1、2018 年山西省太原市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ax| 1x2，BN ，则集合 AB 的子集的个数是（ ）A4 B6 C8 D162 （5 分）计算： （ ）A2 B2 C2i D2i3 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn则“a 10” 是“S 3S 2”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递增的是（ &nbs
2、p;）Aye x+ex Byln（|x|+1） C D5 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术” ，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” ，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参考数据：sin150.2588 ，sin7.5 00.1305）A6 B12 C24 D486 （5 分）某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动，则抽到 2 名学生性第 2 页（共 25 页）别相同的概
3、率是（ ）A B C D7 （5 分）已知椭圆 的半焦距为 c，原点 O 到经过两点（c，0） ，（0，b）的直线的距离为 ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D8 （5 分）已知 a2 1.1，b5 0.4， ，则（ ）Abca Bacb Cbac Dabc9 （5 分）已知函数 的一条对称轴为 ，且 f（x 1）f（x 2）4，则| x1+x2|的最小值为（ ）A B C D10 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，若 axy+1a0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，2 B C （，1 D11 （5 分）某空间几何
4、体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx 有两个极值点 x1、x 2，且 x1x 2，若x1+2x03x 2，函数 g（x ） f（x）f （x 0） ，则 g（x） （ ）第 3 页（共 25 页）A恰有一个零点 B恰有两个零点C恰有三个零点 D至多两个零点二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知非零向量 满足 ，且 ，则向量的夹角的余弦值为 14 （5 分）双曲线 （a0，b0）上一点 M（3，4）关于一条渐近线的对称点恰为
5、双曲线的右焦点 F2，则该双曲线的标准方程为 15 （5 分）已知菱形 ABCD 中， ，BAD60，沿对角线 BD 折成二面角ABDC 为 600 的四面体，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 16 （5 分）数列a n中，若 a12， ， ，n N*，则数列|b n|的前n 项和为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（1）求角 A；（2）若点 D 满足 ，且 BD3，求 2
6、b+c 的取值范围18 （12 分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测表 1 是甲套设备的样本频率分布表，图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图表 1：甲套设备的样本频数分布表质量指标值 95， 100） 100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 4 19 20 5 1图 1：乙套设备的样本频率分布直方图（1）将频率视为概率，若乙套设备生
7、产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；第 4 页（共 25 页）（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品 不合格品 合理 &n
8、bsp;（3）根据表 1 和图 1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K219 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AB CD，AB 2DC 2 ，且PAD 与ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心， ACBD F（1）求证：GF平面 PCD；（2）求三棱锥 GPCD 的体积第 5 页（共 25 页）20 （12 分）已知以点 C（0， 1）为圆心的动圆 C 与 y 轴负
9、半轴交于点 A，其弦 AB 的中点D 恰好落在 x 轴上（1）求点 B 的轨迹 E 的方程；（2）过直线 y1 上一点 P 作曲线 E 的两条切线，切点分别为 M，N ，求证：直线MN 过定点21 （12 分）已知函数 f（x ）mlnxe x （m0） （1）若函数 f（x ）是单调函数，求实数 m 的取值范围；（2）证明：对于任意的正实数 a，b，当 ab 时，都有 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）点 P 是曲线 C1：（ x2） 2+y24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
