1、21.2 离散型随机变量的分布列1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质 2.会求某些简单的离散型随机变量的分布列3理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用1离散型随机变量的分布列(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x 2，x i，x n，X 取每一个值xi(i 1， 2，n)的概率 P(Xx i)p i，以表格的形式表示如下：X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn这个表格称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质：p i0，i1，2，n；（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这
2、个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式 P（Xx i）p i，i1，2，n 和图象表示.（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况.2两个特殊分布(1)两点分布X 0 1P 1p p若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 pP(X1) 为成功概率(2)超几何分布一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk )，k0，1，2，m ，即X 0 1 mP 其中 mminM
3、，n，且 nN ，M N ，n，M ，N N *.如果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布(1)超几何分布的模型是不放回抽样(2)超几何分布中的参数是 M，N ，n.(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成 判断正误(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数( )(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积( )(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1.( )(4)超几何分布的模型是
4、放回抽样( )答案：(1) (2) (3) (4)下列表中能成为随机变量 的分布列的是( )A. 1 0 1P 0.3 0.4 0.4B. 1 2 3P 0.4 0.7 0.1C. 1 0 1P 0.3 0.4 0.3D. 1 2 3P 0.3 0.1 0.4答案：C若随机变量 X 服从两点分布，且 P(X0)0.8，P(X1) 0.2.令 Y3X2，则P(Y2)_答案：0.8探究点 1 离散型随机变量的分布列某班有学生 45 人，其中 O 型血的有 15 人，A 型血的有 10 人，B 型血的有 12 人，AB 型血的有 8 人将 O，A，B，AB 四种血型分别编号为 1，2，3，4，现从中
5、抽 1 人，其血型编号为随机变量 X，求 X 的分布列.【解】 X 的可能取值为 1，2，3，4.P(X1) ，P(X2) ，13 29P(X3) ，P(X4) .415 845故 X 的分布列为X 1 2 3 4P 13 29 415 845求离散型随机变量分布列的一般步骤(1)确定 X 的所有可能取值 xi(i1，2，) 以及每个取值所表示的意义(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率 P(Xx i)p i(i1，2，)(3)写出分布列(4)根据分布列的性质对结果进行检验 抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，其底面落于桌面，记底面上的数字分别为 x
6、，y.设 为随机变量，若 为整数，则 0；若 为xy xy小于 1 的分数，则 1；若 为大于 1 的分数，则 1.xy(1)求概率 P(0)；(2)求 的分布列解：(1)依题意，数对(x ，y)共有 16 种情况，其中使 为整数的有以下 8 种：xy(1，1)，(2 ，2)，(3，3)，(4 ，4)，(2 ，1)，(3，1) ，(4，1)，(4 ，2)，所以 P(0) .816 12(2)随机变量 的所有取值为1，0，1.由(1)知 P(0) ；121 有以下 6 种情况：(1 ，2) ，(1，3)，(1 ，4)，(2 ，3)，(2，4) ，(3，4)，故 P(1) ；616 38 1 有以
7、下 2 种情况：(3 ，2) ，(4，3)，故 P(1) ，216 18所以随机变量 的分布列为 1 0 1P 38 12 18探究点 2 离散型随机变量的分布列的性质设随机变量 X 的分布列 P(X )ak( k1，2，3， 4，5) k5(1)求常数 a 的值；(2)求 P(X )；35(3)求 P( X )110 710【解】 (1)由 P(X )ak ，k 1，2，3，4，5 可知，k5(X ) ka2a 3a4a5a1，5k 1P k55k 1a解得 a .115(2)由(1)可知 P(X ) (k1，2，3，4，5) ，k5 k15所以 P(X )P(X )P(X )P(X1)35
8、 35 45 .315 415 515 45(3)P( X )P (X )P( X )P(X ) .110 710 15 25 35 115 215 315 25离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和(2018河北邢台一中月考) 随机变量 X 的分布列为 P(Xk) ，k1，2，3，4，c 为常数，则 P 的值为( )ck（k 1） (23 X 52)A. B.45
9、56C. D.23 34解析：选 B.由题意 1，c12 c23 c34 c45即 c1，c ，45 54所以 P(23 X 52)P(X 1)P(X2) 54 ( 112 123) .故选 B.56探究点 3 两点分布与超几何分布一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1，2，3；黑球有 2 个，编号为 1，2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球(1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率(2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的分布列【解】 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数 nC 20，取出的 3
