1、第 2 课时 抛物线的几何性质的应用学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点 直线与抛物线的位置关系思考 1 直线与抛物线有哪几种位置关系？答案 三种：相离、相切、相交思考 2 若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点梳理 (1)直线与抛物线的位置关系与公共点个数.位置关系 公共点个数相交 有两个或一个公共点相切 有且只有一个公共点相离 无公共点(2)直线 ykxb 与抛物线 y22px(p0)的交点个数决定于关于 x 的方程 k2x22(kbp)xb 20 的解的
2、个数当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当 0时，直线与抛物线有一个公共点；当 0)的通径长为 2a.( )类型一 直线与抛物线的位置关系例 1 已知直线 l：y k(x1) 与抛物线 C：y 24x，问：k 为何值时，直线 l 与抛物线 C 有两个交点，一个交点，无交点？考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点的个数解 由方程组Error!消去 y，得 k2x2(2 k24)x k 20，(2k 24) 24k 416(1k 2)(1)若直线与抛物线有两个交点，则 k20 且 0，即 k20 且 16(1k 2)0，解得 k(1,0)(0,1)所以当 k(1,
3、0)(0,1)时，直线 l 和抛物线 C 有两个交点(2)若直线与抛物线有一个交点，则 k20 或当 k20 时，0，解得 k0 或 k1.所以当 k0 或 k1 时，直线 l 和抛物线 C 有一个交点(3)若直线与抛物线无交点，则 k20 且 1 或 k1 或 k0.设弦的两端点 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，y 1y 2 ，y 1y2 .6k 6 24kkP 1P2 的中点为(4,1)， 2，k3，适合式6k所求直线方程为 y13( x4)，即 3xy110，y 1y 22，y 1y222，|P 1P2|1 1k2y1 y22 4y1y2 .1 1922 4 22 2230
4、3方法二 设 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)则 y 6x 1，y 6x 2，21 2y y 6(x 1x 2)，又 y1y 22，21 2 3，y1 y2x1 x2 6y1 y2所求直线的斜率 k3，所求直线方程为 y13( x4)，即 3xy110.由Error!得 y22y 220，y 1y 22，y 1y222，|P 1P2|1 1k2y1 y22 4y1y2 .1 19 22 4 22 22303类型三 抛物线性质的综合应用命题角度 1 抛物线中的定点定值 问题例 3 已知点 A，B 是抛物线 y22px (p0)上的两点，且 OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之
5、积；(2)求证：直线 AB 过定点考点 直线与抛物线的位置关系题点 定点(定值)问题(1)解 设点 A，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，( x2，y 2)，则有 kOA ，k OB .y1x1 y2x2因为 OAOB ，所以 kOAkOB 1，所以 x1x2y 1y20.因为 y 2px 1，y 2px 2，21 2所以 y 1y20.y212py22p因为 y10，y 20，所以 y1y24p 2，所以 x1x24p 2.(2)证明 因为 y 2px 1，y 2px2，21 2所以(y 1y 2)(y1y 2)2p(x 1x 2)，所以 ，y1 y2x1 x2 2py1 y2所以 kAB
6、 ，2py1 y2故直线 AB 的方程为 yy 1 (xx 1)，2py1 y2所以 y y 1 ，2pxy1 y2 2px1y1 y2即 y .2pxy1 y2 y21 2px1 y1y2y1 y2因为 y 2px 1，y 1y24p 2，21所以 y ，2pxy1 y2 4p2y1 y2所以 y (x2p)，2py1 y2即直线 AB 过定点(2 p,0)反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练 3 如图，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线
7、AB，AC 交抛物线于 B，C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值考点 直线与抛物线的位置关系题点 定点(定值)问题证明 方法一 设 AB 的斜率为 k，则 AC 的斜率为k.把直线 AB 的方程 y2k (x4) 与 y2x 联立得y2k(y 24)，即 ky2y4k20.y2 是此方程的一个解，2y B ，y B ， 4k 2k 1 2kkx By ，2B1 4k 4k2k2B .(1 4k 4k2k2 ，1 2kk )k ACk，以k 代替 k 代入 B 点坐标得 C .(1 4k 4k2k2 ，1 2k k)k BC ，为定值 1 2kk 1 2kk1 4k 4k2k2 1 4k 4
8、k2k2 14方法二 设 B(y ，y 1)，C (y ，y 2)，21 2则 kBC .y2 y1y2 y21 1y2 y1k AB ，k AC ，y1 2y21 4 1y1 2 y2 2y2 4 1y2 2由题意得 kAB kAC， ，则 y1y 24，1y1 2 1y2 2则 kBC ，为定值14命题角度 2 对称问题例 4 在抛物线 y24x 上恒有两点 A，B 关于直线 ykx3 对称，求 k 的取值范围考点 直线与抛物线的位置关系题点 对称问题解 因为 A，B 两点关于直线 ykx3 对称，所以可设直线 AB 的方程为 xkym.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，把直线
