 1AC 5，AB 3，BC 4，则阳马C1ABB 1A1 的外接球的表面积是（ ）A25 B50 C100 D200第 2 页（共 28 页）7 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A B C D8 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 n 是 10，则与输出结果 S 的值最接近的是（ ）Ae 28 Be 36 Ce 45 De 559 （5 分）在ABC 中，点 D 为边 AB 上一点，若BCCD，A
4、C3 ，AD ，sin ABC ，则ABC 的面积是（ ）A B C6 D1210 （5 分）322 路公交车每日清晨 6：30 于始发站 A 站发出首班车，随后每隔 10 分钟发出下一班车甲、乙二人某日早晨均需从 A 站搭乘该公交车上班，甲在 6：356：55内随机到达 A 站候车，乙在 6：507：05 内随机到达 A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的概率是（ ）A B C D11 （5 分）如图，RtABC 中， ，若其顶点 A 在 x 轴上第 3 页（共 28 页）运动，顶点 B 在 y 轴的非负半轴上运动设顶点 C 的横坐标非负，纵坐标为 y，且直线AB 的
5、倾斜角为 ，则函数 y f（）的图象大致是（ ）A BC D12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且当 x0 时，f（x）若对任意的 xm，m +1，不等式 f（1x ）f （x+m ）恒成立，则实数 m 的最大值是（ ）A1 B C D二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13 （5 分）在复平面内，复数 zm+（m 22m 8）i 对应的点位于第三象限，则实数 m的取值范围是 14 （5 分）已知 tan（ +）2，则 15 （5 分
6、）过双曲线 （a0，b0）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的第 4 页（共 28 页）右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为 16 （5 分）一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为 1，则该正方体的体积是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）已知等比数列a n中， （1）求a n的通项公式；（2）设 ，求数列b n的前 2n 项和 T2n18
7、（12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，除 1kg 收费 10 元之外，超过 1kg 的部分，每超出 1kg（不足 1kg，按1kg 计算）需再收 5 元该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：kg）1 2 3 4 5包裹件数 43 30 15 8 4公司对近 60 天，每天揽件数量统计如表：第 5 页（共 28 页）包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处
8、理，并将频率视为概率（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101400 之间的概率；（2） 估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？19 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，AFDE，AFAD ，且平面 BED平面 ABCD（1）求证：AFCD；（2）若BAD60，AF AD E
9、D，求二面角 AFBE 的余弦值20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）过点 ，且两个焦点的坐标分别为（1，0） ， （1，0） （1）求 E 的方程；（2）若 A，B ，P 为 E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且 ，求证：四边第 6 页（共 28 页）形 OAPB 的面积为定值21 （12 分）已知函数 f（x ）x 2（2m+1）x +lnx（m R） （1）当 时，若函数 g（x）f （x）+（a1）lnx 恰有一个零点，求 a 的取值范围；（2）当 x1 时，f（x）（1m）x 2 恒成立，求 m 的取值范围（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一
10、题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为： （ 为参数，0，） ，将曲线 C1 经过伸缩变换： 得到曲线 C2（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 C2 的极坐标方程；（2）若直线 （t 为参数）与 C1，C 2 相交于 A，B 两点，且，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|a（aR ） （1）若 f（x）的最小值不小于 3，求 a 的最大值；（2）若 g（x）f（x）+2|x +a|+a 的最小值为 3，求 a 的值第 7 页（共 28 页）2
