1、第 2 课时 计数原理的综合应用1.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题 2.会根据实际问题合理分类或分步探究点 1 组数问题用 0，1，2，3，4 五个数字，(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？【解】 (1)三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复 ，每个位置都有 5 种排法，共有 5555 3125 种(2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法 ，除 0 外共有 4 种方法，第二、三位可以排 0，因此，共有 455100 种(3)被 2 整除的数即偶数
2、，末位数字可取 0，2，4，因此， 可以分两类，一类是末位数字是0，则有 4312 种排法；另一类是末位数字不是 0，则末位有 2 种排法，即 2 或 4，再排首位，因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十位有 3 种排法，因此有 23318 种排法因而有 121830 种排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数1变问法 由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3 中任取一个，有 2 种方法；第二步定首位，把 1，2，3，4 中除去用过的一个还有 3个可任取一个，有 3 种方法；第
3、三步，第四步把剩下的包括 0 在内的还有 3 个数字先排百位有 3 种方法，再排十位有 2 种方法由分步乘法计数原理共有 233236 个2变问法 在本例条件下，能组成多少个能被 3 整除的四位数？解：一个四位数能被 3 整除，必须各位上数字之和能被 3 整除，故组成四位数四个数字只能是 0，1，2，3 或 0，2，3，4 两类所以满足题设的四位数共有 2332136 个解决组数间的方法(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“ 分步”的关键一般按特殊位置(末位或首位) 分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素) 优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解(2)要注意数字“
4、0” 不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位 1.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A6 B9C12 D24解析：选 B.根据 0 的位置进行分类：第一类 ，0 在个位有 2 110，1 210，1 120，共 3 个；第二类，0 在十位有 2 101，1 201，1 102，共 3 个；第三类，0 在百位有 2 011，1 021，1 012，共 3 个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为 9.2若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数” 现从1，2，3，4，5，6 这六个数字中任取 3 个数，组
5、成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( )A120 个 B80 个C40 个 D20 个解析：选 C.当十位数字为 3 时 ，个位数字和百位数字只能取 1，2，能组成 2 个“伞数” ；当十位数字为 4 时，个位数字和百位数字能取 1，2，3，能组成 326 个“伞数” ；当十位数字为 5 时，个位数字和百位数字能取 1，2，3，4，能组成 4312 个“伞数” ；当十位数字为 6 时，个位数字和百位数字能取 1，2，3，4，5，能组成 5420 个“伞数” ，所以共能组成 26122040 个“伞数” 探究点 2 选(抽)取与分配问题高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中
6、工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A16 种 B18 种C37 种 D48 种【解析】 法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有 1 种情况；第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有339 种；第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有33327 种综上所述，不同的分配方案有 192737 种法二：(间接法)先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：44433337 种方案【答案】 C解决抽取(分配) 问题的方法
7、(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可 某班有 3 名学生准备参加校运会的 100 米、200 米、跳高、跳远四项比赛，如果每班每项限报 1 人，则这 3 名学生的参赛的不同方法有( )A24 种 B48 种C64 种 D81 种解析：选 A.由于每班每项限报 1 人，故当前面的学生选了某项之后，后面的学生不能再报，由分步乘法计数原理，共有 43224 种不同的参赛方法探究点 3 涂色(种植)问
8、题(1)如图，要给地图上 A、B、C、D 四个区域分别涂上 4 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？(2)将 3 种作物全部种植在如图所示的 5 块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法【解】 (1)法一：按 ABCD 的顺序分步涂色第一步：涂 A 区域，有 4 种不同的涂法；第二步：涂 B 区域，从剩下的 3 种颜色中任选 1 种颜色，有 3 种不同的涂法；第三步：涂 C 区域，再从剩下的 2 种不同颜色中任选 1 种颜色，有 2 种不同的涂法；第四步：涂 D 区域，从与 B、 C 区
9、域不同的 2 种不同颜色中任选 1 种，有 2 种不同的涂法根据分步乘法计数原理，共有 432248(种) 不同的涂法 法二：按所用颜色的多少分类涂色第一类：用三种颜色，有 4(3211)24(种) 不同的涂法；第二类：用四种颜色，有 432124(种) 不同的涂法 根据分类加法计数原理，共有 242448(种) 不同的涂法 (2)分别用 a、b、c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a，再安排第二块田，有两种方法 b 或 c，不妨设放入 b，第三块也有 2 种方法 a 或 c.(i)若第三块田放 c：a b c第四、五块田分别有 2 种方法，共有 224 种方法(
