1、2018 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设 U 为全集，集合 A，B，C 满足 AC，B UC，则下列结论中不成立的是（ ）AAB B （ UA） B C （ UB）AA DA （ UB）U2 （5 分）若复数 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为（ ）A3 B3 C D3 （5 分）下列命题中错误的是（ ）A若命题 p：x 0R，使得 ，则p： xR，都有 x20B若随机变量 XN（2， 2） ，则 P（X2）0.5C
2、设函数 f（x）x 22 x（x R） ，则函数 f（x）有两个不同的零点D “ab”是“a+c b+c ”的充分必要条件4 （5 分）椭圆 （ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是F1，F 2若| AF1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D5 （5 分）公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术” ，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” ，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输
3、出 n 的值为（ ）（参考数据：sin150.2588 ，sin7.5 00.1305）第 2 页（共 28 页）A6 B12 C24 D486 （5 分）已知 a2 1.1，b5 0.4， ，则（ ）Abca Bacb Cbac Dabc7 （5 分）已知函数 （a0 且 a1） ，若函数 f（x）的图象上有且仅有一对关于 y 轴对称，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B （1，3）C （0，1）（1，3） D （0，1） （3，+）8 （5 分）某校组织高一年级 8 个班级的 8 支篮球队进行单循环比赛（每支球队与其他 7支球队各比赛一场）
4、，计分规则是：胜一局得 2 分，负一局得 0 分，平局双方各得 1 分，下面关于这 8 支球队的得分叙述正确的是（ ）A可能有两支球队得分都是 14 分B各支球队最终得分总和为 56 分C各支球队中最高得分不少于 8 分D得奇数分的球队必有奇数个9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）第 3 页（共 28 页）A72 B48 C24 D1610 （5 分）已知函数 f（x ）2sin（x+）+1（0， | ） ，其图象与直线 y1相邻两个交点的距离为 若 f（x）1 对任意 x（ ， ）恒成立，则 的取值范围是（ ）A ， B ，
5、 C ， D （ ， 11 （5 分）已知不等式 ，表示的平面区域为 D，若存在点 P（x 0，y 0） D，使得 ，则实数 m 的取值范围是（ ）A （2，4 B4，2） C （4，2） D2 ，412 （5 分）若对任意的 xR，都有 成立，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）在（x 2+2x+y） 5 的展开式中，x 5y2 的系数为 14 （5 分）设 P 为双曲线 上一点，F 1，F 2 分别是双曲线的左右焦点，若|PF1|2| P
6、F2|，则 cosPF 2F1 15 （5 分）已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球，BC3， AB2 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD3BE，过点 E 作球第 4 页（共 28 页）O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 16 （5 分）ABC 中， ，且 ，若 ，则实数m 的值是 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知数列na n的前 n 项和 ，数列b n的
7、前 n 项和为 Tn，且（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn18 （12 分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测表 1 是甲套设备的样本频率分布表，图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图表 1：甲套设备的样本频数分布表质量指数值 95，100）100，105） 105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 4 19 20 5 1图 1：乙套设备的样本
8、频率分布直方图（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品 不合格品 合计 （2）根据表 1 和图 1，对甲、乙两套设备的优劣进行比
9、较；（3）将频率视为概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不合格品的个数为 X，求 X 的期望 E（X） 附：第 5 页（共 28 页）P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.24 6.635K219 （12 分）如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是圆内接四边形，CBCDCE1， ，ECBD（1）求证：平面 BED平面 ABCD；（2）若点 P 在侧面 ABE 内运动，且 DP平面 BEC，求直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值20 （12 分）已知平面曲线