11、018 年山西省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知单元素集合 Ax|x 2（a+2）x +10，则 a（ ）A0 B4 C4 或 1 D4 或 0【分析】由集合 Ax| x2（a+2）x +10是单元素，利用根的判别式能求出 a 的值【解答】解：单元素集合 Ax|x 2（a+2）x +10，（a+2） 24110，解得 a4 或 a0故选：D【点评】本题考查实数值的求法，考查单元素集、根的判别式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
12、想，是基础题2 （5 分）某天的值日工作由 4 名同学负责，且其中 1 人负责清理讲台，另 1 人负责扫地，其余 2 人负责拖地，则不同的分工共有（ ）A6 种 B12 种 C18 种 D24 种【分析】根据题意，分 3 步分析：，在 4 人中选出 1 人负责清理讲台，在剩下的 3 人中选出 1 人负责扫地，剩下的 2 人负责拖地，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分 3 步分析：，在 4 人中选出 1 人负责清理讲台，有 C414 种情况，在剩下的 3 人中选出 1 人负责扫地，有 C313 种情况，剩下的 2 人负责拖地，有 1 种情况，则有 4312 种不同的分
13、工；故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题3 （5 分）已知函数 f（x ）x+sinx，若 af （3） ，bf（2） ，cf（log 26） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aabc Bcba Cbac Dbc a第 8 页（共 28 页）【分析】求函数 f（x ）x+sinx 的导数 f（x）1+cosx0，可得函数 f（x ）在 R 上递增，即可得 bba，【解答】解：函数 f（x ）x+sinx 的导数 f（x）1+cos x0，函数 f（x ）在 R 上递增，且 3 log262，f（3）f（log 26）f（2） ，bca，故
14、选：D【点评】本题考查了函数的单调性的应用，属于基础题4 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD 的中点，BE 与 AC 的交点为 F，设 ， ，则向量 （ ）A + B C + D 【分析】如图所示，点 E 为 CD 的中点，CDAB，可得 2，因此 ， ，即可得出【解答】解：如图所示，点 E 为 CD 的中点，CDAB， 2， ， ， + ，故选：C【点评】本题考查了三角形法则、平行四边形的性质、向量线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5 （5 分）已知抛物线 C：y 2x，过点 P（a，0）的直线与 C 相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，若
15、0，则 a 的取值范围是（ ）第 9 页（共 28 页）A （，0） B （0，1） C （1，+） D1【分析】设过点 P（a，0）的直线方程为 myxa，由直线与抛物线方程联立，消去 x得关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积列不等式求出 a 的取值范围【解答】解：设过点 P（a，0）的直线方程为 myxa，且该直线与抛物线 C：y 2x 相交于 A，B 两点，则 ，y 2mya0， ， x 1x2+y1y2 +y1y2a 2a0，解得 0a1；a 的取值范围是（0，1） 故选：B【点评】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了平面向量的数量积应用
16、问题，是综合题6 （5 分） 九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体） 在如图所示的堑堵 ABCA 1B1C1 中，AA 1AC 5，AB 3，BC 4，则阳马C1ABB 1A1 的外接球的表面积是（ ）A25 B50 C100 D200【分析】四棱锥 C1ABB 1A1 的外接球即为直三棱柱的外接球，也即为对应长方体的外接球，外接球的直径是长方体的对角线，第 10 页（共 28 页）由此求出外接球的表面
17、积【解答】解：由题意知，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AA1AC5， AB3，BC 4，四棱锥 C1ABB 1A1 的外接球即为直三棱柱的外接球，以 AB、BC、BB 1 为共顶点，画出长方体，如图所示，则长方体的外接球即为三棱柱的外接球；所求的外接球的直径为体对角线 2RAC 1 ，外接球的表面积是 S4R 2（2R） 250故选：B【点评】本题考查了空间几何体外接球的表面积的计算问题，是基础题7 （5 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ）A B C D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可【解答】解：作出 x，y 满足约