10、个球的颜色36都不相同包含的基本事件的个数为 C C C 6，所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率13 12 1P .620 310(2)由题意知 X0，1，2，3.P(X0) ，P(X1) ，120 920P(X2) ，P(X3) ，920 120所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 120 920 920 1201变问法 在本例条件下，记取到白球的个数为随机变量 ，求随机变量 的分布列解：由题意知 0，1，服从两点分布，又 P(1) ，所以随机变量 的分布列12为 0 1P 12 122变条件 将本例的条件“一次随机抽取 3 个球”改为“ 有放回地抽取 3 次球，每次抽取1 个球”
11、其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出 3 个球颜色都不相同的概率 P .16(2)由题意知 X0，1，2，3.P(X0) ，3363 18P(X1) .38P(X2) ，38P(X3) .3363 18所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 18 38 38 18求超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布 (2)在超几何分布公式中，P(Xk) ，k 0，1，2，m ，其中，mminM，n，且 0nN，0k n，0kM ，0nk NM.(3)如果随机变量 X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率 ，关键是明确随机变量 X
12、的所有取值(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示 某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2 名男生，3 名女生，理学院推荐了 4 名男生，3 名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名学生再随机抽取 4 名参赛，记 X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列解：(1)由题意，参加集训的男、女学生各有 6 人，参赛学生全从理学院中抽出 (等价于文学院中没有学生入选代表队)的概率为：
13、 ，因此文学院至少有一名学生入选代表队1100的概率为：1 .1100 99100(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛 ，X 表示参赛的男生人数，则 X 的可能取值为：1，2，3.P(X1) ，P(X2) ，P(X3) .15 35 15所以 X 的分布列为X 1 2 3P 15 35 151设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 描述一次试验的成功次数，则P(0)等于( )A0 B.13C. D.12 23解析：选 B.设 P(1) p，则 P(0) 1p.依题意知，p2(1p)，解得 p .23故 P( 0)1p .132(2018昆明质检)一盒中有 1
14、2 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4) 的值为( )A. B.1220 2755C. D.27220 2125解析：选 C.X4 表示取出的 3 个球为 2 个旧球 1 个新球，故 P(X4) .272203随机变量 的分布列如下 1 2 3 4 5 6P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2则 x_，P (3)_ 解析：由分布列的性质得02x0.350.10.150.21，解得 x0.故 P(3)P(1)P( 2)P(3) 0.20.350.55.答案：0 0.554某高二数学兴趣小
15、组有 7 位同学，其中有 4 位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛若从该小组中任选 3 位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这 3 位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数 的分布列及 P(2) 解：由题意可知， 的可能取值为 0，1，2，3.则 P( 0) ，P( 1) ，135 1235P(2) ，P( 3) .1835 435所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3P 135 1235 1835 435P(2)P( 0)P( 1) .135 1235 1335知识结构 深化拓展1.离散型随机变量分布列的性质是检验一个分布列正确与否的重要依据(即看分布列中的概率是否均为非负实数且所有的概
16、率之和是否等于 1)，还可以利用性质求出分布列中的某些参数，也就是利用概率和为 1 这一条件求出参数2超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道 N、M 和 n 就可以根据公式：P(Xk) 求出 X 取不同值 k 时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解 M、N、n、k 的含义., A 基础达标1袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1，2，3，4，5 五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量 X，则 X 所有可能取值的个数是( )A5 B9C10 D25解析：选 B.号码之和可能为 2，3，4，5，6，7，8，9，10
17、，共 9 种2随机变量 X 所有可能取值的集合是2，0，3，5 ，且 P(X2) ，P( X3)14 ，P( X5) ，则 P(X0)的值为( )12 112A0 B.14C. D.16 18解析：选 C.因为 P(X2) P(X0) P(X3)P( X5) 1，即 P(X0) 1，14 12 112所以 P(X0) ，故选 C.212 163设随机变量 X 的概率分布列为X 1 2 3 4P 13 m 14 16则 P(|X 3|1)( )A. B.712 512C. D.14 16解析：选 B.根据概率分布列的性质得出： m 1，所以 m ，随机变量 X 的概率13 14 16 14分布列