10、C 上任意一点到点 F（0，1）和直线 y1 的距离相等，过直线 y1 上一点 P 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 A，B（1）求证：直线 AB 过定点 F；（2）若直线 PF 交曲线 C 于 D，E 两点， ， ，求 + 的值21 （12 分）已知 f（x ）ln（ax+b）+x 2（a0） （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 yx，求 a，b 的值；第 6 页（共 28 页）（2）若 f（x） x 2+x 恒成立，求 ab 的最大值请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）点 P
11、是曲线 C1：（ x2） 2+y24 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转 90得到点 Q，设点Q 的轨迹为曲线 C2（1）求曲线 C1，C 2 的极坐标方程；（2）射线 ， （ 0）与曲线 C1，C 2 分别交于 A，B 两点，设定点 M（2，0） ，求MAB 的面积选修 4-5：不等式选讲23已知实数 a，b 满足 a2+4b24（1）求证： ；（2）若对任意 a，bR，|x +1|x3| ab 恒成立，求实数 x 的取值范围第 7 页（共 28 页）2018 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一
12、、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设 U 为全集，集合 A，B，C 满足 AC，B UC，则下列结论中不成立的是（ ）AAB B （ UA） B C （ UB）AA DA （ UB）U【分析】作出维恩图，数形结合，能求出结果【解答】解：由 U 为全集，集合 A，B，C 满足 AC，B UC，知：在 A 中，A B，故 A 正确；在 B 中，作出维恩图，得（ UA）B，故 B 正确；在 C 中，作出维恩图，得（ UB）AA，故 C 正确；在 D 中，A（ UB） U（ UA）CU ，故 D
13、 错误故选：D【点评】本题考查集合间的包含关系的判断，考查集合性质、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）若复数 的实部与虚部相等，则实数 a 的值为（ ）A3 B3 C D【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出【解答】解：复数 + i 的实部与虚部相等， ，解得 a 故选：D【点评】本题考查了复数的运算法则、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，第 8 页（共 28 页）属于基础题3 （5 分）下列命题中错误的是（ ）A若命题 p：x 0R，使得 ，则p： xR，都有 x20B若随机变量 XN（2， 2） ，
14、则 P（X2）0.5C设函数 f（x）x 22 x（x R） ，则函数 f（x）有两个不同的零点D “ab”是“a+c b+c ”的充分必要条件【分析】A，根据特称命题的否定是全称命题，判断正误即可；B，根据正态分布的图象与性质，判断正误即可；C，在同一坐标系下画出函数 yx 2 和 y2 x 的图象，看图象交点的个数即可；D，判断充分性和必要性是否成立即可【解答】解：对于 A，命题 p：x 0R，使得 ，根据特称命题的否定是全称命题知，p：xR，都有 x20，A 正确；对于 B，随机变量 XN（2， 2） ，其图象关于 x2 对称，P（X2）0.5，B 正确；对于 C，函数 f（x）x 22
15、 x（x R） ，在同一坐标系下画出函数 yx 2 和 y2 x 的图象，如图所示两函数有 3 个不同的交点，则函数 f（x）有 3 个不同的零点，C 错误；对于 D， “ab”时， “a+c b+c”成立，“a+cb+c”时， “ab”成立，是充分必要条件，D 正确故选：C第 9 页（共 28 页）【点评】本题主要考查了充分必要条件的定义和判断，命题的否定，函数的零点，以及正态分布的性质，是综合题4 （5 分）椭圆 （ab0）的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是F1，F 2若| AF1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A B C D【分
16、析】由题意可得，|AF 1|ac，|F 1F2|2c，| F1B|a +c，由| AF1|，|F 1F2|，|F 1B|成等比数列可得到 e2 ，从而得到答案【解答】解：设该椭圆的半焦距为 c，由题意可得，|AF1|a c，|F 1F2|2c，|F 1B|a+c，|AF 1|， |F1F2|，|F 1B|成等比数列，（2c） 2（ac ） （a+c ） ， ，即 e2 ，e ，即此椭圆的离心率为 故选：B【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查等比数列的性质，用 a，c 分别表示出第 10 页（共 28 页）|AF1|，|F 1F2|， |F1B|是关键，属于基础题5 （5 分）公元 263 年左
