1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第 239 页)A 组 基础对点练1已知函数 f(x)x 3ax 2bxc ，下列结论中错误的是( C )Ax 0R， f(x0)0B函数 yf(x )的图象可能是中心对称图形C若 x0 是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x 0)单调递减D若 x0 是 f(x)的极值点，则 f(x 0)02设函数 f(x)的定义域为 R，x 0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( D )AxR， f(x)f(x 0)B x0 是 f(x )的极小值点C x0 是f(x )的极小值点Dx 0 是 f(x )的极小值点3设函数 f(x)在 R 上可
2、导，其导函数为 f (x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 yxf (x)的图象可能是( C )4(2017岳阳模拟 )下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( D )Ayx 3 Byln(x)Cyx ex Dyx2x5函数 f(x) x2ln x 的最小值为( A )12A. B112C0 D不存在6若 a0，b0，且函数 f(x)4x 3ax 22bx2 在 x1 处有极值，若tab，则 t 的最大值为( D )A2 B3C6 D97已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(e x1)(x 1) k(k1,2)，则( C )A当 k1 时， f(x)在 x1 处取到极小值
3、B当 k1 时，f(x )在 x1 处取到极大值C当 k2 时，f(x )在 x1 处取到极小值D当 k2 时， f(x)在 x1 处取到极大值8已知函数 g(x)满足 g(x)g(1)e x1 g(0) x x2，且存在实数 x0 使得不等式122m1g(x 0)成立，则 m 的取值范围为( C )A( ，2 B(，3C1，) D0，)9(2017广东肇庆模拟 )已知函数 f(x)x 3ax 23x 9，若 x3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a 5 .解析：f( x)3x 22ax3，由题意知 x3 为方程 3x22ax 30 的根，所以 3(3) 2 2a(3) 30，解得 a5
4、.10(2018高考江苏卷 )若函数 f(x)2x 3ax 21( aR )在(0，) 内有且只有一个零点，则 f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为 3 .解析：函数 f(x)2x 3ax 21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，f(x)2x(3xa)，x (0 ，) ，当 a0 时，f(x )2x(3xa)0，函数 f(x)在(0，) 上单调递增，f(0)1，f(x)在(0 ， )上没有零点，舍去；当 a0 时，f(x )2x(3xa)0 的解为 x ，a3f(x)在 上递减，在 上递增，(0，a3) (a3， )又 f(x)只有一个零点，f 10，解得 a3，f(x)2x 33x 2
5、1，f (x )(a3) a3276x(x 1) ，x1,1 ，f(x)0 的解集为(1,0)，f(x)在(1,0) 上递增，在(0,1)上递减，f(1)4， f(0)1，f(1)0， f(x)minf( 1)4，f(x) maxf (0)1，f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为 f(x)maxf( x)min413.11(2018高考北京卷 )设函数 f(x)ax 2(4 a1) x4a3e x.(1)若曲线 yf(x)在点(1，f(1) 处的切线与 x 轴平行，求 a；(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值，求 a 的取值范围解析：(1)函数 f(x)ax 2(4a1) x4a3e
6、x的导数为 f(x)ax 2(2a1)x2e x.由题意可得曲线 yf(x)在点(1，f(1) 处的切线斜率为 0，可得(a2a 12)e0，解得 a1.(2)f(x)的导数为 f(x) ax 2(2a1)x2e x( x 2)(ax1)e x，若 a0，则 x2 时，f (x )0，f(x)递增；x 2，f(x)0，f (x)递减x2处 f(x)取得极大值，不符题意；若 a ，则 f(x ) (x2) 2ex0，f(x) 在 R上递增，无极值；12 12若 a ，则 2，f(x )在 递减；在(2 ，)， 递增可得 f(x)在12 1a (1a，2) ( ，1a)x2 处取得极小值；若 0a
7、 ，则 2，f(x) 在 递减；在 ，(，2)递增可得 f(x)12 1a (2，1a) (1a， )在 x2 处取得极大值，不符题意；若 a0，则 2，f(x )在 递增；在(2 ，)， 递减可得 f(x)在1a (1a，2) ( ，1a)x2 处取得极大值，不符题意综上可得，a 的取值范围是 .(12， )12已知函数 f(x)e x(axb)x 24x ，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值解析：(1)f (x)e x(axab)2x 4.由已知得 f(0)4，f (0) 4，故 b4，a
