1、章末复习学习目标 1.梳理本章知识要点，构建知识网络.2.进一步理解并掌握圆锥曲线的定义、标准方程及简单性质.3.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F1，F 2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合平面内到两定点F1，F 2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F2|)的点的集合平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过点 F)距离相等的点的集合标准方程 1x2a2 y2b2或 1y2a2 x2b2(ab0) 1x2a2 y2b2或 1y2a2 x2b2(a0，b0
2、)y22px 或 y2 2px 或x22py 或 x2 2py(p0)关系式 a2b 2c 2 a2b 2c 2图形 封闭图形无限延展，但有渐近线 y x 或 y xba ab 无限延展，没有渐近线变量范围|x|a ，| y| b 或|y|a，| x|b|x|a 或| y|ax0 或 x0 或 y0 或y0对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个离心率 e ，且 01cae1决定形状的因素e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小2.椭圆的焦点三角形设 P 为椭圆 1(ab0)上任意一点(不在 x 轴上)，F 1，F 2 为焦点且F 1PF2，则
3、x2a2 y2b2PF1F2 为焦点三角形 (如图)(1)焦点三角形的面积 Sb 2tan .2(2)焦点三角形的周长 L2a 2c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线 1(a0 ，b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 0(a0，b0)，即 y x；双曲线 1( a0，b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 0(a0，b0)，即 y x.y2a2 x2b2 ab(2)当双曲线的渐近线为 0 时，它的双曲线方程可设为 (0)xayb x2a2 y2b24抛
4、物线的焦点弦问题抛物线过焦点 F 的弦长|AB|的一个重要结论(1)y22px(p0) 中，| AB|x 1x 2p.(2)y22px(p0)中，| AB| x1x 2p.(3)x22py(p0) 中，| AB|y 1y 2p.(4)x22py(p0)中，| AB| y1y 2p.5三法求解离心率(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线) 的焦点在 x 轴上还是 y 轴上，都有关系式 a2b 2c 2(a2b 2c 2)以及 e ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，ca这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是
5、求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆( 双曲线)的定义、简单性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观6直线与圆锥曲线位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等1设 A，
6、B 为两个定点，k 为非零常数，| PA| PB|k，则动点 P 的轨迹为双曲线( )2若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切( )3方程 2x25x 20 的两根 x1，x 2(x1x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ( )4已知方程 mx2ny 21，则当 mn 时，该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆( )5抛物线 y4ax 2(a0)的焦点坐标是 .( )(0，116a)类型一 圆锥曲线定义的应用例 1 若 F1，F 2 是双曲线 1 的两个焦点，P 是双曲线上的点，且 |PF1|PF2|32，试x29 y216求F 1PF2 的面积考点 双曲线的定义题点 双曲线的焦点三角形解 由
7、双曲线方程 1，x29 y216可知 a3，b4，c 5.a2 b2由双曲线的定义，得|PF 1| PF2|6，将此式两边平方，得|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|36，所以|PF 1|2| PF2|2362|PF 1|PF2|36232100.如图所示，在F 1PF2 中，由余弦定理，得cos F 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 0，所以F 1PF290，100 1002|PF1|PF2|所以 |PF1|PF2| 3216.12PSA12 12引申探究将本例的条件|PF 1|PF2|32 改为| PF1|PF 2|13，求F 1PF2 的