17、右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术” ，利用“割圆术” ，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率” ，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出 n 的值为（ ）（参考数据：sin150.2588 ，sin7.5 00.1305）A6 B12 C24 D48【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n3，S sin120 ，不满足条件 S3.10，n6，S3sin60 ，不满足条件 S3.10，n12，S6sin
18、303，不满足条件 S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件 S3.10，退出循环，输出 n 的值为 24故选：C【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题6 （5 分）已知 a2 1.1，b5 0.4， ，则（ ）Abca Bacb Cbac Dabc第 11 页（共 28 页）【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解【解答】解：a2 1.12 12，15 0b5 0.4 2，lne1，abc故选：D【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函
19、数与方程思想，是基础题7 （5 分）已知函数 （a0 且 a1） ，若函数 f（x）的图象上有且仅有一对关于 y 轴对称，则实数 a 的取值范围是（ ）A （0，1） B （1，3）C （0，1）（1，3） D （0，1） （3，+）【分析】由题意，0a1 时，显然成立；a1 时，f（x）log ax 关于 y 轴的对称函数为 g（x）log a（x） ，则 loga31，即可得到结论【解答】解：由题意，0a1 时，显然成立；a1 时，f（x） logax 关于 y 轴的对称函数为 g（x）log a（x） ，则 loga31，1a3，综上所述，a 的取值范围是（0，1）（1，3）
20、 ，故选：C【点评】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性以及数形结合的思维能力，属于中档题8 （5 分）某校组织高一年级 8 个班级的 8 支篮球队进行单循环比赛（每支球队与其他 7支球队各比赛一场） ，计分规则是：胜一局得 2 分，负一局得 0 分，平局双方各得 1 分，下面关于这 8 支球队的得分叙述正确的是（ ）A可能有两支球队得分都是 14 分B各支球队最终得分总和为 56 分C各支球队中最高得分不少于 8 分D得奇数分的球队必有奇数个第 12 页（共 28 页）【分析】在 B 中，组织高一年级 8 个班级的 8 支篮球队进行单循环比赛，一共有28 场比赛，每场比赛的总得分
21、都是 2 分，各支球队最终得分总和为 56 分【解答】解：在 A 中，只有球队与其他 7 支球队各比赛一场取得全胜，才得 14 分，不可能有两支球队同时取得全胜成绩，故不可能有两支球队得分都是 14 分，故 A 错误；在 B 中，组织高一年级 8 个班级的 8 支篮球队进行单循环比赛，一共有 28 场比赛，每场比赛的总得分都是 2 分，各支球队最终得分总和为 56 分，故 B 正确；在 C 中，如果所有的比赛都是平局，则 8 支球队都得 7 分，故 C 错误；在 D 中，如果所有的比赛都是平局，则 8 支球队都得 7 分，故 D 错误故选：B【点评】本题考查简单的合乎情理的逻辑推理，考查合情推
22、理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A72 B48 C24 D16【分析】如图所示，该几何体为四棱锥 PABCD其中底面 ABCD 是直角梯形，CDAB，ABAD，PA底面 ABCD【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥 PABCD其中底面 ABCD 是直角梯形，CD AB，ABAD，PA底面 ABCD第 13 页（共 28 页）该几何体的体积 V 4 24故选：C【点评】本题考查了四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10 （5 分）已知函数 f（x ）2sin
23、（x+）+1（0， | ） ，其图象与直线 y1相邻两个交点的距离为 若 f（x）1 对任意 x（ ， ）恒成立，则 的取值范围是（ ）A ， B ， C ， D （ ， 【分析】由题意求得 sin（x+）1，函数 ysin（x+ ）的图象和直线 y1 邻两个交点的距离为 ，根据周期性求得 的值，可得 f（x）的解析式再根据当x（ ， ）时，f（x ） 1，可得 sin（2x+）0，故有 +2k，且 +2k +，由此求得 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）2sin（x+）+1（0，| ）的图象与直线 y1相邻两个交点的距离为 ，令 2sin（x+）+11，即 sin（ x+）1
24、，即 函数 ysin（ x+）的图象和直线 y1 邻两个交点的距离为 ，故 T ，求得 2，f（x ）2sin（2x+）+1 由题意可得，当 x（ ， ）时，f（x）1，即 sin（2x +）0，故有 +2k ，且 +2k +，求得 2k + ，且 2k + ，kZ，第 14 页（共 28 页）故 的取值范围是2k+ ，2k + ，kZ ，结合所给的选项，故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的图象特征，解三角不等式，属于基础题11 （5 分）已知不等式 ，表示的平面区域为 D，若存在点 P（x 0，y 0） D，使得 ，则实数 m 的取值范围是（ ）A （2，4