10、极坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转 90得到点 Q，设点Q 的轨迹为曲线 C2（1）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（2）射线 ， （ 0）与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点，设定点 M（2，0） ，求MAB 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知实数 a，b 满足 a2+4b24（1）求证： ；（2）若对任意 a，bR，|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围第 6 页（共 25 页）2018 年山西省太原市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
11、项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 Ax| 1x2，BN ，则集合 AB 的子集的个数是（ ）A4 B6 C8 D16【分析】可先求出 AB0，1，2 ，从而可得出 AB 子集的个数【解答】解：AB0 ，1，2 ；AB 的子集个数为： 故选：C【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，交集及其运算，以及子集的概念2 （5 分）计算： （ ）A2 B2 C2i D2i【分析】先求出（1i） 2 的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质进行化简【解答】解： 2，故选：A【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算
12、性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数3 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn则“a 10” 是“S 3S 2”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【分析】分公比 q1 和 q1 两种情况，分别由 a10 推出 S3S 2 成立，再由 S3S 2也分 q1 和 q1 两种情况推出 a10，从而得出结论【解答】解：当公比 q1 时，由 a10 可得 s33a 12a 1s 2，即 S3S 2 成立当 q1 时，由于 q 2+q+11+q ，再由 a10 可得 第 7 页（共 25 页），即 S3S 2 成立故“a
13、10”是“S 3S 2”的充分条件当公比 q1 时，由 S3S 2 成立，可得 a10当 q1 时，由 S3S 2 成立可得 ，再由 ，可得 a10故“a 10”是“S 3S 2”的必要条件综上可得， “a10”是“S 3S 2”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断，不等式性质的应用，属于基础题4 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递增的是（ ）Aye x+ex Byln（|x|+1） C D【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可【解答】解：对于 A、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在（0， +）上不是单调递
14、增函数故选：D【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性知识5 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术” ，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” ，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参考数据：sin150.2588 ，sin7.5 00.1305）第 8 页（共 25 页）A6 B12 C24 D48【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n3
15、，S sin120 ，不满足条件 S3.10，n6，S3sin60 ，不满足条件 S3.10，n12，S6sin303，不满足条件 S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24故选：C【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题6 （5 分）某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动，则抽到 2 名学生性别相同的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n 10，抽到 2 名学生性别相同包含的基本事件个数 m4，由此能求出抽到 2 名学生性别相
16、同的概率【解答】解：某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动，基本事件总数 n 10，第 9 页（共 25 页）抽到 2 名学生性别相同包含的基本事件个数 m 4，抽到 2 名学生性别相同的概率是 p 故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7 （5 分）已知椭圆 的半焦距为 c，原点 O 到经过两点（c，0） ，（0，b）的直线的距离为 ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【分析】根据椭圆的性质，利用三角形的面积相等，即可求得椭圆的离心率【解答】解：由题意可知：根据三角形的面积公式
17、可知：S bc a ，则a2b，椭圆的离心率 e ，故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率公式的求法，考查转化思想，属于基础题8 （5 分）已知 a2 1.1，b5 0.4， ，则（ ）Abca Bacb Cbac Dabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解第 10 页（共 25 页）【解答】解：a2 1.12 12，15 0b5 0.4 2，lne1，abc故选：D【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9 （5 分）已知函数 的一条对称轴为 ，且 f（x 1）f（x 2）4，则| x1