10、ii)若第三块田放 a：a b a第四块有 b 或 c 两种方法：若第四块放 c：a b a c第五块有 2 种方法；若第四块放 b：a b a b第五块只能种作物 c，共 1 种方法综上，共有 32(222 1)42 种方法解决涂色(种植) 问题的一般思路涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析 (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题 ，用分类加法计数原理分析(3)将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法
11、计数原理计数 从五种不同的颜色中选出若干种涂在如图所示的各部分，若要求相邻的部分颜色不同，则不同的涂法共有多少种？解：依题意，可分两类情况：不同色；同色第一类：不同色，则所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成 4 步来完成第一步涂，从 5 种颜色中任选一种，有 5 种涂法；第二步涂，从余下的 4 种颜色中任选一种，有 4 种涂法；第三步涂与第四步涂时，分别有 3 种涂法和 2 种涂法于是由分步乘法计数原理可得不同的涂法为 5432120(种) 第二类：同色，则不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成第一步涂，有 5 种涂法；第二步涂，有 4 种涂法；第三步涂，有 3 种涂法于是由分步乘法计数原
12、理得不同的涂法有 54360(种) 综上可知，所求的涂色方法共有 12060180(种) 1(2018苏州模拟)有 A、B 两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作 A 种车床，现在要从三名工人中选 2 名分别去操作以上车床，不同的选派方法有( )A6 种 B5 种C4 种 D3 种解析：选 C.若选甲、乙二人， 可以甲操作 A 种车床，乙操作 B 种车床，或甲操作 B 种车床，乙操作 A 种车床，共有 2 种选派方法；若选甲、丙二人，则只有甲操作 B 种车床，丙操作A 种车床这一种选派方法；若选乙、丙二人，则只有乙操作 B 种车床，丙操作 A 种车
13、床这一种选派方法故共有 2114(种)不同的选派方法故选 C.2用 0，1，9 这 10 个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A243 B252C261 D648解析：选 B.0，1，2，9 共能组成 91010900 个三位数，其中无重复数字的三位数有 998648 个，所以有重复数字的三位数有 900648252 个3如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A84 B72C64 D56解析：选 A.分两种情况： 当 A，C 同色时，A 有 4 种选法，D
14、有 3 种选法，B 也有 3 种选法，共有 43336(种)涂色方法；当 A，C 不同色时，A 有 4 种选法，C 有 3 种选法，B 有 2 种选法，D 也有 2 种选法，共有 432248( 种)涂色方法由分类加法计数原理知总的涂色方法种数为 364884.4从 1 到 200 的自然数中，各个数位上都不含有数字 8 的自然数有多少个？解：第一类：一位数中除 8 外符合要求的有 8 个；第二类：两位数中，十位上数字除 0 和 8 外有 8 种情况，而个位数字除 8 外，有 9 种情况，有 89 个符合要求；第三类：三位数中，百位上数字是 1 的，十位和个位上数字除 8 外均有 9 种情况，
15、有 99个，而百位上数字是 2 的只有 200 符合所以总共有 889991162(个) 知识结构 深化拓展解决较为复杂的计数问题综合应用合理分类，准确分步：1处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步” ，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准2分类时要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复) ；(2)总数要完备(保证不遗漏) ，也就是要确定一个合理的分类标准3分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他
16、元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想., A 基础达标1把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有( )A24 种 B4 种C4 3 种 D3 4 种解析：选 C.第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法；第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法，只要把这 3 封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有 43种方法2在由 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的有( )A512 个 B192 个C240 个 D108 个解析：选 D.能被 5 整除的四位数 ，可分为两类：一类是末位为 0，由分步乘法计数原
17、理，共有 54360 个另一类是末位为 5，由分步乘法计数原理共有 44348 个由分类加法计数原理得所求的四位数共有 6048108 个3(2018福建厦门模拟)集合 Px，1，Q y，1，2，其中 x，y 1，2，3，9，且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( )A9 B14C15 D21解析：选 B.因为 Px ，1，Q y，1，2，且 PQ，所以 xy，2所以当 x2 时，y 3，4，5，6，7，8，9，共有 7 种情况；当 xy 时，x 3，4，5，6， 7，8，9，共有 7 种情况；共有 7714 种情况即这样的点的个数为 14.4