25、 B4，2） C （4，2） D2 ，4【分析】作出不等式组对应的平面区域，讨论 x 的符号，将 转化为分段函数形式，利用平移法进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若 x0，则 y2x +m，平移直线 y2x +m，由图象知当 x0 时，经过 C（2，0）时，直线截距最小，此时 m 最小，此时 my2x4，此时4m ，经过 A（0，2）时，截距最大，m 最大，m y2x 2，解得 m2，综上4m2当 x0，则 y2x m，平移直线 y2x m，直线经过 D（0，1）时，直线的截距最大，此时 m 最小，此时 m2xy1，此时 m1，当直线经过点（1，0）时，直线的截距最大，此
26、时 m 最小，此时 m2xy2，综上4m2，故选：B第 15 页（共 28 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件讨论 x 的符号是解决本题的关键12 （5 分）若对任意的 xR，都有 成立，则实数 k 的取值范围是（ ）A B C D【分析】对任意的 xR，都有 成立，即为xex+k（ x2+2x+1）2sin （ x+ ）2k恒成立，设函数 H（x）xe x+k（x 2+2x+1） ，利用导数 H'（x） ，判断 H（x）的单调性，求出 H（x）的最值，判断不等式是否恒成立，从而求出 k 的取值范围【解答】解：对任意的 xR，都有 成立，即为 xex+k（x
27、 2+2x+1）2sin（ x+ ）2k恒成立，设函数 H（x）xe x+k（x 2+2x+1） ，则 H'（x）（ x+1） （e x+2k） ，（1）设 k0，此时 H'（x）e x（x+1） ，当 x1 时 H'（x）0，当 x1 时 H'（x）0，故 x1 时 H（x）单调递减，x1 时 H（x）单调递增，故 H（x）H （1）e 1 ；第 16 页（共 28 页）而当 x1 时 2sin（ x+ ）取得最大值 2，并且e 1 2，故式不恒成立；（2）设 k0，注意到 H（2） +k，2sin（ + ）2k 2k +k，故式不恒成立；（3）设 k0，H
28、'（x）（x+1） （e x+2k） ，此时当 x1 时 H'（x）0，当 x1 时 H'（x）0，故 x1 时 H（x）单调递减，x1 时 H（x）单调递增，故 H（x）H （1） ；而当 x1 时 2sin（ x+ ）的最大值为 2，故若使式恒成立，则 22k，解得 k1+ 故选：D【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了构造函数思想与等价转化问题，是综合题二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）在（x 2+2x+y） 5 的展开式中，x 5y2 的系数为 60 【分析】把（x 2+2x+y） 5 化简成二
29、项式机构，利用通项公式可得答案【解答】解：由（x 2+2x+y） 5 化简为x 2+2x）+y，由通项公式 Tr+1 ，要出现 y2，r2二项式（x 2+2x） 3 展开式中出现 x5由通项公式 Tk+1 ，2（3k）+k 5，可得：k1x 5y2 的系数为 60第 17 页（共 28 页）故答案为：60【点评】本题主要考查二项式定理对三项式的处理能力的应用，考查了二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于中档题14 （5 分）设 P 为双曲线 上一点，F 1，F 2 分别是双曲线的左右焦点，若|PF1|2| PF2|，则 cosPF 2F1 【分析】根
30、据题意，由双曲线的标准方程可得 a、b、c 的值，由双曲线的定义可得|PF1| |PF2| 2a2 ，又由| PF1|2| PF2|，分析可得|PF1|4 ，|PF 2|2 ，|F 1F2|2c4，由余弦定理分析可得答案【解答】解：根据题意，双曲线 中，ab ，c 2，P 为双曲线 上一点，F 1，F 2 分别是双曲线的左右焦点，则|PF 1|PF 2|2a2 ，又由| PF1|2| PF2|，则|PF 1| 4 ，| PF2|2 ，|F 1F2|2c4，则 cosPF 2F1 ；故答案为： 【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是求出|PF 1|、 |PF2|的值15 （5 分）已知球 O
31、是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD 的外接球，BC3， AB2 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD3BE，过点 E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 2 【分析】设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE，可得R23+（3R） 2，解得 R2，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，即可求解【解答】解：如图，设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R，连接 O1D，OD，O 1E，OE ，则 O1D3sin60 ，AO 1 3，在 Rt OO1D 中，R 23+（3R）