8、面积解 由条件知Error!所以Error!所以 cos F 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| .9 81 100239 527所以 sin F 1PF2 ，81127所以 |PF1|PF2|sin F 1PF212PSA12 39 4 .12 81127 11即F 1PF2 的面积为 4 .11反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决跟踪训练 1 (1)已知椭圆 y 21(m1)和双曲线 y 2 1(n0)有相同的焦点 F1，F 2，Px2m x2n是它们的一个交点，则F 1PF2 的形状是( )A
9、锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 m，n 变化而变化考点 椭圆与双曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 B解析 设 P 为双曲线右支上的一点对椭圆 y 21(m1)，c 2m1，x2m|PF1|PF 2|2 ，m对双曲线 y 21，c 2n 1，x2n|PF1|PF 2|2 ，n|PF 1| ，|PF 2| ，m n m n|F1F2|2 4c22(mn) ，而|PF 1|2| PF2|22( mn)4 c2|F 1F2|2，F 1PF2 是直角三角形，故选 B.(2)已知动点 M 的坐标满足方程 5 |3x4y 12|，则动点 M 的轨迹是( )x2 y2A椭圆 B双曲线
10、C抛物线 D以上都不对考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程答案 C解析 把轨迹方程 5 |3x4y12| 写成 .x2 y2 x2 y2|3x 4y 12|5所以动点 M 到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相等，且直线 3x4y120不经过原点，所以动点 M 的轨迹是以原点为焦点，直线 3x4y12 0 为准线的抛物线类型二 圆锥曲线的性质及其应用例 2 (1)已知 ab0，椭圆 C1 的方程为 1，双曲线 C2 的方程为 1，C 1 与x2a2 y2b2 x2a2 y2b2C2 的离心率之积为 ，则 C2 的渐近线方程为( )32Ax y0 B. xy02 2C
11、x2y0 D2xy0(2)已知抛物线 y24x 的准线与双曲线 y 21 交于 A，B 两点，点 F 为抛物线的焦点，若x2a2FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是_考点 圆锥曲线的综合应用题点 圆锥曲线的综合应用答案 (1)A (2) 6解析 (1)ab0，椭圆 C1 的方程为 1，x2a2 y2b2C1 的离心率为 ，a2 b2a双曲线 C2 的方程为 1，C 2 的离心率为 .x2a2 y2b2 a2 b2aC 1 与 C2 的离心率之积为 ，32 ，a2 b2a a2 b2a 32 2 ， ，(ba) 12 ba 22C 2 的渐近线方程为 y x，22即 x y0.2(2)抛物
12、线 y24x 的准线方程为 x1，又FAB 为直角三角形，则只有AFB 90 ，如图，则 A(1,2) 应在双曲线上，代入双曲线方程可得 a2 ，15于是 c .a2 165故 e .ca 6反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利解决跟踪训练 2 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 1(ab0)的右焦点，直x2a2 y2b2线 y 与椭圆交于 B，C 两点，且BFC 90 ，则该椭圆的离心率是_b2考点 椭圆简单性质的应用题点 求椭圆离心率的值答案 63解析 由Error!可得 B ，C
13、.( 32a，b2) ( 32a，b2)又由 F(c,0)，得 ，FB ( 32a c，b2) .FC ( 32a c，b2)因为BFC90，所以 0，FB FC 化简可得 2a23c 2，即 e2 ，c2a2 23故 e .63(2)已知抛物线 x28y 的焦点 F 到双曲线 C： 1( a0，b0)的渐近线的距离为 ，x2a2 y2b2 455点 P 是抛物线 x28y 上的一动点， P 到双曲线 C 的右焦点 F2 的距离与到直线 y2 的距离之和的最小值为 3，则该双曲线的标准方程为_考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合的有关问题答案 y 21x24解析 抛物线焦点为 F(
14、0,2)，准线为 y2，双曲线 C： 1(a0，b0)的一条渐近线方程为 y x，x2a2 y2b2 ba依题意可得 ，| 2a|a2 b2 455即 ，ac 25又 P 到双曲线 C 的右焦点 F2 的距离与到直线 y2 的距离之和的最小值为 3，所以|PF| PF2|FF 2|3，在 Rt FOF2 中，|OF 2| ，32 22 5所以 c ，所以 a2，b 1，5所以双曲线方程为 y 21.x24类型三 直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆 1(ab0)上的点 P 到左，右两焦点 F1，F 2 的距离之和为 2 ，离心x2a2 y2b2 2率为 .22(1)求椭圆的标准方程；(2)
