1、第 2 课时 椭圆的几何性质的应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识知识点一 点与椭圆的位置关系思考 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点 P(x0， y0)与椭圆 1(ab0)的位置x2a2 y2b2关系的判定吗？答案 当 P 在椭圆外时， 1；x20a2 y20b2当 P 在椭圆上时， 1；x20a2 y20b2当 P 在椭圆内时， b0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示：x2a2 y2b2位置关系 满足条件P 在椭圆外 1x20a2 y20b2P 在椭圆上 1x20a2 y20b2P 在椭圆内 0相切 一解 0相离 无解 0直线与椭圆相交
2、有两个公共点(2)0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点(3)0；(2) 直线与椭圆相切0；(3)直线与椭圆相离 0.x3 x42 16k2 8k1 4k2 12这时直线的方程为 y2 (x4)，12即 x2y80.方法二 设 A(x3，y 3)，B(x 4， y4)，则有Error!两式相减得 0，x24 x2336 y24 y239整理得 kAB ，y4 y3x4 x3 9x4 x336y4 y3由于 P(4,2)是 AB 的中点，x 1x 28，y 1y 24，于是 kAB ，98364 12于是直线 AB 的方程为 y2 (x4)，12即 x2y80.引申探究若 P(4,2)恰是直线 l
3、：x 2y80 被椭圆 1( ab0)所截弦 AB 的中点，求该椭圆x2a2 y2b2的离心率解 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 1， 1，x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 ，x21 x2a2 y21 y2b2k AB ，y1 y2x1 x2 b2x1 x2a2y1 y2 b28a24 2b2a2 12a 24b 2.又 c2a 2b 23b 2，e 2 ，e .c2a2 34 32反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即
4、得弦的中点与斜率的关系跟踪训练 3 已知椭圆 ax2by 21(a0，b0 且 ab) 与直线 xy10 相交于 A，B 两点，C 是 AB 的中点，若|AB|2 ，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程222考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 方法一 设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得 a(x1 x2)(x1x 2)b(y 1y 2)(y1y 2)0.A，B 为直线 xy 10 上的点， 1.y1 y2x1 x2由已知得 k OC ，代入式可得 b a.y1 y2x1 x2 22 2直线 xy10 的斜率 k 1.又|AB| |x2x 1| |x2x 1|
5、2 ，1 k2 2 2|x 2x 1|2.联立 ax2by 21 与 xy10，消去 y，得(ab) x22bx b10.且由已知得 x1，x 2 是方程(ab)x 22bxb10 的两根，x 1x 2 ，x 1x2 ，2ba b b 1a b4(x 2x 1)2 (x1x 2)24x 1x2 24 .(2ba b) b 1a b将 b a 代入式，解得 a ，b .213 23所求椭圆的方程是 1.x23 2y23方法二 由Error!得(ab) x22bx b10.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 ，2ba b b 1a b且直线 AB 的斜率 k
6、1，|AB| k2 1x1 x22 k2 1x1 x22 4x1x2 .24b2 4a bb 1a b|AB| 2 ， 2 ，22 4b2 4a bb 1a b 2 1.a b aba b设 C(x，y)，则 x ，y 1x .x1 x22 ba b aa bOC 的斜率为 ，22 ，将其代入 式得， a ，b .yx ab 22 13 23所求椭圆的方程为 1.x23 2y23类型三 椭圆中的最值(或范围 )问题例 4 已知椭圆 4x2y 21 及直线 yxm .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程考点 直线与椭圆的位置关系题点 椭圆
7、中的最值问题解 (1)由Error!消去 y，得 5x22mxm 210，因为直线与椭圆有公共点，所以 4m 220( m21)0，解得 m .52 52(2)设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，由(1)知 5x22mx m 210，所以 x1x 2 ，x 1x2 (m21) ，2m5 15所以|AB| x1 x22 y1 y22 2x1 x22 2x1 x22 4x1x2 .24m225 45m2 1 25 10 8m2所以当 m0 时，|AB|最大，此时直线方程为 yx.引申探究 在例 4 中，设直线与椭圆相交于 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，求
8、AOB 面积的最大值及AOB 面积最大时的直线方程解 可求得 O 到 AB 的距离 d ，|m|2又|AB| ，2510 8m2S AOB |AB|d12 122510 8m2|m|2 ，25 (54 m2)m2 25(54 m2) m22 14当且仅当 m 2m 2 时，上式取“” ，54此时 m .104 52，52所求直线方程为 xy 0.104反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式
9、，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件跟踪训练 4 若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一x24 y23点，则 的最大值为_ OP FP 考点 椭圆的几何性质题点 椭圆的范围的简单应用答案 6解析 由椭圆方程得 F(1,0)，设 P(x0，y 0)，则 (x 0， y0)(x01，y 0)x x 0y .OP FP 20 20P 为椭圆上一点， 1.x204 y203 x x03OP FP 20 (1 x204) x 03 (x02) 22.x204 142x 02， 的最大值在 x02 时取得，且最大值等于 6.OP FP 1点 A(a,1)在