32、 2，解得 R2，第 18 页（共 28 页）BD3BE，DE2，在DEO 1 中， O1E 1，OE ，过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 ，最小面积为 2故答案为：2【点评】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题16 （5 分）ABC 中， ，且 ，若 ，则实数m 的值是 【分析】 【分析】利用已知条件求出 G 是三角形的重心，利用余弦定理可得三角形的三边关系，再求得 2sinAsinBcosC4sin 2C，利用同角三角函数的基本关系求得结果【解答】解
33、：ABC 中，A、B、C 所对的边是 a、b、c，由 + + ，可得 G 是三角形的重心； 0，GAGB；如图所示，则 ADDB DG CG，AC2AD 2+CD22ADCDcosADC，BC2BD 2+CD22BDCDcos（ADC） ，第 19 页（共 28 页）可得 AC2+BC2AD 2+CD2+BD2+CD220AD 2即 a2+b25c 2，可得 sin2A+sin2B5sin 2C由余弦定理可得 cosC ，可得 2sinAsinBcosC4sin 2C； 2， ，再根据 ，m 实数 m 的值为 故答案为： 【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理和同角三角函数的基本关系应用问题，是
34、综合题三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （12 分）已知数列na n的前 n 项和 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，且（1）求数列a n的通项公式；（2）求 Tn【分析】 （1）数列na n的前 n 项和 ， n1 时，a 12n2 时，nanS nS n1 ，化简即可得出第 20 页（共 28 页）（2）由 an2 n 代入 可得 n（n+2） ，化为：bn 利用裂项求和方法即可得出【解答】解：（1）数列na n的前 n 项和 ，n1 时，a 12n2 时，na nS nS n1 （n1）2 n+1+2（n2）2 n+2，化为：
35、a n2 nn1 时上式也成立a n2 n（2）由 an2 n 代入 可得 n（n+2） ，化为：b n T n + + + 【点评】本题考查了数列递推关系、对数运算性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，对规定的质量指标值进行检测表 1 是甲套设备的样本频率分布表，图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图表 1：甲套设备的样本频数分布表质量指
36、数值 95，100）100，105） 105，110）110，115）115，120）120，125频数 1 4 19 20 5 1图 1：乙套设备的样本频率分布直方图（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标第 21 页（共 28 页）值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 50 50 100 （2）根据表 1 和图 1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为
37、概率，若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到的不合格品的个数为 X，求 X 的期望 E（X） 附：P（K 2k 0） 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.24 6.635K2【分析】 （1）根据题意，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据表 1 和图 1 分析数据特征与离散程度，即可得出结论；（3）由题知 XB（3， ） ，求出数学期望即可【解答】解：（1）根据表 1 和图 1 得到列联表：甲套设备 乙套设备 合计合格品 48 43 91不合格品 2 7 9第 22 页（共 28 页）合计 50
38、 50 100（3 分）将列联表中的数据代入公式计算得 K2 3.053；（5 分）且 3.0532.706，有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；（6 分）（2）根据表 1 和图 1 可知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的合格品的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；（9 分）（）由题知，不合格品的概率为 P ，且 XB（3， ） ，（11 分）X 的数学期望为 E（X
39、）3 （12 分）【点评】本题主要考查了统计与概率的相关知识应用问题，也考查了对数据处理能力的应用问题19 （12 分）如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是圆内接四边形，CBCDCE1， ，ECBD（1）求证：平面 BED平面 ABCD；（2）若点 P 在侧面 ABE 内运动，且 DP平面 BEC，求直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值第 23 页（共 28 页）【分析】 （1）推导出 ACBD，从而 EOAC，EOBD，由此能证明直线 EO平面ABCD即可证明（2）取 AE 的中点 M，AB 的中点 N，连接 MN，ND，可得点 P 在线段 MN 上以 O 为原点