15、过右焦点 F2 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若 y 轴上一点 M 满足| MA|MB|，求直(0，37)线 l 的斜率 k 的值考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆位置关系的综合应用解 (1)由题意知，| PF1|PF 2|2a2 ，2所以 a .2又因为 e ，所以 c 1，ca 22 22 2所以 b2a 2c 2211，所以椭圆的标准方程为 y 21.x22(2)已知 F2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为 yk (x1)，A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，联立直线与椭圆的方程得Error!化简得(12k 2)x24k 2x2k 220，8k 2 80，所
16、以 x1x 2 ，4k21 2k2y1y 2k(x 1x 2)2k . 2k1 2k2所以 AB 的中点坐标为 .(2k21 2k2， k1 2k2)当 k0 时，AB 的中垂线方程为y ， k1 2k2 1k(x 2k21 2k2)因为|MA| |MB|，所以点 M 在 AB 的中垂线上，将点 M 的坐标代入直线方程得， ，37 k1 2k2 2k1 2k2即 2 k27k 0，3 3解得 k 或 k ；336当 k0 时，AB 的中垂线方程为 x0，满足题意所以斜率 k 的取值为 0， 或 .336反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法(1)函数法：用其他
17、变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围跟踪训练 3 已知椭圆 C： 1(ab0)的右焦点为( ，0) ，离心率为 .x2a2 y2b2 2 63(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆经过原点 O，求证：点 O 到直线 AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，求OAB 面积的最大值考点 转化与化归思想的应用题点 转化与化归思想的应用(1)解 因为椭圆的右焦点为( ，0) ，离心率为 ，263所以Error!所以 a ，b1.3所以椭圆 C 的方程
18、为 y 21.x23(2)证明 设 A(x1，y 1)，B(x 2， y2)，当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykxm，代入椭圆方程，消元可得(13k 2)x26kmx3m 230，所以 x1x 2 ，x 1x2 ，6km1 3k2 3m2 31 3k2因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，所以 0.OA OB 所以 x1x2y 1y20，即(1k 2)x1x2km (x1x 2)m 20，所以(1k 2) km m 20，3m2 31 3k2 6km1 3k2所以 4m23(k 21)，由 36 k2m24(13k 2)(3m23)0，得 12k244m 2，代入 4m2
19、3(k 21)，得 9k210，所以 0 恒成立所以原点 O 到直线的距离为 d .|m|k2 1 32当直线 AB 斜率不存在时，由椭圆的对称性可知 x1x 2，y 1y 2，因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，所以 0，所以 x1x2y 1y20，OA OB 所以 x y 0，21 21因为 x 3y 3，所以|x 1| |y1| ，21 2132所以原点 O 到直线的距离为 d|x 1| ，32综上，点 O 到直线 AB 的距离为定值(3)解 当直线 AB 的斜率存在时，由弦长公式可得|AB| |x1x 2|1 k2 1 k236k2 12m2 121 3k22 2，3 129k2 1
20、k2 63 126 2 9k21k2当且仅当 k 时，等号成立，33所以|AB|2.当直线 AB 斜率不存在时，|AB|y 1y 2| Bm112Cm1 Dm 2考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求参数答案 C解析 双曲线 x2 1 的离心率 e .y2m 1 m又因为 e ，所以 ，所以 m1.2 1 m 22中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A. 1 B. 1x281 y272 x281 y29C. 1 D. 1x281 y225 x281 y236考点 椭圆的标准方程题点 求椭圆的标准方程答案 A解析 两焦点恰好将长轴
21、三等分，2a18，2c 2a6，c 3，13又 b2a 2c 272，故椭圆的方程为 1.x281 y2723已知椭圆 C： 1(ab0)的左、右焦点为 F1，F 2，离心率为 ，过 F2 的直线 l 交x2a2 y2b2 33C 于 A，B 两点若AF 1B 的周长为 4 ，则 C 的方程为( )3A. 1 B. y 21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24考点 椭圆的标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 A解析 根据题意，因为AF 1B 的周长为 4 ，3所以|AF 1| AB|BF 1|AF 1| AF2| BF1|BF 2|4a4 ，3所
