1、2019 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x2+x60 ，B（2，2） ，则 AB（ ）A （3，2） B （3，2 C （2，3） D2 ，3）2 （5 分）已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）A3 B C D33 （5 分）已知 是复数 z 的共轭复数， （z+1） （ 1）是纯虚数，则| z|（ ）A2 B C1 D4 （5 分）若 ，则 sin4cos 4 的值为（ ）A B C D5 （5
2、 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确的是（ ）A第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟B第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80D无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟6 （5 分）函数 f（x
3、）在0 ，+）单调递减，且为偶函数若 f（2）1，则满足f（x3） 1 的 x 的取值范围是（ ）第 2 页（共 28 页）A1，5 B1，3 C3 ，5 D 2，27 （5 分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B52 C D568 （5 分）某班星期一上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、化学各 1 节，且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（ ）A6 B12 C24 D489 （5 分）过双曲线 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正
4、方形，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D210 （5 分）如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域，图中阴影部分为区域，在ABC 上任取一点，此点取自区域 、的概率分别记为 p1、p 2，则（ ）Ap 1p 2 Bp 1p 2 Cp 1p 2 Dp 1p 211 （5 分）已知ABC 中，ABAC 3，sin ABC 2sinA，延长 AB 到 D 使得 BDAB，连结 CD，则 CD 的长为（ ）A B C D3第 3 页（共 28 页）12 （5 分）已
5、知函数 f（x ）cos x， ，若x 1、x 20，1，使得f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）命题“对x 1，1 ，x 2+3x10”的否定是 ；14 （5 分）在曲线 f（x ）sinxcosx， 的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 15 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A、B 满足SAB 为等边三角形，且面积为 ，又知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 16
6、 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30 上，M （x 0，y 0）为PQ 的中点，且 y02x 0+1，则 的取值范围是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ， （其中 p、m 为常数） ，又a1a 23（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 3an，求数列a nbn的前 n 项和 Tn18
7、（12 分）如图，在四边形 ABED 中，AB DE ，ABBE，点 C 在 AB 上，且AB CD，ACBCCD 2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE与平面 PBC 所成的角为 45（1）求证：平面 PBC平面 DEBC；（2）求二面角 DPEB 的余弦值第 4 页（共 28 页）19 （12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，今年单价为 3.50 元/公斤，估计明年单价不变的可能性为 10%，变为 3.60 元/公斤的可能性为60%，变为 3.70 元/公斤的可能性为 30%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的
8、频率分布直方图如；统计近 10 年来杂交稻 B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为（x i，y i） （i 1，2，10） ，并得到散点图如图，参考数据见下（1）估计明年常规稻 A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率；（3）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/ 公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻 B 的种植
9、亩数预计为 2 万亩若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60， 2.82， （x i ） ）y i ）0.52， （x i ）20.65，第 5 页（共 28 页）附：线性回归方程 ，b 20 （12 分）已知点 在椭圆 C： 上，椭圆 C 的焦距为2（1）求椭圆 C 的方程；（2）斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且满足 |OA|2+|OB|2 的值为常数，（其中 O 为坐标原点）（i）求 k 的值以及这个常数；（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，且满足| OA|2
