1、1.1.2 量 词,第一章 1.1 命题与量词,学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义，掌握常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,思考 观察下列命题： 每一个三角形都有内切圆； 所有实数都有算术平方根； 对一切有理数x,5x2还是有理数. 以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.,知识点一 全称量词与全称命题,答案 命题分别使用量词“每一个”“所有”“一切”. 命题是真命题，命题是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”
2、“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题为假命题.,梳理,全称量词,xM，p(x),(1),(2)判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“xM，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个xx0，使p(x0)不成立即可.,知识点二 存在量词与存在性命题,思考 观察下列命题： 有些矩形是正方形； 存在实数x，使x5； 至少有一个实数x，使x22x20. 以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.,答案 命题分别使用了量词“有些”“存在”“至少有一个”.
3、命题是真命题，命题是假命题.三个命题中的“有些”“存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可.所以命题是真命题，而任意实数x，x22x2都大于0，所以命题为假命题.,梳理 (1),存在量词,xM，q(x),(2)判断存在性命题真假性的方法：要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个xx0，使q(x0)成立即可，否则，这一存在性命题是假命题.,思考辨析 判断正误 (1)所谓量词，就是含有数量的词.( ) (2)含有存在量词的命题是存在性命题，含有全称量词的命题是全称命题. ( ) (3)存在性命题和全称命题中的量词都
4、不能省略.( ),题型探究,例1 判断下列语句是全称命题，还是存在性命题. (1)凸多边形的外角和等于360；,类型一 全称命题与存在性命题的识别,解 可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360”，是全称命题.,解答,(2)有些实数a，b能使|ab|a|b|；,解 含有存在量词“有些”，故是存在性命题.,解 含有全称量词“任意”，故是全称命题.,(4)有一个函数，既是奇函数，又是偶函数.,解 含有存在量词“有一个”，是存在性命题.,反思与感悟 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或存在性命题. (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存
5、在量词的命题是存在性命题. (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.,跟踪训练1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用符号“”或“”表示下列命题. (1)自然数的平方大于或等于零；,答案,解 是全称命题，表示为xN，x20.,(2)对每一个无理数x，x2也是无理数；,解 是存在性命题，f(x)函数，f(x)既是奇函数又是增函数.,(3)有的函数既是奇函数又是增函数；,解 是全称命题，xx|x是无理数，x2是无理数.,(4)对于数列 ，总存在正整数n，使得an与1之差的绝对值小于0.01.,答案,类型二 全称命题与存在性命题的真假的判断,例2 判断下列命题的真假： (1)在平面
6、直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；,解答,解 真命题.,(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；,解 假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 ， 就不能用正有理数表示.,解答,(3)存在一个实数x，使得等式x2x80成立；,解 假命题，只有x2或x1时，等式x23x20才成立.,解 假命题，方程x2x80的判别式310对于任意xR恒成立，并说明理由；,解答,解 方法一 不等式mf(x)0可化为mf(x)， 即mx22x5(x1)24. 要使m(x1)24对于任意xR恒成立， 只需m4即可. 故存在实数m使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时需m4. 方法二 要
7、使不等式mf(x)0对xR恒成立， 即x22x5m0对xR恒成立. 所以(2)24(5m)4， 所以当m4时，mf(x)0对于任意xR恒成立.,解答,(2)若至少存在一个实数x，使不等式mf(x)0成立，求实数m的取值范围.,解 方法一 不等式mf(x)0，可化为mf(x)， 若至少存在一个实数x使不等式mf(x)成立，只需mf(x)min. 又f(x)(x1)24，所以f(x)min4，所以m4. 所以实数m的取值范围是(4，). 方法二 若至少存在一个实数x，使mf(x)0成立， 即x22x5m0即可， 解得m4. 所以实数m的取值范围是(4，).,反思与感悟 (1)一般地，对任意的实数x
8、，af(x)恒成立，只需af(x)max，若存在一个实数x，使af(x)成立，只需af(x)min. (2)有关一元二次不等式ax2bxc0(0恒成立， 当a0时，不等式为2x10不恒成立，,解答,(2)令p(x)：ax22x10，若对xR，p(x)是真命题，求实数a的取值范围.,a1， 即a的取值范围为(1，).,达标检测,答案,1.下列命题中，不是全称命题的是 A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数,1,2,3,4,解析,解析 D选项是存在性命题.,答案,2.下列命题是真命题的是 A.ab是ac2bc2的充要条件 B.
9、a1，b1是ab1的充分条件 C.xR，2xx2 D.xR，exbac2bc2，A不正确； 选项B，a1，b1ab1，B正确； 选项C，当x2时，2xx2，C不正确； 选项D，对xR，ex0，D不正确. 故选B.,解析,1,2,3,4,答案,解析,3.若x ，tan xm是真命题，则实数m的最小值为_.,1,m1，即m的最小值为1.,1,2,3,4,4.用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假. (1)所有的实数x都能使x2x10成立；,解答,解 xR，x2x10，真命题.,(2)对所有实数a，b，方程axb0恰有一个解；,解 a，bR，axb0恰有一解，假命题.,1,2,3,4,(4)所有的有理数x都能使 是有理数.,解答,1,2,3,4,(3)一定有整数x，y，使得3x2y10成立；,解 x，yZ，3x2y10，真命题.,1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词. 2.判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 3.判定存在性命题真假的方法.代入法：在给定的集合中找到一个元素x0，使命题q(x0)为真，否则命题为假.,规律与方法,