18、+x2|的最小值为（ ）A B C D【分析】运用辅助角公式，化简 f（x ） ，由对称轴可得 a 的方程，解得 a1，可得f（x）的解析式，结合正弦函数的最值，即可得到所求最小值【解答】解： ， （ 为辅助角） ，由于函数的对称轴为 ，且 ，则 ，解得 a1所以 ，由于 f（x 1）f（x 2）4，所以函数必须取得最大值和最小值，所以 或 ，所以 ，当 k0 时，最小值为 故选：C【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，主要考查对称性和最值的应用，以及运算能力，属于中档题第 11 页（共 25 页）10 （5 分）已知实数 x，y 满足 ，若 axy+1a0 恒成立，则实数 a
19、的取值范围是（ ）A （，2 B C （，1 D【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，推出 a 的表达式，利用不等式的几何意义，求解范围即可【解答】解：实数 x，y 满足 的可行域如图：可知 x1，axy+1a0 ，可得 a ，即 a 由 axy+1a 0，可得：a ，它的几何意义是可行域内的点与 D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为 KBD 最小值与直线 x+y0 平行时的斜率1可得 a（，1故选：C【点评】本题考查线性规划的应用，化简目标函数判断目标函数的几何意义是解题的关键11 （5 分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
20、）第 12 页（共 25 页）A B C D【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥 PABCD 中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以 2 为边长的正方形、高是 2，圆锥的底面半径是 1、高是 2，所求的体积 V ，故选：B【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力12 （5 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2+bx 有两个极值点 x1、x 2，且 x1x 2，若x1+2x03x 2，函数 g（x ） f（x）f （x 0） ，则 g
21、（x） （ ）A恰有一个零点 B恰有两个零点C恰有三个零点 D至多两个零点【分析】由题意可知：x 1、x 2 是方程 3x2+2ax+b0 的两个根，由韦达定理可知：x1+x2 ， x1x2 ，由 x1+2x03x 2，x 0 0，令 f（x 1）f （x）的另第 13 页（共 25 页）一个解为 m，即可求得 ma2x 1，则 f（x）f（m ）f（x 0） ，【解答】解：f（x ）x 3+ax2+bx，求导，f （x）3x 2+2ax+b，由函数 f（x）有两个极值点 x1、x 2，则 x1、x 2 是方程 3x2+2ax+b 0 的两个根，则 x1+x2 ，x 1x2 ，a
22、，由 x1+2x03x 2，则 x0 x 2+ x 2，由函数图象可知：令 f（x 1）f（x）的另一个解为 m，则 x3+ax2+bx f（x 1）（x x 1） 2（xm ） ，则 ，则 m a2x 1，将代入 整理得： m 2x 1 x 0，f（x）f（m）f（x 1） ，g（x）只有两个零点，即 x0 和 x1，故选：B【点评】本题考查导数的综合应用，函数零点个数的判断，考查韦达定理，数形结合思想，属于中档题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知非零向量 满足 ，且 ，则向量的夹角的余弦值为 第 14 页（共 25
23、页）【分析】由向量垂直的条件：数量积为 0，以及向量的平方即为模的平方，结合向量数量积的夹角公式，计算即可得到所求值【解答】解：非零向量 满足 ，且 ，可得（ ）（ +3 ） 2+2 3 22| |2+2 3| |20，即有 | |2，cos ， ，故答案为： 【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，向量垂直的条件：数量积为 0，考查运算能力，属于中档题14 （5 分）双曲线 （a0，b0）上一点 M（3，4）关于一条渐近线的对称点恰为双曲线的右焦点 F2，则该双曲线的标准方程为 1 【分析】根据双曲线的定义和性质以及点的对称中点坐标公式即可求出【解答】解：双曲线 1（
24、a0，b0）的一条渐近线方程 y x，右焦点F2 的坐标为（c ，0） ，双曲线 1（a0，b0）上一点 M（3，4）关于一条渐进线的对称点恰为右焦点 F2， （ ）1，AF 2 的中点坐标为（ ，2） ，2 ，a 2+b2c 2，由解得 a25，b 220 ，故答案为： 1第 15 页（共 25 页）【点评】本题考查了双曲线的简单性质和定义，以点的对称问题，考查了学生的运算能力，属于中档题15 （5 分）已知菱形 ABCD 中， ，BAD60，沿对角线 BD 折成二面角ABDC 为 600 的四面体，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 156 【分析】由菱形 ABCD 中，连接 AC 和
25、 BD 交于 O，可知ACBD ，BAD60，求解得 OAOC 9；沿对角线 BD 折成二面角ABDC 为 600，可得 AC9，求解四面体的高和底面 BCD 的外接圆，根据圆心与球心构成直角三角形求解外接球的半径，可得表面积【解答】解：由题意，菱形 ABCD 中，连接 AC 和 BD 交于 O，可知 ACBD ，BAD60，OAOC9；沿对角线 BD 折成二面角 A BDC 为 600，底面 BCD 等边三角形AOC 是等边三角形底面 BCD 也是等边三角形那么AOC 的高即是四面体的高为 ，求底面 BCD 的外接圆 r6；设圆心与球心距为 a根据圆心与球心构成直角三角形：可得：外接球的半径