18、束条件 对应的平面区域如图：A（ ， ） ，B（ ， ） z ，则 z 的几何意义为区域内的点 Q（1，0）的斜率倒数，由图象知 z 的最小为 QA 的斜率的倒数： ，第 11 页（共 28 页）z 的最大值为 QB 的斜率的倒数： 11，则 z ，11，故选：A【点评】本题主要考查线性规划和直线斜率的基本应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决问题的基本方法8 （5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入的 n 是 10，则与输出结果 S 的值最接近的是（ ）第 12 页（共 28 页）Ae 28 Be 36 Ce 45 De 55【分析】模拟程序的运行过程，可知该程序的功能是
19、利用循环结构计算并输出变量Se 0e1e9 的值，即可计算得解【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量Se 0e1e9 的值，由于 Se 0e1e8e 36故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9 （5 分）在ABC 中，点 D 为边 AB 上一点，若BCCD，AC3 ，AD ，sin ABC ，则ABC 的面积是（ ）A B C6 D12【分析】根据题意画出图形，结合图形利用正弦、余弦定理求得 BC、AB 的值，求得ABC 的面积【解答】解：如图所示，ABC 中，BCCD，AC
20、3 ，AD ，sinABC ，设 CDx，则 BD x；由勾股定理得 BC x，AB + x，又 sinABC ，且CBA 为锐角，cosCBA ；由余弦定理得： ，第 13 页（共 28 页）解得 x3；BC3 ，AB4 ；ABC 的面积为SABC 3 4 6 故选：C【点评】本题考查了解三角形的应用问题，是中档题10 （5 分）322 路公交车每日清晨 6：30 于始发站 A 站发出首班车，随后每隔 10 分钟发出下一班车甲、乙二人某日早晨均需从 A 站搭乘该公交车上班，甲在 6：356：55内随机到达 A 站候车，乙在 6：507：05 内随机到达 A 站候车，则他们能搭乘同一班公交车的
21、概率是（ ）A B C D【分析】设甲和乙到达的分别为 6 时+x 分、6 时+y 分，则 35x55，50y65，他们能搭乘同一班公交车，则 50x55，50y60，写出试验包含所有区域的集合与他们能搭乘同一班公交车所表示的区域的集合，画出图形，由面积比得答案【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为 6 时+x 分、6 时+y 分，则 35x55，50y 65，他们能搭乘同一班公交车，则 50x55，50y60则试验包含的所有区域是 （x，y）|35 x55，50y65，他们能搭乘同一班公交车所表示的区域为 A（x，y）|50x55，50y60 ，如图：则他们
22、能搭乘同一班公交车的概率是 第 14 页（共 28 页）故选：A【点评】本题考查几何概型，这类问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果，是中档题11 （5 分）如图，RtABC 中， ，若其顶点 A 在 x 轴上运动，顶点 B 在 y 轴的非负半轴上运动设顶点 C 的横坐标非负，纵坐标为 y，且直线AB 的倾斜角为 ，则函数 y f（）的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据直线的移动规律，判断 C 点的移动情况，从而得出答案【解答】解：顶点 C 的横坐标非负，故点 C 在 y 轴右侧运动，当 0 时，A（ ，0） ，B
23、（0，0） ，C （0， ） ，排除 C，当 逐渐增大时到 时，点 B 由原点 O 向 y 轴正半轴移动，故而 C 点纵坐标逐渐增大，当 时， A（0，0） ，B（0， ） ，C （ ， ） ，第 15 页（共 28 页）当 由 逐渐增大到 时，A 点由原点向 x 轴正半轴移动，此时 C 点纵坐标逐渐增大到某个最大值时，然后逐渐减小，当 时，A（ ，0） ，B（0，0） ，C（0， ） ，排除 B，由以上过程可知当 0 时，y 取得最小值，排除 D故选：A【点评】本题考查了函数图象的判断，根据几个特殊位置判断函数值是关键12 （5 分）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）f（x） ，且
24、当 x0 时，f（x）若对任意的 xm，m +1，不等式 f（1x ）f （x+m ）恒成立，则实数 m 的最大值是（ ）A1 B C D【分析】由题意可得 f（x ）为偶函数，求得 f（x）在 x0 上连续，且为减函数，f（|1 x| ）f （| x+m|） ，即为|x 1|x +m|，即有（2x1+m） （m+1）0，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求最大值【解答】解：f（x ）f（x） ，可得 f（x）为偶函数，当 x0 时，f（ x） ，可得 0x1 时，f（x）1x 2 递减，f（x）（0，1；当 x1 时，f（ x）递减，且 f（1）0，f （x） （，0 ，f（