18、为X 1 2 3 4P 13 14 14 16所以 P(|X3|1)P( X4) P(X2) .故选 B.5124若随机变量 的分布列如下： 2 1 0 1 2 3P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1则当 P(x)0.8 时，实数 x 的取值范围是( )Ax1 B1x2C1x2 D1x2解析：选 C.由分布列知，P(2) P (1)P( 0)P(1)0.10.20.20.30.8，所以 P(2)0.8 ，故 1x2.5(2018湖北武汉二中期中) 袋子中装有大小相同的 8 个小球，其中白球 5 个，分别编号1，2，3，4，5；红球 3 个，分别编号 1，2，3，现从袋子中任取 3
19、 个小球，它们的最大编号为随机变量 X，则 P(X3)等于( )A. B.528 17C. D.1556 27解析：选 D.X3 第一种情况表示 1 个 3，P 1 ，第二种情况表示 2 个 3，P 2314 ，所以 P(X3)P 1P 2 .故选 D.114 314 114 276随机变量 Y 的分布列如下：Y 1 2 3 4 5 6P 0.1 x 0.35 0.1 0.15 0.2则(1)x_；(2) P(Y3)_；(3)P(1Y4) _解析：(1)由 pi1，得 x0.1.6 i 1(2)P(Y3) P(Y 4)P(Y 5)P(Y 6)0.10.150.20.45.(3)P(1Y4) P
20、(Y 2)P(Y 3)P(Y 4)0.10.350.10.55.答案：(1)0.1 (2)0.45 (3)0.557某篮球运动员在一次投篮训练中的得分 X 的分布列如下表，其中 a，b，c 成等差数列，且 cab.X 0 2 3P a b c则这名运动员得 3 分的概率是_解析：由题意得，2bac，cab，abc 1，且 a0，b0，c0，联立得 a ，b ，c ，12 13 16故得 3 分的概率是 .16答案：168一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 .从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，则 P(X2) _79解
21、析：设 10 个球中有白球 m 个，则 1 ，解得：m 5.P(X2) .79 512答案：5129设离散型随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 m试求：(1)2X 1 的分布列；(2)|X1|的分布列解：由分布列的性质知 0.20.10.10.3m 1，所以 m0.3.列表为：X 0 1 2 3 42X1 1 3 5 7 9|X1| 1 0 1 2 3(1)2X 1 的分布列为：2X1 1 3 5 7 9P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)|X1|的分布列为：|X1| 0 1 2 3P 0.1 0.3 0.3 0.310从集合1，2，
22、3，4，5中，等可能地取出一个非空子集(1)记性质 r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质 r 的概率；(2)记所取出的非空子集的元素个数为 X，求 X 的分布列解：(1)记“所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A.基本事件总数 nC C C C C 31.15 25 35 45 5事件 A 包含的基本事件是1， 4，5 ，2，3，5 ，1，2，3，4 ，事件 A 包含的基本事件数 m3.所以 P(A) .mn 331(2)依题意，X 的所有可能值为 1，2，3，4，5.又 P(X1) ，531P(X2) ，1031P(X3) ，1031P(X4) ，531P(X5)
23、.131故 X 的分布列为X 1 2 3 4 5P 531 1031 1031 531 131B 能力提升11已知随机变量 只能取三个值 x1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是( )A. B.0， 13 13， 13C3，3 D 0，1解析：选 B.设随机变量 取 x1，x 2，x 3 的概率分别为 ad，a，ad，则由分布列的性质得(ad) a( ad)1，故 a ，13由 ，13 d 013 d 0)解得 d .13 1312袋中装有 5 只红球和 4 只黑球，从袋中任取 4 只球，取到 1 只红球得 3 分，取到 1 只黑球得 1 分，设得分为随机变量
24、，则 8 的概率 P(8)_解析：由题意知 P(8)1 P(6)P(4) 1 .56答案：5613某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上 40 件产品作为样本，称出它们的质量(单位： g)，质量的分组区间为(490，495，(495 ，500，(510，515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示(1)根据频率分布直方图，求质量超过 505 g 的产品数量；(2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为质量超过 505 g 的产品数量，求 Y 的分布列解：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过 505 g 的产品数量为 40(0.0550.015)400
25、.312(件)(2)随机变量 Y 的可能取值为 0，1，2，且 Y 服从参数为 N40，M12，n2 的超几何分布，故 P(Y0) ，P(Y1) ，P(Y2) .63130 2865 11130所以随机变量 Y 的分布列为Y 0 1 2P 63130 2865 1113014(选做题) 袋中装着外形完全相同且标有数字 1，2，3 ，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 X表示取出的 3 个小球上的最大数字，求：(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量 X 的分布列；(3)计算介于 20 分到 40 分之间的概率解：(1)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A，则 P(A) .23(2)由题意，知 X 的所有可能取值为 2，3，4，5，P(X2) ，130P(X3) ，215P(X4) ，310P(X5) .815所以随机变量 X 的分布列为X 2 3 4 5P 130 215 310 815(3)“一次取球得分介于 20 分到 40 分之间”记为事件 C，则 P(C)P( X3)P( X4) .215 310 1330