10、+|OB|2 的值为常数，则 k 的值以及这个常数是多少？21 （12 分）设函数 （a、b R） ，（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点 x1、x 2，求证：x 1+x2+22ax 1x2（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos2a 2（a R，a 为常数） ，过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的参数方程满足 ， （t 为参数） （1）
11、求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且| PA|PB|2，求 a和|PA | |PB|的值选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1| x1|，（1）求函数 f（x ）的值域；（2）若 x 2，1时，f（x）3x+a，求实数 a 的取值范围第 6 页（共 28 页）第 7 页（共 28 页）2019 年广东省揭阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5
12、 分）已知集合 Ax| x2+x60 ，B（2，2） ，则 AB（ ）A （3，2） B （3，2 C （2，3） D2 ，3）【分析】根据题意，求出集合 A，结合补集的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，集合 Ax|x 2+x60 （3，2） ，又由 B（2，2） ，则 AB（3，2；故选：B【点评】本题考查集合的补集计算，关键是求出集合 A，属于基础题2 （5 分）已知向量 ，若 ，则 的值为（ ）A3 B C D3【分析】可求出 ，根据 即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 的值【解答】解： ； ； ；3故选：A【点评】考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法
13、和数量积运算3 （5 分）已知 是复数 z 的共轭复数， （z+1） （ 1）是纯虚数，则| z|（ ）A2 B C1 D【分析】设复数 za+ bi，a、b R，表示出 以及（z+1） （ 1） ，再根据纯虚数以及模长公式求出|z| 的值【解答】解：设复数 za+ bi，a、b R，则 abi，第 8 页（共 28 页）（z+1） （ 1）z z+ 1a 2+b22bi 1，且为纯虚数，a 2+b210，且2b0，|z| 1故选：C【点评】本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题4 （5 分）若 ，则 sin4cos 4 的值为（ ）A B C D【分析】由已知利用
14、诱导公式求得 cos2，展开平方差公式再由二倍角公式求sin4 cos4 的值【解答】解：由 ，得 cos2 ，sin 4cos 4（sin 2+cos2） （sin 2cos 2）cos2 故选：D【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题5 （5 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如图茎叶图：则下列结论中表述不正确
15、的是（ ）A第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟B第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为 80第 9 页（共 28 页）D无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是 80 分钟【分析】第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过 80 分钟第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到 80 分钟【解答】解：由茎叶图的性质得：在 A 中，第一种生产方式的工人中，有： 75%的工人完成生产任务所需要的时间至少 80 分钟，故 A 正确；在 B 中，第二种生产方式
16、比第一种生产方式的效率更高，故 B 正确；在 C 中，这 40 名工人完成任务所需时间的中位数为： 80，故 C 正确；在 D 中，第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是超过 80 分钟第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是不到 80 分钟，故 D 错误故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）函数 f（x ）在0 ，+）单调递减，且为偶函数若 f（2）1，则满足f（x3） 1 的 x 的取值范围是（ ）A1，5 B1，3 C3 ，5 D 2，2【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式
17、进行等价转化即可【解答】解：法一：因函数 f（x ）在0 ，+）单调递减，且为偶函数，则函数 f（x）在（ ，0）单调递增，由 f（2）f （2）1，则2x321x5法二：由 f（x 3）1 得 f（x3）f （2） ，即 f（| x3|）f （2） ，即2x32，得 1x 5即 x 的取值范围是1 ，5，故选：A【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键7 （5 分）如图，网格纸上虚线小正方形的边长为 1，实线画出的是某几何体的三视图，则第 10 页（共 28 页）该几何体的体积为（ ）A B52 C D56【分析】画出