9、 AB 的方程代入抛物线方程，得 y24ky4m0，设 AB 的中点坐标为 M(x0，y 0)，则 y0 2k ，x 02k 2m.y1 y22因为点 M(x0，y 0)在直线 ykx3 上，所以2kk(2k 2m)3，即 m .2k3 2k 3k因为直线 AB 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，所以 16k216m0 ，把 m 代入，2k3 2k 3k化简，得 0，所以 0 ，得 a0 或 a0)，则点 M 到焦点的距离为 xM 2 3，p2 p2p2，y 24x .y 4 28，20|OM| 2 .4 y20 4 8 35设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y24x 的焦点，A 为抛物
10、线上一点，若 4，则OA AF 点 A 的坐标为( )A(2，2 ) B(1 ，2)2C(1,2) D(2,2 )2考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 B解析 抛物线的焦点为 F(1,0)，设 A ，(y204，y0)则 ， ，OA (y204，y0) AF (1 y204， y0)由 4，得 y02，OA AF 点 A 的坐标是(1,2)或(1， 2)6直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A，B 两点，若 AB 的中点的横坐标为 2，则 k 等于( )A2 或2 B1C2 D3考点 直线与抛物线的位置关系题点 弦中点问题答案 C解析 由题意知Error!得 k2x2(4k8
11、)x40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 2，x1 x22即 x1x 24，x 1x 2 4，4k 8k2k2 或1，经判别式检验知 k2 符合题意7已知直线 l：y k(x2)( k0) 与抛物线 C：y 28x 相交于 A，B 两点，且 A，B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M，N，若| AM|2| BN|，则 k 的值是( )A. B. C 2 D.13 23 2 223考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的位置关系的综合应用答案 D解析 设抛物线 C：y 28x 的准线为 m：x 2.直线 yk(x2)(k 0)恒过定点 P(2,0)，如图，过点 A
12、，B 分别作 AMm 于点 M，BN m 于点 N.由|AM |2|BN|，得点 B 为 AP 的中点，连接 OB，则|OB | |AF|，12|OB |BF|，点 B 的横坐标为 1，点 B 的坐标为(1,2 )2把 B(1,2 )代入直线 l：y k( x2)( k0)，2解得 k ，故选 D.223二、填空题8平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等若机器人接触不到过点 P(1,0) 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点的个数答案 (，1)(1 ，)解析 由题意知机器人进行的轨迹为以 F(
13、1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线，其方程为 y24x .设过点 P(1,0)且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1) 代入 y24x，得 k2x2(2k 24) xk 20.机器人接触不到该直线，(2k 24) 24k 41，k1 或 k1.9抛物线焦点在 y 轴上，截得直线 y x1 的弦长为 5，则抛物线的标准方程为12_考点 直线与抛物线的位置关系题点 弦长问题答案 x 220y 或 x24y解析 设抛物线方程为 x2ay(a0)，由Error!得 x2 xa0.a2设直线与抛物线的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2a，a2|AB| 1 1
14、4 x1 x22 4x1x2 5，1 14 a24 4a得 a20 或 4，经检验，a20 或 4 都符合题意抛物线方程为 x220y 或 x24y.10已知抛物线 y2x 2 上的两点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)关于直线 yxm 对称若2x1x21，则 2m 的值是_考点 直线与抛物线的位置关系题点 对称问题答案 3解析 由题意，得 k 2(x 2x 1)1，y2 y1x2 x1 2x2 2x21x2 x1x 2x 1 .12 m，y1 y22 x1 x22y 1y 2x 1 x22m，2x 2x 2m，21 212即 2(x1 x2)2 4x1x2 2m ，2m 3.1211