40、，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线 DP 与平面 ABE 所成角的正弦值的最大值【解答】证明：（1）连接 AC，BD，交于点 O，连接 EO，ADAB，CDCB，ACBD ，又ECDB，ECACC，DB面 AEC，从而 BDOE，又 AC 是直径，ADC ABC90，由 AD ，CD1，解得， AO ，则 ，故 EOAC；故 EO平面 ABCD，平面 BED平面 ABCD（5 分）解：（2）取 AE 的中点 M，AB 的中点 N，连接 MN，ND，则 MNBE，且 MN平面 EBC，MN平面 EBC；而 DNAB ，B
41、CAB ，DNBC ，且 DN平面 EBC，DN平面 EBC综上所述，平面 DMN平面 EBC，点 P 在线段 MN 上如图建立空间直角坐标系，则 A（ ，0，0） ，B（0， ，0） ，E（0，0， ） ，（ ， ，0） ， （ ，0， ） ，设平面 ABE 法向量为 （x，y，z） ，则 ，取 （1， ） ，设 ，可得 + （ ， ， ） ，设直线 DP 与平面 ABE 所成角为 ，则 sin 01当 0 时，sin 的最大值为 第 24 页（共 28 页）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等
42、基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20 （12 分）已知平面曲线 C 上任意一点到点 F（0，1）和直线 y1 的距离相等，过直线 y1 上一点 P 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 A，B（1）求证：直线 AB 过定点 F；（2）若直线 PF 交曲线 C 于 D，E 两点， ， ，求 + 的值【分析】 （1）根据 P 到点 F（0，1）的距离与到直线 l：y1 的距离相等满足抛物线的定义，可直接得到曲线 C 的方程（2）设 D，E 两点的坐标分别为（ x1，y 1） ， （x 2，y 2） ，由 及 ， ，可得 ， +（） 0【解答】解：（1）P 到点 F（0，1）的
43、距离与到直线 l：y1 的距离相等，曲线 C 是以 F（0，1）为焦点，直线 y1 为准线的抛物线，其方程为 x24y抛物线方程可化为 y ，求导得 y x，设点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x1， x2，PA 的方程为 yy 1 （ xx 1） ，即 x1x2y2y 10同理 PB 的方程为 x2x2y2y 20，第 25 页（共 28 页）切线 PA，PB 均过 P（x 0， 1） ，x 1x0+22y 10，x 2x0+22y 20（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）为方程 x0x2y +20 的两组解，直线 AB 的方程为 x
44、0x2y+20，直线 AB 过定点 F（0，1） （2）设 D，E 两点的坐标分别为（ x1，y 1） ， （x 2，y 2） ，由 x24kx40，x 1x24k ，x 1x24， ， ，P（ ）得（x 1，1y 1）（x 2， y21） ， （ x 1，1y 1）（x 2+ ，y 2+1） ，于是 ， 所以 +（ ） 0所以 + 为定值 0【点评】本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题21 （12 分）已知 f（x ）ln（ax+b）+x 2（a0） （1）若曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 yx，求 a，b 的值；（2
45、）若 f（x） x 2+x 恒成立，求 ab 的最大值【分析】 （1）求出 f（x ） +2x，利用导数的几何意义列出方程组，能求出第 26 页（共 28 页）a，b 的值（2）设 g（x）f（x）（x 2+x） ，则 g（x）ln（ax+b）x，依题意 g（x）0 恒成立，根 a0，a0 两种情况分类讨论，利用导数性质能求出 ab 的最大值【解答】解：（1）f（x ）ln （ax+b）+x 2（a0） ，f （x ） +2x，曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 yx， 解得，a1，b2；（2）设 g（x）f（x）（x 2+x） ，则 g（x）ln（ax+b）x，依题意 g（
46、x）0 恒成立，a0 时，g（ x）定义域（， ） ，取 x0 使得 ln（ax 0+b） +1，得 x0则 g（x 0）ln （ax 0+b）x 0g（ ） 10，与 g（x）0 矛盾，a0 不符合要求，a0 时， ，且 ax+b0当 时，g'（x）0；当 x 时，g'（x）0，g（x）在区间（ ， ）上为增函数，在区间（ ，+）上为减函数，g（x）在其定义域（ ，+）上有最大值，最大值为 g（ ） ，由 g（x）0，得 g（ ）lna 0，baalna，aba 2a 2lna，设 h（a）a 2a 2lna，则 h'（a）2a（2alna +a）a（12lna） ，0 时，h（a）0，a 时，h'（a）0，h（a）在区间（0， ）上为增函数，在区间（ ，+）上为减函数，h（a）的最大值为 h（ ）e ，当 a ，b 时，ab 取最大值为 ，综合 ， 得， ab 最大值为 第 27 页（共 28 页）【点评】本题考查导数性质、导数的几何意义、构造法、函数单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，是难题请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）点 P 是曲线 C1：（ x2）