22、以 a .3又因为椭圆的离心率 e ，ca 33所以 c1，b 2a 2c 2312，所以椭圆 C 的方程为 1.x23 y224设椭圆 1 (m0，n0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心率为 ，则此x2m2 y2n2 12椭圆的标准方程为_考点 圆锥曲线的综合应用题点 椭圆与抛物线的综合应用答案 1x216 y212解析 y 28x 的焦点为(2,0)， 1 的右焦点为(2,0)，x2m2 y2n2m n 且 c2.又 e ，m4.12 2mc 2m 2n 24，n 212.椭圆方程为 1.x216 y2125抛物线 x22py (p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于
23、A，B 两点，若x23 y23ABF 为等边三角形，则 p_.考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 6解析 如图，在正三角形 ABF 中，DF p，BD p，33所以 B 点坐标为 .(33p， p2)又点 B 在双曲线上，故 1，解得 p6.p233p243在解决圆锥曲线问题时，待定系数法， “设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好地解决了计算的繁杂、琐碎问题一、选择题1双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )x2a2 y2b2A2 B. 3C. D.232考点 双曲线的
24、简单性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 双曲线 1 的两条渐近线方程为 y x.x2a2 y2b2 ba依题意 1，故 1.ba( ba) b2a2所以 1，即 e22，所以双曲线的离心率 e .c2 a2a2 22方程 1 所表示的曲线是( )x2sin 1 y22sin 3 ( 2 2k，k Z)A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 y 轴上的椭圆C焦点在 x 轴上的双曲线D焦点在 y 轴上的双曲线考点 双曲线的标准方程题点 已知方程判断曲线类型答案 D解析 sin 10，方程表示焦点在 y 轴上的双曲线3设椭圆 1(ab0)的左，右焦点分别为 F1，F 2，上顶点为 B.若|BF 2|
25、F1F2|2，x2a2 y2b2则该椭圆的方程为( )A. 1 B. y 21x24 y23 x23C. y 21 D. y 21x22 x24考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程答案 A解析 |BF 2| F1F2|2，a2c2，a2，c1，b ， 椭圆的方程为 1.3x24 y234已知双曲线 1(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F 2，以|F 1F2|为直径的圆与双x2a2 y2b2曲线渐近线的一个交点为 P(3,4)，则此双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x216 y29 x23 y24C. 1 D. 1x29 y216 x24 y23考点 双曲线的标准方程题
26、点 待定系数法求双曲线方程答案 C解析 由已知条件，得 2r|F 1F2|2c，即 rc ，而 r|OP|5.渐近线方程为 y x，ba又点 P(3,4)在直线 y x 上，ba所以Error!解得Error!所以双曲线方程为 1.x29 y2165.如图，F 1，F 2 是双曲线 C1：x 2 1 与椭圆 C2： 1 的公共焦点，点 A 是y23 x2a2 y2b2C1，C 2 在第一象限的公共点，若|F 1F2|F 1A|，则 C2 的离心率是( )A. B. C. 或 D.13 23 23 25 25考点 圆锥曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用答案 B解析 由 x2 1 得|F
27、1F2| 2c4，则|F 1A|4，y23由双曲线的定义知|AF 1| AF2|2，|AF 2|2，由椭圆的定义知|AF 1| AF2|4262a，2c4，a3，c 2，则 e .ca 236已知曲线 1 和直线 axby10(a，b 为非零实数)在同一坐标系中，它们的图x2a y2b像可能为( )考点 圆锥曲线的综合应用题点 由图像判断曲线类型答案 C解析 直线 axby 10 中，与 x 轴的交点为 P ，与 y 轴的交点为 ，在图( 1a，0) (0， 1b)A，B 中，曲线表示椭圆，则 ab0，直线与坐标轴负半轴相交，图形不符合在图 C，D中，a0，b0)上一点 M(1，m )到其焦点
