1、第1课时 抛物线的简单几何性质,第二章 2.3.2 抛物线的简单几何性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的几何性质,思考 观察下列图形,思考以下问题:,观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形,分析其几何图形存在哪些区别?,答案 抛物线与另两种曲线相比较,有明显的不同,椭圆是封闭曲线,有四个顶点,有两个焦点,有中心;双曲线虽然不是封闭曲线,但是有两支,有两个顶点,两个焦点,有中心;抛物线只有一条曲线,一个顶点,一个焦点,无中心.,梳理,x
2、,y,(0,0),1,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,知识点二 焦点弦的性质,如图,AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的一条弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切.,(3)|AB|x1x2p.,如当90时,AB叫做抛物线的通径,是所有焦点弦中最短的.,思考辨析 判断正误 1.抛物线关于顶点对称.( ) 2.抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( ) 3.抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( ),题型探究,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过F且垂直于x轴,l与
3、抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.,类型一 抛物线几何性质的应用,解答,解 由题意,设抛物线方程为y22mx(m0),,所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4,,引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0),O为抛物线的顶点,OAOB,则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,答案,解析,解析 因为抛物线的对称轴为x轴,内接AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以易得A,B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p,2p).,反思与感
4、悟 把握三个要点确定抛物线简单几何性质 (1)开口:由抛物线标准方程看图象开口,关键是看准二次项是x 还是y,一次项的系数是正还是负. (2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴. (3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6,求抛物线的方程.,解答,解 设抛物线的方程为y22ax(a0),点P(x0,y0). 因为点P到对称轴距离为6, 所以y06. 因为点P到准线距离为10,,因为点P在抛物线上,所以362ax0, ,所以所求抛物
5、线的方程为y24x或y236x.,类型二 抛物线的焦点弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若直线l的倾斜角为60,求|AB|的值.,解答,解 因为直线l的倾斜角为60,,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x25,,x1x2p, 所以|AB|538.,引申探究 1.若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“直线l垂直于x轴”,求|AB|的值.,解答,所以|AB|3(3)6.,2.若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|AB|9”,求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,解 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线定义知|AB|AF|BF|
6、x1x2px1x23, 所以x1x26,于是线段AB的中点M的横坐标是3.,反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时,要注意抛物线定义在其中的应用,通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题,从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,解答,跟踪训练2 已知抛物线方程为y22px(p0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB| ,求AB所在直线的方程.,设A(x1,y1),B(x2,y2).,故直线AB的斜率存在,设为k,,解得k2,,解答,类型三 与抛物线有关的最值问题,例3 设P是抛物线y24x上的一个动点,F为抛物线的焦
7、点. (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值;,解 如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x1.由抛物线的定义知,点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为在曲线上求一点P,使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.,(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|PF|的最小值.,解答,即|PB|PF|的最小值为4.,反思与感悟 解关于抛物线的最值、定值问题时,首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,其次是注意平面几何知识的应用,例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线
8、段最短等.,跟踪训练3 已知直线l1:4x3y60和直线l2:x1,抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是,答案,解析,解析 由题意知,直线l2:x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知,点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.,达标检测,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设抛物线y22px或y22px(p0),,2|y|2p8,p4. 即抛物线方程为y28x.,
9、答案,解析,2.抛物线yax2(a0)的焦点作直线交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1x23p,则|PQ|等于 A.4p B.5p C.6p D.8p,解析 由焦点弦公式|PQ|x1x2p, 又x1x23p,|PQ|4p.,4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p_.,1,2,3,4,5,答案,解析,2,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x23p, |AB|x1x2p4p8,p2.,1,2,3,4,5,解答,5.如图,已知边长为2的等边三角形AOB,O为坐标原点,ABx轴.,(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程;,设抛物线方程为y22px(p0),,1,2,3,4,5,解答,(2)求抛物线的焦点坐标,准线方程及离心率e.,1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.抛物线中的最值问题:注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,其次是平面几何知识的应用.,规律与方法,