15、抛物线 x22py (p0)的焦点为 F，其准线与双曲线 1 相交于 A，B 两点，若x23 y23ABF 为等边三角形，则 p_.考点 抛物线与其他曲线结合有关问题题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 6解析 抛物线的焦点坐标为 F ，准线方程为 y .代入 1，得|x| .若(0，p2) p2 x23 y23 3 p24ABF 为等边三角形，则 tan ，6 |x|p 3 p24p 33解得 p236，p6.三、解答题12已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1) 相交于 A，B 两点(1)求证：OA OB；(2)当OAB 的面积等于 时，求 k 的值10考点 直线与抛物线的位置关系题点
16、直线与抛物线的位置关系的综合应用(1)证明 如图所示，由Error!消去 x，得 ky2y k 0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得y1y21，y 1 y2 .1k因为 A，B 在抛物线 y2x 上，所以 y x 1，y x 2，21 2所以 y y x 1x2.21 2因为 kOAkOB y1x1y2x2 1，y1y2x1x2 1y1y2所以 OAOB .(2)解 设直线与 x 轴交于点 N，显然 k0，令 y0，得 x1，即 N(1,0)，因为 SOAB S OAN S OBN |ON|y1| |ON|y2|12 12 |ON|y1y 2|，12所以 SO
17、AB 112 y1 y22 4y1y2 .12 ( 1k)2 4因为 SOAB ，10所以 ，1012 1k2 4解得 k .1613在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24x 相交于不同的 A，B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值；OA OB (2)如果 4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点OA OB 考点 直线与抛物线的位置关系题点 定点(定值)问题解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，设 l：xty1，代入抛物线方程 y24x，消去 x，得 y24ty40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t，y 1y24.所以
18、x 1x2y 1y2OA OB (ty 11)(ty 2 1)y 1y2t 2y1y2t(y 1 y2)1y 1y24t 24t 2143.(2)设 l：xty b，代入抛物线 y24x，消去 x，得 y24ty4b0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 y1y 24t ，y 1y24b.因为 x 1x2y 1y2(ty 1b)( ty2b) y 1y2OA OB t 2y1y2bt(y 1 y2)b 2y 1y24bt 24bt 2b 24bb 24b，又 4，b 24b4，OA OB 解得 b2，故直线 l 过定点(2,0)四、探究与拓展14如图，已知点 F 为抛物线 C：y
19、 24x 的焦点，点 P 是其准线 l 上的动点，直线 PF 交抛物线 C 于 A，B 两点若点 P 的纵坐标为 m(m0)，点 D 为准线 l 与 x 轴的交点，则DAB的面积 S 的取值范围为_考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线的位置关系的综合运用答案 (4，)解析 由抛物线 C：y 24x 可得焦点 F(1,0)设 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)，直线 PF 的方程为yk(x 1)(k 0)联立方程组Error!消去 y，得 k2x2(2 k24) xk 20，则x1x 22 ， x1x21，4k2|AB| 1 k2 x1 x22 4x1x2 .1 k2 (2 4k
20、2)2 4 41 k2k2点 D(1,0) 到直线 AB 的距离 d ，|2k|k2 1S d|AB| 4 4，DAB 的面积 S 的取值范围为(4，) 12 |k|1 k241 k2k2 1k2 115已知 F 是抛物线 y22px( p0)的焦点，点 A(4,2)为抛物线内一定点，点 P 为抛物线上一动点，|PA| PF|的最小值为 8.(1)求抛物线的方程；(2)是否存在定点 M，使过点 M 的动直线与抛物线交于 B，C 两点(异于坐标原点)，且以 BC为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点 直线与抛物线的位置关系题点 定点(定值)问题解 (1)
21、设抛物线的准线为 l，过点 P 作 PDl 于点 D，过 A 作 AEl 于点 E(图略)由抛物线的定义，知|PF| PD|，所以|PA| PF|PA|PD|AE| ，当且仅当 A，P，E 三点共线时取等号由题意知|AE|8，即 4 8，得 p8，p2所以抛物线的方程为 y216x.(2)假设存在点 M，当直线 BC 的斜率存在时，设过点 M 的直线方程为 ykxb.显然 k0，b0，设 B(x1，y 1)，C(x 2，y 2)，由以 BC 为直径的圆恰好过坐标原点，得 0，OB OC 即 x1x2y 1y20，把 ykxb 代入 y216x ，得 k2x22(bk8)xb 20，由根与系数的关系，得Error!又 y1y2(kx 1b)(kx 2b) k 2x1x2bk(x 1x 2)b 2，所以 y1y2 ，16bk所以 0，得 b16k.16bk b2k2所以过点 M 的直线方程为 ykx16kk(x16)，必过定点(16,0)当直线 BC 的斜率不存在时，直线 x16 交抛物线于 B(16，16) ，C (16,16)或 B(16,16)，C(16，16)，仍然有 0.OB OC 综上，存在点 M(16,0)满足条件