10、椭圆 1 的内部，则 a 的取值范围是( )x24 y22A a Ba 或 a2 2 2 2C2a2 D1a1考点 椭圆的几何性质题点 点与椭圆的位置关系答案 A解析 由题意知 1，a24 12解得 a .2 22若直线 yx 与椭圆 x2 1( m0 且 m1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( )6y2m2A1 B. C2 D25 5考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆公共点的个数问题答案 D解析 联立Error!消去 y，得(m 2 1)x22 x6m 20，6(2 )24(m 21)(6m 2)0，6即 4m2(m25) 0，m0 且 m1，m ，故选 D.53设 F1，F 2
11、 为椭圆 y 2 1 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P，Q 两x24点，当四边形 PF1QF2 面积最大时， 的值等于( )PF1 PF2 A0 B2 C4 D2考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积答案 D解析 由题意，得 c ，a2 b2 3又 2 2 |F1F2|h(h 为 F1F2 边上的高)，1PFQS四 边 形 1PFSA12当 hb1 时， 取最大值，此时F 1PF2120.12Q四 边 形 | | |cos 120PF1 PF2 PF1 PF2 22 2.( 12)4过点 P(1,1)的直线交椭圆 1 于 A，B 两点，若线段 AB 的中点恰为点 P，
12、则 ABx24 y22所在的直线方程为_考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题答案 x2y30解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!又Error!两式相减得 .y1 y2x1 x2 12AB 所在的直线方程为 x2y 30.5直线 l：y kx1 与椭圆 y 21 交于 M，N 两点，x22且|MN | ，求直线 l 的方程423考点 直线与椭圆的位置关系题点 求椭圆中的直线方程解 设直线 l 与椭圆的交点为 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，由Error!消去 y 并化简，得(12k 2)x2 4kx0， 16k 20，所以 x1x 2 ，x 1x20
13、.4k1 2k2由|MN | ，得(x 1x 2)2( y1y 2)2 ，423 329所以(1k 2)(x1x 2)2 ，329所以(1k 2)(x1x 2)24x 1x2 ，329即(1k 2) 2 ，( 4k1 2k2) 329化简得 k4k 220，所以 k21，所以 k1.所以所求直线 l 的方程是 yx1 或 yx1.1直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式设直线与椭圆交于 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)两点，则有|AB| x1 x22 y1 y22 1 k2x
14、1 x22 1 k2 x1 x22 4x1x2 (1 1k2)y1 y22 (k 为直线斜率) 1 1k2 y1 y22 4y1y2(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况2解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错一、选择题1椭圆 1 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )x225 y2
15、9A8,2 B5,4 C5,1 D9,1考点 椭圆的几何性质题点 椭圆的范围的简单应用答案 D解析 因为 a5，c4，所以最大距离为 ac9，最小距离为 ac1.2已知点(m，n)在椭圆 8x23y 224 上，则 2m4 的取值范围是 ( )A42 ，42 B4 ，4 3 3 3 3C42 ，42 D4 ，4 2 2 2 2考点 椭圆的几何性质题点 椭圆的范围的简单应用答案 A解析 方程可化为 1，故椭圆焦点在 y 轴上，x23 y28又 a2 ，b ，所以 m ，2 3 3 3故 42 2m42 4.3 33直线 ykx1 与椭圆 1 总有公共点，则 m 的取值范围是( )x25 y2mA
16、m1 Bm 1 或 02，4a2 b2a 2b 2b0)的左、右焦点分别为 F1，F 2，焦距为 2c，若直线x2a2 y2b2y (xc)与椭圆的一个交点 M 满足MF 1F22MF 2F1，则该椭圆的离心率为3_考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 13解析 由直线方程 y (xc) ，得直线与 x 轴的夹角MF 1F2 ，且过点 F133(c,0)MF 1F22MF 2F1，MF 1F22MF 2F1 ，即 F1MF 2M.3在 RtF 1MF2 中，|F 1F2| 2c，|F 1M|c，| F2M| c，3由椭圆定义可得 2ac c，3离心率 e 1.ca 21 3 39过
17、椭圆 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为原点，则x25 y24OAB 的面积为_考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积答案 53解析 直线方程为 y2x 2，与椭圆方程 1 联立，可以解得 A(0，2)，B ，x25 y24 (53，43)S OAB |OF|yAy B| (也可以用设而不求的方法求弦长| AB|，再求出点 O 到 AB 的距离，12 53进而求出AOB 的面积) 10若椭圆 mx2ny 21(m0，n0)与直线 xy10 交于 A，B 两点，若 ，则过原nm 2点与线段 AB 的中点 M 的连线的斜率为_考点 直线与椭圆的位置关系题