18、几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可【解答】解：由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，几何体的直观图如图：其体积为 故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积的应用，考查空间想象能力以及计算能力8 （5 分）某班星期一上午安排 5 节课，若数学 2 节，语文、物理、化学各 1 节，且物理、化学不相邻，2 节数学相邻，则星期一上午不同课程安排种数为（ ）A6 B12 C24 D48【分析】根据题意，分 2 步进行分析：将两节数学捆在一起与语文先进行排列，：将物理、化学在第一步排后的 3 个空隙中选两个插进去，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题
19、意，分 2 步进行分析：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有 种排法，：将物理、化学在第一步排后的 3 个空隙中选两个插进去有 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为 ；第 11 页（共 28 页）故选：B【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题9 （5 分）过双曲线 两焦点且与 x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D2【分析】将 xc 代入双曲线方程可得纵坐标，再由正方形的定义可得 a，b，c 的关系，由离心率公式，解方程可得所求值【解答】解：将 xc 代入双曲线的方程得 ，则 2c ，即有 acb
20、 2c 2a 2，由 e ，可得：e2e10，解得 故选：B【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题10 （5 分）如图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC 为直角三角形，四边形 DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域，图中阴影部分为区域，在ABC 上任取一点，此点取自区域 、的概率分别记为 p1、p 2，则（ ）Ap 1p 2 Bp 1p 2 Cp 1p 2 Dp 1p 2【分析】由几何概型中的面积型得：则 ，p 21p 11 第 12 页（共 28 页），由作差法比较大小得：p 1p 2 0，
21、（当且仅当 ab 时取等号） ，得解【解答】解：设ABC 两直角边的长分别为 a，b，其内接正方形的边长为 x，因为 DEBC，所以 ，解得： ，由几何概型中的面积型可得：则 ，p 21p 11 ，p1p 2 0， （当且仅当 ab 时取等号） ，即 p1p 2，故选：C【点评】本题考查了几何概型中的面积型及用作差法比较大小，属中档题11 （5 分）已知ABC 中，ABAC 3，sin ABC 2sinA，延长 AB 到 D 使得 BDAB，连结 CD，则 CD 的长为（ ）A B C D3【分析】根据三角公式化简求出 sin ，从而得出 cosA 的值，再利用余弦定理计算 CD即
22、可【解答】解：ABAC，ABC ，sinABCsin cos ，又 sinABC2sinA4sin cos ，cos 4sin cos ，0A，0 ，cos 0，sin ，cosA12sin 2 在ACD 中，由余弦定理可得 CD2AC 2+AD22AC ADcosA9+36236 第 13 页（共 28 页）CD 故选：C【点评】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）cos x， ，若x 1、x 20，1，使得f（x 1）g（x 2） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A BC D【分析】根据函数的单调性得到关于 a 的不等式，解出即可【解
23、答】解：设 F、G 分别为函数 f（x）与 g（x ）定义在区间上0 ，1上的值域，则 F1，1，当 a0 时， ea1， 单调递增，当 a0 时，g（x）单调递减，x1、x 20，1使得 f（x 1） g（x 2）FG ，因为 在（0，+）上递增，在（，0）上递减，所以 ，所以解得（1）式 ， （2）式，综上 a ，第 14 页（共 28 页）故选：B【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）命题“对x 1，1 ，x 2+3x10”的否定是 x1，1 ，x 2+3x
24、10 ；【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为x1，1，x 2+3x10故答案为 x1，1，x 2+3x10【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14 （5 分）在曲线 f（x ）sinxcosx， 的所有切线中，斜率为 1 的切线方程为 x y10 【分析】求出原函数的导函数，由导函数值为 1 求得 x，得到切点坐标，再由直线方程点斜式得答案【解答】解：由 f（x ）sinxcosx，得 f（x）cosx+sinx ，由 ，得 sin（x + ） ， ，x+ （ ， ） ，x+ ，即 x0切点为（0，1） ，切线方程为 y+1x
25、，即 xy10故答案为：xy 10【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查已知三角函数值求角，是中档题15 （5 分）已知圆锥的顶点为 S，底面圆周上的两点 A、B 满足SAB 为等边三角形，且面积为 ，又知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为 8（ ） 【分析】由等边SAB 的面积求出母线 l 的值，再求出圆锥底面半径 r 和高 h，从而求得圆锥的表面积【解答】解：设圆锥母线长为 l，由SAB 为等边三角形，且面积为 ，第 15 页（共 28 页）所以 l24 ，解得 l4；又设圆锥底面半径为 r，高为 h，则由轴截面的面积为 8，得 rh8；又 r2+h2
26、16，解得 ，（或设轴截面顶角为 S，则由 ，求得 S90，可得圆锥底面直径 ）所以圆锥的表面积为故答案为：8（ +1） 【点评】本题考查了圆锥的结构特征应用问题，也考查了三角形边角关系应用问题，是中档题16 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30 上，M （x 0，y 0）为PQ 的中点，且 y02x 0+1，则 的取值范围是 （ ， ） 【分析】由点 P 所在的直线与点 Q 所在直线互相平行，可求出 PQ 中点 M（x 0，y 0）所在直线的方程，再与直线 y2x +1 联立求得交点 N，求出斜率 kON，设 k，根据 PQ 中点 M 满