8、b8.从而 a4，b4.(2)由(1)知 f(x)4e x(x1)x 24x，f(x)4e x(x2)2x 44(x 2) .(ex 12)令 f( x)0，得 xln 2 或 x2.从而当 x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当 x(2，ln 2)时，f(x)0.故 f(x)在( ，2) ，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当 x2 时，函数 f(x)取得极大值，极大值为 f( 2)4(1e 2 )B 组 能力提升练1数列 an满足 an2 2 an1 a n，且 a2 014，a 2 016 是函数 f(x) x34x 26x1 的极值点，则 log2(a2 000
9、a 2 012a 2 018a 2 030)的值是( C )13A2 B3C4 D52(2017江西八所重点中学联考)已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( B )A( ，0) B (0，12)C(0,1) D(0，)3设函数 f(x)满足 x2f(x)2xf (x) ，f(2) ，则当 x0 时，函数 f(x)( D )exx e28A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值4设函数 f(x) sin .若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x f (x0)23，其中 kZ.由题意，存在整数 k使(k 12) 1
10、 (k 12)2得不等式 m2 3 成立当 k1 且 k0 时，必有 21，此时1 (k 12)2 (k 12)不等式显然不能成立，故 k1 或 k0，此时，不等式即 m23，解得34m2.故选 C.5函数 yxe x在其极值点处的切线方程为 y .1e解析：由 y xex可得 y e xxe xe x(x1)，从而可得 yx ex在(，1)上递减，在(1，) 上递增，所以当 x1 时，y xe x取得极小值e 1 ，因为 y| x1 0，故切线方程为 ye 1 ，即 y .1e6(2017山东曲阜模拟 )若函数 f(x)的导数 f(x) (xk) k，k 1，kZ，(x 52)已知 xk 是
11、函数 f(x)的极大值点，则 k 1 .解析：函数的导数为 f (x) (xk) k，k1，k Z，(x 52)若 k是偶数，则 xk 不是极值点，则 k是奇数，若 k ，由 f( x)0，解得 x 或 xk ；由 f( x)0，解得 kx ，即当52 52 52xk 时，函数 f(x)取得极大值，k Z，k 1.若 k ，由 f( x)0，解得 xk 或 x ；由 f (x)0，解得 xk ，即当52 52 52xk 时，函数 f(x)取得极小值，不满足条件7(2017高考全国卷 )已知函数 f(x)ax 2axx ln x，且 f(x)0.(1)求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值
12、点 x0，且 e2 1 时，1xg(x)0，g(x )单调递增所以 x1 是 g(x)的极小值点，故 g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证明：由(1)知 f(x)x 2x xln x，f(x )2x2ln x.设 h(x)2x2ln x，则 h(x) 2 .1x当 x 时，h( x)0.(0，12) (12， )所以 h(x)在 内单调递减，在 内单调递增(0，12) (12， )又 h(e2 )0，h 0；当 x(x 0,1)时，h(x )0.因为 f( x)h(x)，所以 xx 0是 f(x)的唯一极大值点由 f( x0)0 得 ln x02(x 01)，故 f(x0)x 0(1x 0
13、)由 x0 得 f(x0)f(e1 )e 2 .所以 e2 f(x0)22 .8已知函数 f(x) x2ln x，g(x )f(x)2ax(aR)(a 12)(1)当 a0 时，求 f(x)在区间 上的最小值；1e，e(2)若x(1 ， ) ，g(x)0 恒成立，求 a 的取值范围解析：(1)函数 f(x) x2ln x 的定义域为(0， )，(a 12)当 a0 时，f(x ) x2ln x，12则 f( x)x .1x x2 1x x 1x 1x当 x 时，f( x)0；1e，1)当 x1，e 时，f(x) 0，f(x)在区间 上是增函数，在区间1，e 上为减函数，1e，1)又 f 1 ，
14、f(e)1 ，(1e) 12e2 e22f(x)minf(e) 1 .e22(2)g(x)f(x) 2ax x22axln x ，则 g(x)的定义域为(0，)，(a 12)g(x)(2 a 1)x2a ，1x 2a 1x2 2ax 1x x 12a 1x 1x若 a ，则令 g(x )0，得 x11，12x2 ，12a 1当 x2x 11，即 a1 时，12在(0,1)上有 g(x )0，在(1，x 2)上有 g( x)0，在 (x2，)上有 g(x)0，此时 g(x)在区间(x 2，)上是增函数，并且在该区间上有 g(x)(g(x 2)，)，不合题意；当 0x2x 11，即 a1 时，同理可知，g(x)在区间(1，)上有 g(x)(g(1)，)，也不合题意；若 a ，则有 2a10，此时在区间(1，)上恒有 g(x)0，12从而 g(x)在区间(1，)上是减函数；要使 g(x)0 在此区间上恒成立，只需满足 g(1)a 0a ，由此求12 12得 a的取值范围是 . 12，12综合可知，a 的取值范围是 . 12，12