25、x）在 x0 上连续，且为减函数，对任意的 xm，m+1，不等式 f（1x）f （x+m ）恒成立，可得 f（|1x| ）f（| x+m|） ，即为|x1| |x+m| ，即有（2x1+m） （m+1）0，由一次函数的单调性，可得：（2m1+m） （m+1 ）0，且（2m+2 1+m） （m+1）0，即为1m 且1m ，第 16 页（共 28 页）即有1m ，则 m 的最大值为 ，故选：C【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上13 （5 分）在复平面
26、内，复数 zm+（m 22m 8）i 对应的点位于第三象限，则实数 m的取值范围是 （2，0） 【分析】由已知可得 ，求解不等式组得答案【解答】解：zm+ （m 2 2m8）i 对应的点位于第三象限， ，解得2m 0实数 m 的取值范围是（ 2，0） 故答案为：（2，0） 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题14 （5 分）已知 tan（ +）2，则 【分析】由已知求得 tan，把要求值的式子化弦为切求解【解答】解：由 tan（ +） 2，得 tan3， 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本
27、关系式及两角和的正切，是基础题15 （5 分）过双曲线 （a0，b0）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的第 17 页（共 28 页）右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为 （1， ） 【分析】先确定双曲线的渐近线斜率小于 2，结合离心率，即可求得双曲线离心率的取值范围【解答】解：由题意过双曲线 a0，b0 ）右顶点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率 2，e1e ，1e ，双曲线离心率的取值范围为（1， ） 故答案为：（1， ） 【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用渐近线的斜率与离
28、心率的关系，属于中档题16 （5 分）一个正方体的三视图如图所示，若俯视图中正六边形的边长为 1，则该正方体的体积是 【分析】由三视图还原原几何体，结合俯视图求出原正方体的棱长，则答案可求第 18 页（共 28 页）【解答】解：由三视图还原原几何体如图，设其棱长为 a，则其俯视图中，AC 为原正方体一条面对角，长为 ，OA1，AC ，即 ，则 a 该正方体的体积是 故答案为： 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第
29、 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）已知等比数列a n中， （1）求a n的通项公式；（2）设 ，求数列b n的前 2n 项和 T2n【分析】 （1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式（2）利用数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解答】解：（1）设等比数列a n的公比为 q，则 q0，因为 ，第 19 页（共 28 页）所以 ，因为 q0，解得 q2，所以 ；（2） ，设 cnn7，则 ，T2nb 1+b2+b3+b4+b2n1 +b2n， ，（c 1+c2） （ c1+c2）+（c 3+c4） （c 3+c4）+（c 2n1 +
30、c2n） （c 2n1 +c2n） ，c 1+c2+c3+c4+c2n1 +c2n， ，2n 213n【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法在数列求和中的应用18 （12 分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg 的包裹收费 10 元；重量超过 1kg 的包裹，除 1kg 收费 10 元之外，超过 1kg 的部分，每超出 1kg（不足 1kg，按1kg 计算）需再收 5 元该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如表：包裹重量（单位：kg）1 2 3 4 5包裹件数 43 30 15 8 4公司对近 60 天，每天揽件数量统计如表：包裹件数范围 010
31、0 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处理，并将频率视为概率第 20 页（共 28 页）（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101400 之间的概率；（2） 估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用目前前台有工作人员 3 人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更
32、有利？【分析】 （1）样本中包裹件数在 101400 之间的天数为 48，频率 ，可估计概率为 ，未来 3 天中，包裹件数在 101400 之间的天数 X 服从二项分布 ，由此能求出该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101400 之间的概率（2） 列表求出样本中快递费用及包裹件数，由此能求出样本中每件快递收取的费用的平均值揽件数每增加 1，可使前台工资和公司利润增加 5 元，将题目中的天数转化为频率，得若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司平均每日利润的期望值为260531001000 元；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司平均每日利润的期望值为 2355
