1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 293 页)A 组 基础对点练1若直线 l 不平行于平面 ，且 l，则( B )A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 与直线 l 至少有两个公共点D 内的直线与 l 都相交2已知直线 a 和平面 ，那么 a 的一个充分条件是 ( C )A存在一条直线 b，ab 且 bB存在一条直线 b，ab 且 bC存在一个平面 ，a 且 D存在一个平面 ，a 且 3设 ， 是两个不同的平面，m 是直线且 m， “m ”是“ ”的( B )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知 m，n 是两条不同的直线， 是
2、三个不同的平面，则下列命题中正确的是( C )A若 ， ，则 B若 mn，m ，n，则 C若 mn，m ，n ，则 D若 mn，m，则 n5.如图所示，在四棱锥 OABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，ABC，OA底面 ABCD，OA2，M 为 OA 的中点，N 为 BC 的中点4(1)求四棱锥 OABCD 的体积；(2)证明：直线 MN平面 OCD.解析：(1)OA底面 ABCD，OA 是四棱锥 OABCD 的高 四棱锥OABCD 的底面是边长为 1 的菱形，ABC ， 底面面积 S 菱形 ABCD .4 22OA2，体积 VOABCD .23(2)证明：取 OB 的中点 E，
3、连接 ME，NE(图略)MEAB，ABCD，MECD.又 NEOC，ME EN E，CDOCC，平面 MNE平面 OCD.MN平面 MNE，MN平面 OCD.6一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 BC 的中点为 M，GH 的中点为 N.(1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线 MN平面 BDH；(3)过点 M，N，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比解析：(1)点 F，G，H 的位置如图所示(2)证明：连接 BD，设 O为 BD 的中点，连接 OM，OH，AC ，BH，MN.M，N 分别是 BC，G
4、H 的中点，OMCD，且 OM CD，12NHCD，且 NH CD，12OMNH，OM NH，则四边形 MNHO 是平行四边形，MNOH，又 MN平面 BDH，OH平面 BDH，MN平面 BDH.(3)由(2)知 OMNH，OMNH，连接 GM，MH ，过点 M，N，H 的平面就是平面 GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，体积比等于底面积之比，即31.B 组 能力提升练1如图，点 E 为正方形 ABCD 边 CD 上异于点 C，D 的动点，将ADE 沿 AE翻折成SAE，使得平面 SAE平面 ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( B )存在点 E 使得直线 SA平面 SBC；平面 SB
5、C 内存在直线与 SA 平行；平面 ABCE 内存在直线与平面 SAE 平行A0 B1C2 D32在三棱锥 PABC 中，PB6，AC3，G 为PAC 的重心，过点 G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线 PB 和 AC，则截面的周长为 8 .解析：过点 G作 EFAC，分别交 PA，PC 于点 E，F，过 E，F 分别作ENPB，FMPB ，分别交 AB，BC 于点 N，M，连接 MN(图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以 ，即 EFMN 2， ，即EF3 23 FMPB FM6 13FMEN2，所以截面的周长为 248.3如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA
6、平面 ABCD，E 为PD 的中点(1)证明：PB平面 AEC；(2)设 AP1，AD ，三棱锥 PABD 的体积 V ，求 A 到平面 PBC 的距334离解析：(1)证明：设 BD 与 AC 的交点为 O，连接 EO，如图因为 ABCD 为矩形，所以 O为 BD 的中点又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB.因为 EO平面 AEC，PB平面 AEC，所以 PB平面 AEC.(2)V PAABAD AB.16 36由 V ，可得 AB .34 32作 AH PB 于 H.由题设知 BC平面 PAB，所以 BCAH，故 AH 平面 PBC.又 AH ，PAABPB 31313所以 A 到平面
7、 PBC 的距离为 .313134(2018南昌模拟 )如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，AB CD，AB2DC2 ，且PAD 与ABD 均为正三角3形，E 为 AD 的中点，G 为PAD 的重心(1)求证：GF平面 PDC；(2)求三棱锥 GPCD 的体积解析：(1)证明：连接 AG 并延长交 PD 于点 H，连接 CH.由梯形 ABCD 中，AB CD，且 AB2DC 知， .AFFC 21又 E 为 AD 的中点， G为 PAD 的重心， .AGGH 21在AHC 中， ，故 GFHC.AGGH AFFC 21又 HC平面 PCD，GF
8、平面 PCD，GF平面 PDC.(2)由平面 PAD平面 ABCD，PAD 与ABD 均为正三角形，E 为 AD 的中点，知 PEAD，BE AD .又 平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 PAD，PE平面 ABCD，且PE3.由(1)知 GF平面 PDC，V 三棱锥 GPCD V 三棱锥 FPCD V 三棱锥PCDF PESCDF.13又由梯形 ABCD 中，AB CD，且 AB2DC2 ，知 DF BD ，313 233又ABD 为正三角形，得 CDFABD60，SCDF CDDFsinBDC ，得 V 三棱锥 PCDF PESCDF ，12 32 13 32三棱锥 G PCD 的体
9、积为 .325如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 .点17G，E， F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上共面的四点，平面 GEFH 平面ABCD，BC平面 GEFH .(1)证明：GH EF ；(2)若 EB2，求四边形 GEFH 的面积解析：(1)证明：因为 BC平面 GEFH，BC平面 PBC，且平面 PBC平面GEFHGH，所以 GHBC.同理可证 EFBC，因此 GHEF.(2)如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，GK .因为 PAPC，O 是 AC 的中点，所以 POAC，同理可得 POBD.又 B
10、D ACO，且 AC，BD 都在底面内，所以 PO底面 ABCD.又平面 GEFH平面 ABCD，且 PO平面 GEFH，所以 PO平面 GEFH.因为平面 PBD平面 GEFHGK ，所以 POGK，且 GK底面 ABCD，从而 GKEF，所以 GK 是梯形 GEFH 的高由 AB8，EB2，得 EBABKBDB 14，从而 KB DB OB，即 K 为 OB 的中点14 12由 POGK 得 GK PO，12即 G是 PB 的中点，且 GH BC4.12由已知可得 OB4 ，2PO 6，PB2 OB2 68 32所以 GK3.故四边形 GEFH 的面积 S GK 318.GH EF2 4 82
