1、第1课时 抛物线的简单几何性质,第二章 2.3.2 抛物线的简单几何性质,学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. 2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 抛物线的几何性质,思考 观察下列图形，思考以下问题：,观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？,答案 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.,梳理,x
2、,y,(0,0),1,x0，yR,x0，yR,xR，y0,xR，y0,知识点二 焦点弦的性质,如图，AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. (1)以AB为直径的圆必与准线l相切.,(3)|AB|x1x2p.,如当90时，AB叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的.,思考辨析 判断正误 1.抛物线关于顶点对称.( ) 2.抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.( ) 3.抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.( ),题型探究,例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与
3、抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,类型一 抛物线几何性质的应用,解答,解 由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，,所以|AB|2|m|. 因为OAB的面积为4，,引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y22px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的面积是 A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2,答案,解析,解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45.,所以易得A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，2p).,反思与感
4、悟 把握三个要点确定抛物线简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.,跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴距离分别为10和6，求抛物线的方程.,解答,解 设抛物线的方程为y22ax(a0)，点P(x0，y0). 因为点P到对称轴距离为6， 所以y06. 因为点P到准线距离为10，,因为点P在抛物线上，所以362ax0， ,所以所求抛物
5、线的方程为y24x或y236x.,类型二 抛物线的焦点弦问题,例2 已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值.,解答,解 因为直线l的倾斜角为60，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x25，,x1x2p， 所以|AB|538.,引申探究 1.若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“直线l垂直于x轴”，求|AB|的值.,解答,所以|AB|3(3)6.,2.若本例中“直线l的倾斜角为60”改为“|AB|9”，求线段AB的中点M到准线的距离.,解答,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线定义知|AB|AF|BF|
6、x1x2px1x23， 所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3.,反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解. (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论.,解答,跟踪训练2 已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB| ，求AB所在直线的方程.,设A(x1，y1)，B(x2，y2).,故直线AB的斜率存在，设为k，,解得k2，,解答,类型三 与抛物线有关的最值问题,例3 设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦
7、点. (1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；,解 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小.,(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值.,解答,即|PB|PF|的最小值为4.,反思与感悟 解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线
8、段最短等.,跟踪训练3 已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是,答案,解析,解析 由题意知，直线l2：x1为抛物线y24x的准线.由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离.,达标检测,1.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为 A.y28x B.y28x C.y28x或y28x D.x28y或x28y,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 设抛物线y22px或y22px(p0)，,2|y|2p8，p4. 即抛物线方程为y28x.,
9、答案,解析,2.抛物线yax2(a0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x23p，则|PQ|等于 A.4p B.5p C.6p D.8p,解析 由焦点弦公式|PQ|x1x2p， 又x1x23p，|PQ|4p.,4.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p_.,1,2,3,4,5,答案,解析,2,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x23p， |AB|x1x2p4p8，p2.,1,2,3,4,5,解答,5.如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴.,(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；,设抛物线方程为y22px(p0)，,1,2,3,4,5,解答,(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.,1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程. 2.抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用.,规律与方法,