26、第 16 页（共 25 页）外接球的表面积 S4R 2156故答案为：156【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养16 （5 分）数列a n中，若 a12， ， ，n N*，则数列|b n|的前n 项和为 2 n+24 【分析】根据数列a n的关系式递推，带入数列b n求解通项，即可求解数列|b n|的前n 项和【解答】解：由 ，n N*，那么 ， ，可得 ，整理可得：3b n+16b n即 由 a12，可得 b14，那么数列b n的通项 bn4（2） n1 ，则数列|b n|的通项| bn|4（2） n1 |42 n1 2 n+1，数列|b n|
27、的前 n 项和S n 2 n+24，故答案为：2 n+24【点评】本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的求解，考查了推理能力与计算能力，是中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且第 17 页（共 25 页）（1）求角 A；（2）若点 D 满足 ，且 BD3，求 2b+c 的取值范围【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出 A 的值（2）利用向量的共线和余弦定理及基本不等式的应用求出结果【解答】解：（1）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别
28、为 a，b，c，且： ，则： ，由于：sinA0，0A，整理得： ，所以：A （2）由于点 D 满足 ，且 BD3，所以：C 为线段 AD 的中点，则：在ABD 中，BD 2AB 2+AD22AB ADcosA，整理得：9（AB+BD） 23 ABBD，由于： ，则： ，所以：c+2b6，由于：c+2b3，所以：3c+2b6，即：2b+c 的取值范围为（3，6【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，向量共线问题的应用18 （12 分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品某企业有甲乙
29、两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测表 1 是甲套设备的样本频率分布表，图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图第 18 页（共 25 页）表 1：甲套设备的样本频数分布表质量指标值 95， 100） 100，105）105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 4 19 20 5 1图 1：乙套设备的样本频率分布直方图（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了 5000 件产品，则其中的不合格品约有多少件；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认
30、为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91 不合格品 2 7 99 合理 50 50 100 （3）根据表 1 和图 1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K2【分析】 （1）结合频数分布表，求出满足条件的概率即可；（2）求出 22 列联表，计算 k2 法值，判断即可；第 19 页（
31、共 25 页）（3）求出满足条件的概率，判断即可【解答】解：（1）由图 1 知，乙套设备生产的不合格品率约为0.0085+0.02050.14；（2 分）乙套设备生产的 5000 件产品中不合格品约为 50000.14700（件） ；（3 分）（2）由表 1 和图 1 得到列联表：甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91不合格品 2 7 9合计 50 50 100（5 分）将列联表中的数据代入公式计算得 K2 3.05，（8 分）且 3.052.706，有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（9 分）（3）由表 1 和图 1 知，甲套设备生产的合格品的概率约为
32、 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备（12 分）【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AB CD，AB 2DC 2 ，且PAD 与ABD 均为正三角形， E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心， ACBD F（1）求证：GF平面 PCD；（2）求三棱锥 GPCD
33、的体积第 20 页（共 25 页）【分析】 （1）连接 AG 并延长与 PD 交于 H，连接 CH，推导出DFCAFB，从而AF：FCAB ：DC2：1，由 G 是PAD 的重心，得 AG：GH2：1，进而GFHC，由此能证明 GF平面 PCD（2）三棱锥 GPCD 的体积 VGPCD VPACD 由此能求出结果【解答】证明：（1）连接 AG 并延长与 PD 交于 H，连接 CHABCD，DFCAFB，AF：FCAB：DC2：1G 是PAD 的重心，AG ：GH2：1GFHCHC平面 PCD，GF平面 PCD，GF 平面 PCD；（2）PAD 与ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，PE
34、AD ，平面 PAD平面 ABCD，PE平面 ABCD，AB2DC2 ，PE 3，底面 ABCD 为梯形，AB CD， ， ，三棱锥 GPCD 的体积 VGPCD 第 21 页（共 25 页）【点评】本题考查线面平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题20 （12 分）已知以点 C（0， 1）为圆心的动圆 C 与 y 轴负半轴交于点 A，其弦 AB 的中点D 恰好落在 x 轴上（1）求点 B 的轨迹 E 的方程；（2）过直线 y1 上一点 P 作曲线 E 的两条切