27、足的条件求出 k 的取值范围【解答】解：点 P 所在的直线 x+2y10 与点 Q 所在直线 x+2y+30 平行，因此可设 PQ 中点 M（x 0，y 0）所在直线的方程为 x+2y+m0， ，解得 m1；PQ 中点 M（x 0，y 0）所在直线的方程为 x+2y+10，第 16 页（共 28 页）联立 ，解得 ，其交点为 N（ ， ） ；k ON ；令 k，PQ 中点为 M（x 0，y 0）满足 x0+2y0+10，且 y02x 0+1，如图所示； k ；即 的取值范围是（ ， ） 故答案为：（ ， ） 【点评】本题考查了平行线之间的距离公式、线性规划的有关知识、斜率的意义，也考查了推理与
28、转化能力，是难题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 ， （其中 p、m 为常数） ，又a1a 23第 17 页（共 28 页）（1）求数列a n的通项公式；（2）设 bnlog 3an，求数列a nbn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）令 n1，2，解方程可得 p，m ，运用数列的递推式，即可得到所求数列的通项公式；（2）求得 ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求
29、和公式，化简计算可得所求和【解答】解：（1）由 a1a 23 得 3p+m6，2（a 1+a2）9p+m12，解得 p1，m3，即 ，当 n2 时， 得 ，即 ，a 13 不满足上式， ；（2）依题意得当 n1 时，T 1a 1b13，当 n2 时，T na 1b1+a2b2+a3b3+anbn31+31+3 22+3n1 （n1） ，两式相减得： ，显然当 n1 时，T 13 符合上式 【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题第 18 页（共 28 页）18 （12 分）如图，在四边形 ABED 中，AB DE
30、，ABBE，点 C 在 AB 上，且AB CD，ACBCCD 2，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且 PE与平面 PBC 所成的角为 45（1）求证：平面 PBC平面 DEBC；（2）求二面角 DPEB 的余弦值【分析】 （1）推导出 CDEB，PCCD ，EB PC ，从而 EB平面 PBC，由此能证明平面 PBC平面 DEBC（2）由 EB平面 PBC，得 EBPB，从而 PBEB ，取 BC 的中点 O，连结 PO，以 O为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求
31、出二面角DPEB 的余弦值【解答】证明：（1）ABCD，ABBE，CDEB ，ACCD，PCCD，EBPC，且 PCBC C ，EB平面 PBC，又EB 平面 DEBC，平面 PBC平面 DEBC解：（2）由（1）知 EB平面 PBC，EBPB，由 PE 与平面 PBC 所成的角为 45得EPB45，PBE 为等腰直角三角形，PBEB，ABDE ，结合 CDEB 得 BECD2，PB2，故PBC 为等边三角形，取 BC 的中点 O，连结 PO，POBC，PO平面 EBCD，以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x 轴，CB 所在的直线为 y 轴，OP 所在的直线为
32、z 轴建立空间直角坐标系如图，则 B（0，1，0） ，E（2，1，0） ，D （2，1，0） ， ，第 19 页（共 28 页）从而 ， ， ，设平面 PDE 的一个法向量为 ，平面 PEB 的一个法向量为 ，则由 得 ，令 z2 得 ，由 得 ，令 c1 得 ，设二面角 DPEB 的大小为 ，则 ，即二面角 DPEB 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）某地种植常规稻 A 和杂交稻 B，常规稻 A 的亩产稳定为 500 公斤，今年单价为 3.50
33、元/公斤，估计明年单价不变的可能性为 10%，变为 3.60 元/公斤的可能性为60%，变为 3.70 元/公斤的可能性为 30%统计杂交稻 B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如；统计近 10 年来杂交稻 B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的 10 组数据记为（x i，y i） （i 1，2，10） ，并得到散点图如图，参考数据见下第 20 页（共 28 页）（1）估计明年常规稻 A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻 B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概
34、率；（3）判断杂交稻 B 的单价 y（单位：元/ 公斤）与种植亩数 x（单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻 B 的种植亩数预计为 2 万亩若在常规稻 A 和杂交稻 B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据： 1.60， 2.82， （x i ） ）y i ）0.52， （x i ）20.65，附：线性回归方程 ，b 【分析】 （1）先求出概率分布，再用期望公式计算；（2）中点值乘以概率再相加可得 B 的亩产平均值，用独立重复事件的概率公式计算可得；（3）根据散点图可得 y 与 x 线性相关，由散点图可得斜率
35、，由平均数可得 a，从而可得线性回归方程，然后算出 B，A 的单价平均数，亩产收入平均数进行比较可得【解答】解：（1）设明年常规稻 A 的单价为 ，则 的分布列为： 3.50 3.60 3.70P 0.1 0.6 0.3E（）3.50.1+3.60.6+3.70.33.62，第 21 页（共 28 页）估计明年常规稻 A 的单价平均值为 3.62（元/ 公斤） ；（3 分）（2）杂交稻 B 的亩产平均值为：（730+790+800）0.005+ （740+780 ）0.01+（750+770）0.02+7600.02510116+152+304+190762（5 分）依题意知杂交稻 B 的亩产