33、2100975 元，从而公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利【解答】解：（1）样本中包裹件数在 101400 之间的天数为 48，频率 ，故可估计概率为 ，未来 3 天中，包裹件数在 101400 之间的天数 X 服从二项分布，即 ，故所求概率为 ；（2） 样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）1 2 3 4 5快递费（单位：元） 10 15 20 25 30包裹件数 43 30 15 8 4故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元） ，第 21 页（共 28 页）故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元根据题意及（2） ，揽件数每增加 1，可使前台工
34、资和公司利润增加（元） ，将题目中的天数转化为频率，得包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450实际揽件数 Y 50 150 250 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1EY 500.1+1500.1+2500.5+3500.2+4500.1260故公司平均每日利润的期望值为 2605
35、31001000（元） ；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450实际揽件数 Z 50 150 250 300 300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1EY 500.1+1500.1+2500.5+3000.2+3000.1235故公司平均每日利润的期望值为 23552100975（元）因 9751000，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，
36、是中档题19 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形，AFDE，AFAD ，且平面 BED平面 ABCD（1）求证：AFCD；（2）若BAD60，AF AD ED，求二面角 AFBE 的余弦值第 22 页（共 28 页）【分析】 （1）连接 AC，由四边形 ABCD 为菱形可知 ACBD 从而 AC平面 BED，进而 ACED，AF AC，由 AFAD，得 AF平面 ABCD，由此能证明 AFCD （2）设 ACBDO，过点 O 作 DE 的平行线 OG，OA ，OB，OG 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出二面角 AFBE 的平面角的
37、余弦值【解答】证明：（1）连接 AC，由四边形 ABCD 为菱形可知 ACBD，平面 BED平面 ABCD，且交线为 BD，AC平面 BED，ACED，又 AFDE ，AFAC，AFAD ，AC ADA，AF平面 ABCD，CD平面 ABCD，AF CD；解：（2）设 ACBDO，过点 O 作 DE 的平行线 OG，由（1）可知 OA，OB，OG 两两互相垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ，设 ，则，所以，第 23 页（共 28 页）设平面 ABF 的法向量为 ，则 ，即 ，取 ，则 为平面 ABF 的一个法向量，同理可得 为平面 FBE 的一个法向量则 ，又二面角 AFB E
38、 的平面角为钝角，则其余弦值为 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两线段长的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）过点 ，且两个焦点的坐标分别为（1，0） ， （1，0） （1）求 E 的方程；（2）若 A，B ，P 为 E 上的三个不同的点，O 为坐标原点，且 ，求证：四边形 OAPB 的面积为定值【分析】 （1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得 c 的值，结合椭圆的定义可得 2a+ 2 ，即可得 a 的值，由椭圆的定义计算可得 b 的值，将 a、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；第 24
39、 页（共 28 页）（2）根据题意，按直线 AB 的斜率是否存在分 2 种情况讨论：，直线 AB 的斜率不为零， 当 AB 的斜率为零时，分别求出四边形的面积，综合即可得结论【解答】解：（1）根据题意，椭圆 E： + 1 的两个焦点的坐标分别为（1，0） ， （1，0） 则 c1，又由椭圆经过点 ，则 2a + 2 ，即 a ，b 1，则 E 的方程为 ；（2）证明：根据题意，分 2 种情况讨论：，当直线 AB 的斜率不为零时，可设 AB：xmy+t 代入 得：（m 2+2）y 2+2mty+t220，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ，8（m 2+2t 2） ，设 P（