18、点 中点弦问题答案 22解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则Error!得 m(x1 x2)(x1x 2) n(y1y 2)(y1y 2)0，即 0.mn y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2 1， ，y1 y2x1 x2 mn 22 ，y1 y2x1 x2 22k OM .22三、解答题11已知点 A，B 是椭圆 C： 1( a0，b0)与直线 x3y20 的交点，点 M 是 ABx2a2 y2b2的中点，且点 M 的横坐标为 ，若椭圆 C 的焦距为 8，求椭圆 C 的方程12考点 直线与椭圆的位置关系题点 中点弦问题解 设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，M
19、 (xM，y M)，依题意得Error! kAB0，2xMa2 2yMb2点 M ，( 12，12) 0，1a2 1b2 13a 23b 2.又c4，a 224，b 28，经检验，a 224，b 28 符合题意，椭圆 C 的方程为 1.x224 y2812已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(1,0)，F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为 B1，B 2.(1)若F 1B1B2 为等边三角形，求椭圆 C 的方程；(2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且 ，求F1P F1Q 直线 l 的方程考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求方程
20、解 (1)设椭圆 C 的方程为 1(ab0) x2a2 y2b2根据题意知Error!解得 a2 ，b 2 .43 13故椭圆 C 的方程为 1.x243y213(2)容易求得椭圆 C 的方程为 y 21.x22当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x1，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1) 由Error!消去 y，得(2k 2 1)x2 4k2x2( k21)0.设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，则x1x 2 ，x 1x2 ，4k22k2 1 2k2 12k2 1(x 11，y 1)， (x 21，y 2)，F1P F1Q 因为 ，F1P F1Q 所
21、以 0，F1P F1Q 即(x 1 1)(x21)y 1y2x 1x2(x 1x 2)1k 2(x11)(x 21)(k 2 1)x1x2(k 21)( x1x 2)k 21 0，解得 k2 ，即 k .7k2 12k2 1 17 77故直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.7 713椭圆 1(ab0)与直线 xy10 相交于 P， Q 两点，且 (O 为坐标原x2a2 y2b2 OP OQ 点)(1)求证： 等于定值；1a2 1b2(2)若椭圆的离心率 e ，求椭圆长轴长的取值范围33，22考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆相交的其他问题(1)证明 椭圆的方程可化为 b2x
22、2a 2y2a 2b20.由Error!消去 y，得(a 2b 2)x22a 2xa 2(1b 2)0.由 4 a44( a2b 2)a2(1b 2)0，得 a2b 21.设 P(x1，y 1)，Q (x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .2a2a2 b2 a21 b2a2 b2 ， x1x2y 1y20 ，OP OQ 即 2x1x2(x 1 x2)10，即 10，2a21 b2a2 b2 2a2a2 b2a 2b 22a 2b2，即 2.1a2 1b2 等于定值1a2 1b2(2)解 e ，b 2a 2c 2a 2a 2e2.ca又a 2b 22a 2b2，2e 22a 2(1e
23、2)，即 a2 .2 e221 e2 12 121 e2 e ， a 2 ，即 a ，33 22 54 32 52 62 2a ，即椭圆长轴长的取值范围是 ， 5 6 5 6四、探究与拓展14已知 F1 为椭圆 C： y 21 的左焦点，直线 l：y x1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，那x22么|F 1A| |F1B|的值为 _考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积答案 823解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!消去 y，得 3x24x 0，则 x1x 2 ，x 1x20，43|AB| ，1 1 x1 x22 4x1x2 243 423|F1A|F
24、2B|4 a|AB| .82315.已知椭圆 1(ab0)经过点(0， )，离心率为 ，左、右焦点分别为 F1(c,0) ，x2a2 y2b2 3 12F2(c,0)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l：y xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且12满足 ，求直线 l 的方程|AB|CD| 534考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积解 (1)由题设知Error!解得Error!椭圆的方程为 1.x24 y23(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y 21，圆心到直线 l 的距离 d ，2|m|5由 d1，得| m| .(*)52|CD| 2 2 .1 d21 4m25 255 5 4m2设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由Error!得 x2mxm 230，(m) 24(m 23)0，得 m24.由根与系数的关系，得 x1x 2m ，x 1x2m 23.|AB| 1 ( 12)2m2 4m2 3 .152 4 m2由 ，得 1，|AB|CD| 534 4 m25 4m2解得 m ，满足(*) ，也满足 0，33直线 l 的方程为 y x 或 y x .12 33 12 33