36、超过 765 公斤的概率为：p0.2+0.1+0.520.4，则将来三年中至少有二年，杂交稻 B 的亩产超过 765 公斤的概率为：（7 分）（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻 B 的单价 y 与种植亩数 x 线性相关，（8 分）由题中提供的数据得： ，由，所以线性回归方程为 ，（10 分）估计明年杂交稻 B 的单价 元/ 公斤；估计明年杂交稻 B 的每亩平均收入为 7622.501905 元/亩，估计明年常规稻 A 的每亩平均收入为 500E（）5003.621810 元/亩，因 19051875，所以明年选择种植杂交稻 B 收入更高（12 分）【点评】本题考查
37、了线性回归方程，属中档题20 （12 分）已知点 在椭圆 C： 上，椭圆 C 的焦距为2（1）求椭圆 C 的方程；第 22 页（共 28 页）（2）斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且满足 |OA|2+|OB|2 的值为常数，（其中 O 为坐标原点）（i）求 k 的值以及这个常数；（ii）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，且满足| OA|2+|OB|2 的值为常数，则 k 的值以及这个常数是多少？【分析】 （1）根据点在椭圆上，以及 c1，又 a2b 2+c2，解得即可求出 b22，得a23，可得椭圆方程，（2） （i）
38、设直线 l 的方程为 ykx+t，联立 ，根据韦达定理和点与点的距离公式化简|OA| 2+|OB|2，再根据| OA|2+|OB|2 的值为常数，即可求出 k 的值，（ii）利用类比推理即可得到结论【解答】解：（1）由点 P 在椭圆上得 ，2c2，3b 2+2a22a 2b2，c1，又 a2b 2+c2，3b 2+2（b 2+1）2（b 2+1） b2，2b 43b 220，得 b22，得 a23，椭圆 C 的方程为 ；（2） （i）设直线 l 的方程为 ykx+t，联立 ，得（3k 2+2）x2+6ktx+3t260，x 1+x2 ，x 1x2又 ，y 222（1 ） ， 第 23 页（共
39、28 页） ，要使|OA| 2+|OB|2 为常数，只需 18k2120，得 ，|OA |2+|OB|2 ， ，这个常数为 5；（ii） ，这个常数为 a2+b2【点评】本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题21 （12 分）设函数 （a、b R） ，（1）讨论 f（x ）的单调性；（2）若函数 f（x ）有两个零点 x1、x 2，求证：x 1+x2+22ax 1x2【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出 ，问题转化为证 ，设 ，则t1，只需证 ，设 ，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1） ，
40、（1 分）设 g（x）ax 2x 1（x0） ，当 a 0 时， g（x）0，f'（x ）0；（2 分）当 a 0 时，由 g（x）0 得 或 ，第 24 页（共 28 页）记 x 0则 ，当 x（0，x 0）时，g（x）0，f '（x）0，当 x（x 0，+）时，g（x）0，f '（x ）0，（4 分）当 a0 时，f（x ）在（0，+）上单调递减；当 a0 时，f（x ）在 上单调递减，在 上单调递增（5 分）（2）不妨设 x1x 2，由已知得 f（x 1）0，f （x 2）0，即 ，（6 分）两式相减得 ， ，（7 分）要证 x1+x2+22ax 1x2，即要证
41、，只需证 ，只需证 ，即要证 ，（9 分）第 25 页（共 28 页）设 ，则 t1，只需证 ，（10 分）设 ，只需证 h（t）0， ，h（t）在（1，+）上单调递增，h（t）h（1）0，得证（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明以及转化思想，是一道综合题（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos2a 2（a
42、 R，a 为常数） ，过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的参数方程满足 ， （t 为参数） （1）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的参数方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间） ，且| PA|PB|2，求 a和|PA | |PB|的值【分析】 （1）先用二倍角余弦公式变形再利用互化公式 x cos，y sin 可得 C 的普通方程，根据点 P（2，1）和倾斜角 30可得直线 l 的参数方程；（2）联立直线 l 的参数方程与 C 的普通方程，再根据参数 t 的几何意义可得【解答】解：（1）由 2cos2a 2 得 2（cos 2sin
43、2）a 2，（1 分）又 xcos ，ysin ，得 x2y 2a 2，第 26 页（共 28 页）C 的普通方程为x2y 2a 2，（2 分）过点 P（2，1） 、倾斜角为 30的直线 l 的普通方程为 ，（3 分）由 得直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ；（5 分）（2）将 代入 x2y 2a 2，得 ，（6 分）依题意知则上方程的根 t1、t 2 就是交点 A、B 对应的参数， ，由参数 t 的几何意义知|PA| PB| t1|t2| t1t2|，得|t 1t2|2，点 P 在 A、B 之间，t 1t20，t 1t22，即 2（3a 2）2，解得 a24（满足 0） ，a2，（8 分）|PA | |PB| |t1| t2| t1+t2|，又 ， （10 分）第 27 页（共 28 页）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1| x1|，（1）求函数 f（x ）的值域；