35、线，切点分别为 M，N ，求证：直线MN 过定点【分析】 （1）设 B（x ，y ） ，则 AB 的中点 D（ ） ，y0，从而 （ ，1） ，（ ） ，由 DCDB，能求出点 B 的轨迹 E 的方程（2）曲线 E 的方程为 x24y，设点 P（t，1） ，M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，求出过点M，N 的切线方程分别为 2（y+y 1）x 1x，2（y+y 2）x 2x，由点 P 在这两条切线上，求出直线 MN 的方程为 2（y1）tx，由此能证明直线 MN 过定点 C（0，1） 【解答】解：（1）设 B（x ，y ） ，则 AB 的中点 D（ ） ，y0，因为 C（0，1
36、） ，则 （ ，1） ， （ ） ，在圆 C 中，因为 DCDB， 0，所以 ，即 x24y（y0） ，所以点 B 的轨迹 E 的方程为 x24y （y0） 证明：（2）由已知条件可得曲线 E 的方程为 x24y ，设点 P（t，1） ，M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，y ，y ，过点 M，N 的切线方程分别为 yy 1 （x x 1） ，yy 2 （xx 2） ，第 22 页（共 25 页）由 4y1 ， ，上述切线方程可化为 2（y+y 1）x 1x，2（y+y 2）x 2x，点 P 在这两条切线上，2（y 11）tx 1，2（y+y 2） x2x，即直线 MN 的方程为
37、2（y1）tx，故直线 MN：2（y1）tx 过定点 C（0，1） 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点的证明，考查抛物线、直线方程、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）mlnxe x （m0） （1）若函数 f（x ）是单调函数，求实数 m 的取值范围；（2）证明：对于任意的正实数 a，b，当 ab 时，都有 【分析】 （1）先求出函数的定义域，再求导，根据函数 f（x）是单调函数，则 f（x）0 恒成立或若 f（x ）0 恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可求出 m 的范围，（2）结
38、合（1）的单调性，利用分析法结合不等式之间的关系利用放缩法进行证明【解答】解：（1）f（x ）mlnxe x （m0）的定义域为（0，+） ，f（x） +ex ，当 m0 时，f（x）0 恒成立，函数 f（x）单调递增，当 m0 时，若 f（x）0 恒成立，即 +ex 0，即 mxe x ，设 g（x）xe x ，g（x）e x （x 1） ，当 0x1 时，g（x ）0，函数 g（x ）单调递减，当 x1 时，g（x ）0，函数 g（x ）单调递增，g（x） ming（1） ，m ，若 f（x）0 恒成立，即 +ex 0，即 mxe x ，第 23 页（共 25 页）由上式可知，此时 g（x
39、）为无最大值，此时不满足，综上所述，若函数 f（x ）是单调函数，则实数 m 的取值范围为（， ）（0，+） ，证明：（2）当 m 时， f（x） lnxe x 在（0，+）上递减，0ba，f（b）f（a） ，即 lnbe b lnae a ，即 e1a e 1b lnblna，要证 只需要证明 lnblna1 ，令 t ，0t1则需要证明 lnt1 ，令 h（t）lnt+ 1，则 h（t） 0，则 h（t）在（0，1）上递减，又 h（1）0，h（t）0，即 lnt1 得证【点评】本题考查了导数和函数的单调性最值的关系，以不等式的证明，考查了运算能力和转化能力，综合性较强难度较大请考生在 22
40、、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）点 P 是曲线 C1：（ x2） 2+y24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转 90得到点 Q，设点Q 的轨迹为曲线 C2（1）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；第 24 页（共 25 页）（2）射线 ， （ 0）与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点，设定点 M（2，0） ，求MAB 的面积【分析】 （1）曲线 C1：（x 2） 2+y24 上，把互化公式代入可得：曲线 C1 的极坐标方程设 Q（， ）
41、 ，则 ，代入即可得出曲线 C2 的极坐标方程（2）M 到射线 的距离为 ，即可得出面积【解答】解：（1）曲线 C1：（ x2） 2+y24 上，把互化公式代入可得：曲线 C1 的极坐标方程为 4cos 设 Q（， ） ，则 ，则有 所以，曲线 C2 的极坐标方程为 4sin （2）M 到射线 的距离为 ，则 【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题选修 4-5：不等式选讲23已知实数 a，b 满足 a2+4b24（1）求证： ；（2）若对任意 a，bR，|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围【分析】 （1
42、）利用基本不等式证明；（2）利用基本不等式求出 ab 的最小值，得出|x +1|x3|1，再讨论 x 的范围解出x【解答】证明：（1）a |a| 2当且仅当 a0 且 a24+4b 2 时取等号解：（2）a 2+4b242 4|ab|，第 25 页（共 25 页）|ab | 1，ab 1 恒成立对任意 a，bR，|x +1|x 3| ab 恒成立，|x +1|x3|1 恒成立若 x1，则不等式为x 1（3x ）1，不等式恒成立；若1x3，不等式为 x+1（3x ）1，解得1 x ，若 x3，不等式为 x+1（x3）1，不等式无解综上，x 的取值范围是（， 【点评】本题考查 了不等式的证明，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题