28、的距离为 5，双曲线 x2 1 的左顶y2a点为 A，若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直，则实数 a 等于( )A2 B1C. D.12 14考点 抛物线的简单性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 D解析 根据抛物线的定义得 1 5，p8.p2不妨取 M(1,4)，则 AM 的斜率为 2，由已知得 21，故 a .a14二、填空题9双曲线 1 的两条渐近线的方程为_x216 y29答案 y x34解析 a4，b3.又双曲线的焦点在 x 轴上，y x x.ba 3410设中心在原点的双曲线与椭圆 y 21 有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则x22该双曲线的方程是_考点 双曲线性质
29、的应用题点 双曲线与椭圆结合的有关问题答案 2x 22y 21解析 椭圆的焦点为(1,0)，双曲线的焦点为(1,0)，设双曲线的方程为 1，x2a2 y2b2椭圆的离心率 e ，双曲线的离心率 e ，22 2c 212a 2.又 c2a 2b 2，a 2b 2 ，12故所求双曲线方程为 2x22y 21.11设 F1，F 2 为椭圆 y 2 1 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P，Q 两x24点，当四边形 PF1QF2 面积最大时， _.PF1 PF2 考点 椭圆的简单性质题点 椭圆性质的综合应用答案 2解析 由题意，得 c ，a2 b2 3又 2 2 |F1F2|h(h 为 F
30、1F2 边上的高)，当 hb1 时，S 四边形1PFQS四 边 形 1PFSA12PF1QF2 取最大值，此时F 1PF2120. | | |cos 120PF1 PF2 PF1 PF2 22 2.( 12)三、解答题12如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的一边 AB 在 x 轴上，另一边 CD 在 x 轴上方，且 AB8，BC6，其中 A(4,0)，B(4,0)(1)若 A， B 为椭圆的焦点，且椭圆经过 C，D 两点，求该椭圆的方程；(2)若 A， B 为双曲线的焦点，且双曲线经过 C，D 两点，求双曲线的方程考点 圆锥曲线的综合应用题点 椭圆与双曲线的综合应用解 (1)
31、A，B 为椭圆的焦点，且椭圆经过 C，D 两点，连接 AC，则|AC | 10，62 82根据椭圆的定义，|CA| |CB|162a，a8.在椭圆中，b 2a 2c 2641648，椭圆方程为 1.x264 y248(2)A， B 是双曲线的焦点，且双曲线经过 C，D 两点，根据双曲线的定义，|CA| |CB|42a，a2.在双曲线中，b 2c 2a 216412，双曲线方程为 1.x24 y21213已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0)，焦点为 F(0,1)(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)过点 F 的直线 l：y x1 交抛物线 C 于 A，B 两点，求AOB 的面积考点 直线与抛物
32、线的位置关系题点 弦长与中点弦的问题解 (1)抛物线 C 的顶点为 O(0,0)，焦点为 F(0,1)，抛物线 C 的标准方程为 x24y.(2)联立Error!得 x24x40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2), 则 x1x 24，x 1x24，|AB| 8.1 116 16又 O(0,0)到直线 yx 1 的距离 d ，|1|2 22AOB 的面积为 S |AB|d12 8 2 .12 22 2四、探究与拓展14.如图所示，已知抛物线 y22px(p0)的焦点恰好是椭圆 1 的右焦点 F，且两条曲x2a2 y2b2线的交点连线也过焦点 F，则该椭圆的离心率为_考点 抛物线的简单
33、性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 12解析 设椭圆的左焦点为 F，抛物线与椭圆在第一象限的交点为 A，连接 AF，F ，F ，(p2，0) ( p2，0)可得焦距|FF|p2c(c ，为椭圆的半焦距)a2 b2对抛物线方程 y22px ，令 x ，p2得 y2p 2，所以|AF |y A|p，y A为点 A 的纵坐标在 RtAFF 中，|AF|FF|p，可得 AF p，2再根据椭圆的定义，可得|AF|AF| 2a(1 )p，2该椭圆的离心率为 e 1.ca 2c2a p1 2p 215已知椭圆 E： 1(ab0) 的一个顶点 A(0， )，离心率 e .x2a2 y2b2 3 12(
34、1)求椭圆 E 的方程；(2)设动直线 l：y kxm 与椭圆 E 相切于点 P，且与直线 x4 相交于点 Q，求证：以 PQ为直径的圆过定点 N(1,0)考点 直线与椭圆的位置关系题点 定点(定值)问题(1)解 由已知可得，Error!a 24，b 23，所求椭圆方程为 1.x24 y23(2)证明 联立方程 1 与 ykxm ，消元得，x24 y23(34k 2)x28kmx4m 2120.曲线 E 与直线只有一个公共点，0 ，化简可得 m24k 23，故 m0.设 P(xP，y P)，故 xP ， 8km23 4k2 4kmyPkx Pm ，3m故 P .( 4km，3m)又由Error!得 Q(4,4km)N(1,0) ， ， (3,4km )，PN (1 4km， 3m) NQ 3 30，PN NQ 12km 12km ，PN NQ 以 PQ 为直径的圆过定点 N(1,0)