40、x ，y） ，由 ，得，点 P 在椭圆 E 上， ，即 ，4t 2m 2+2，原点到直线 xmy+t 的距离为 四边形 OAPB 的面积：第 25 页（共 28 页）当 AB 的斜率为零时，四边形 OAPB 的面积 ，四边形 OAPB 的面积为定值 【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程21 （12 分）已知函数 f（x ）x 2（2m+1）x +lnx（m R） （1）当 时，若函数 g（x）f （x）+（a1）lnx 恰有一个零点，求 a 的取值范围；（2）当 x1 时，f（x）（1m）x 2 恒成立，求 m 的取值范围【分析】 （1）求得 g（
41、x）的定义域，求得 g（x）的导数，讨论 a 的符号，运用函数的单调性，即可得到零点个数为 1 的 a 的范围；（2）令 h（x）f（x）（1m）x 2mx 2（2m+1）x+lnx，根据题意，当x（1，+）时，h（x）0 恒成立，求出 h（x）的导数，判断 h（x）的单调性，由恒成立思想可得 m 的范围【解答】解：（1）函数 g（x）的定义域为（0，+） ，当 时，g（x）alnx +x2，所以 ，当 a 0 时， g（x）x 2，x0 时无零点；当 a 0 时， g'（x）0，所以 g（x）在（0，+）上单调递增，取 ，则 ，因为 g（1）1，所以 g（x 0）g（1）0，此时函数
42、 g（x）恰有一个零点；当 a 0 时，令 g'（x）0，解得 ，当 时，g'（x）0，所以 g（x）在 上单调递减；当 时，g'（x）0，所以 g（x）在 上单调递增要使函数 f（x）有一个零点，则 ，即 a2e，综上所述，若函数 g（x）恰有一个零点，则 a2e 或 a0；第 26 页（共 28 页）（2）令 h（x）f（x）（1m）x 2mx 2（2m+1）x+lnx，根据题意，当 x（1，+）时，h（x）0 恒成立，又 ，若 ，则 时，h'（x）0 恒成立，所以 h（x）在 上是增函数，且 ，所以不符题意若 ，则 x（1，+ ）时，h'（x）0
43、恒成立，所以 h（x）在（1，+）上是增函数，且 h（x）（h （1） ，+） ，所以不符题意若 m0，则 x（1，+ ）时，恒有 h'（x）0，故 h（x）在（1，+）上是减函数，于是“h（x）0 对任意 x（1，+） ，都成立”的充要条件是h（1）0，即 m（2m+1）0，解得 m1，故1m0综上，m 的取值范围是1，0【点评】本题考查函数的零点个数的解法，注意运用分类讨论和导数判断单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用构造函数法和分类讨论思想方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
44、记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为： （ 为参数，0，） ，将曲线 C1 经过伸缩变换： 得到曲线 C2（1）以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，求 C2 的极坐标方程；（2）若直线 （t 为参数）与 C1，C 2 相交于 A，B 两点，且，求 的值【分析】 （1）利用函数的伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化（2）利用曲线之间的关系，建立等量，求出结果第 27 页（共 28 页）【解答】解：（1）C 1 的普通方程为 x2+y21（y0） ，把 ，代入上述方程得， ，
45、C 2 的方程为 ，令 xcos ，ysin ，所以 C2 的极坐标方程为 ；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 （R） ，由 ，得 A1，由 ，得 ，而 ， ，而 0， 或 【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，三角函数的求值问题的应用选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|a（aR ） （1）若 f（x）的最小值不小于 3，求 a 的最大值；（2）若 g（x）f（x）+2|x +a|+a 的最小值为 3，求 a 的值【分析】 （1）由题意可得a3，解得即可，（2）取绝对值化为分段函数，求出函数的最值，即可得到 a 的值第 28 页（共 28 页）【解答】解：（1）因为 f（x）minf（1）a，所以a3，解得 a3，即 amax3；（2）g（x）f（x）+2|x +a|+a| x1|+2|x +a|，当 a1 时，g（x）3|x1|0，03，所以 a1 不符合题意，当 a1 时，g（x） ，即 g（x），所以 g（x） ming（a）a13，解得 a4，当 a1 时，同法可知 g（x） ming（a）a+13，解得 a2，综上，a2 或4【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法恒成立问题以及绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力