18、(2018福建漳州长泰一中高二下学期期中) 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字中任取两个，其中一个作为底数，另一个作为真数，则可以得到不同对数值的个数为( )A64 B56C53 D51解析：选 C.由于 1 只能作为真数 ，则以 1 为真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值均为 0.从除 1 外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，共能组成8756(个) 对数式，其中，log 24log 39，log 42log 93，log 23log 49，log 32log 94，重复了 4 次，所以得到不同对数值的个数为 156453.故选 C.5(2018湖北八校联考
19、)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B、C、D 中选择，其他四个号码可以从 09 这十个数字中选择(数字可以重复) ，有位车主上网自编号码，第一个号码(从左到右) 想在数字 3、5、6、8、9 中选择，其他号码想在 1、3、6、9 中选择，则他的车牌号码的所有可能情况有( )A180 种 B360 种C720 种 D960 种解析：选 D.按照车主的要求 ，从左到右第一个号码有 5 种选法，第二个号码有 3 种选法，其余三个号码各有 4 种选法因此车牌号码的所有可能情况有 53444960(种) 6从集合1，2，3，11中任选 2 个元素作为椭圆方程 1 中的
20、m 和 n，则落x2m2 y2n2在矩形区域 B( x，y )|x|11 且|y |9内的椭圆个数为_解析：根据题意，知当 m1 时，n 可等于 2，3，8，共对应 7 个不同的椭圆；当m2 时，n 可以等于 1，3， ，8，共对应 7 个不同的椭圆同理可得，当m3，4，5，6，7，8 时，各分别对应 7 个不同的椭圆；当 m9 时，n 可以等于1，2，8，共对应 8 个不同的椭圆；当 m10 时，共对应 8 个不同的椭圆综上所述，对应的椭圆共有 788272(个) 答案：727甲、乙、丙 3 个班各有 3，5，2 名三好学生，现准备推选 2 名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共
21、有_种推选方法解析：分为三类：甲班选 1 名，乙班选 1 名，根据分步乘法计数原理，有 3515(种)选法；甲班选 1 名，丙班选 1 名，根据分步乘法计数原理，有 326(种) 选法；乙班选 1 名，丙班选 1 名，根据分步乘法计数原理，有 5210(种) 选法综上，根据分类加法计数原理，共有 1561031(种) 推选方法答案：318甲、乙、丙、丁 4 名同学争夺数学、物理、化学 3 门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有 1 名冠军产生，则有_种不同的冠军获得情况解析：可先举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学 3 门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3 门学科”
22、，只有 3 门学科各产生 1 名冠军，才算完成了这件事，而 4 名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步：第 1 步，产生第 1 个学科冠军，它一定被其中 1 名同学获得，有 4 种不同的获得情况；第 2 步，产生第 2 个学科冠军，因为夺得第 1 个学科冠军的同学还可以去争夺第 2 个学科的冠军，所以第 2 个学科冠军也是由 4 名同学去争夺，有 4 种不同的获得情况；第 3 步，同理，产生第 3 个学科冠军，也有 4 种不同的获得情况由分步乘法计数原理知，共有 4444 364 种不同的冠军获得情况答案：649有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项(1)学生甲参加了这
23、三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？(2)有 4 名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？解：(1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个所以甲有 6 种不同的获奖情况(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有 4 种不同的情况 ，故各项冠军获得者的不同情况有 44464(种) 10把 1，2，3，4，5 这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列(1)43 251 是这个数列的第几项？(2)这个数列的第 96 项是多少？解：将由 1，2，3，4，5
24、 这五个数字组成无重复数字的五位数按万位数字分类，共五类，每类组成的数字数为：432124 个(1)万位数字为 4，且比 43 251 小的数的个数有：3213212115 个，所以43 251 是这个数列的第 32415188 项(2)因为 96424，所以这个数列的第 96 项是 45 321.B 能力提升11从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )A24 种 B18 种C12 种 D6 种解析：选 B.法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上 ，则有 3216 种不同的种植方法同理，黄瓜种在第二块、第三块
25、土地上均有 3216 种不同的种植方法故共有6318 种不同的种植方法法二：(间接法)从 4 种蔬菜中选出 3 种种在三块地上，有 43224 种方法，其中不种黄瓜有 3216 种方法，故共有 24618 种不同的种植方法12(2018内蒙古包头一中月考) 如图，用 5 种不同颜色给图中的 A、B、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有_种解析：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域 A 有 5 种涂法 B 有 4 种涂法，C 有 3 种涂法，D 有 3 种涂法，所以共有5433180(种)不同的涂色方案
26、答案：18013(2018长沙模拟)用 1，2 ，3，4 四个数字可重复的排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列a n(1)写出这个数列的前 11 项；(2)若 an341，求项数 n.解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131 ，132，133；(2)比 an341 小的数有两类：首位是 1 或 2： ,1 2 首位是 3：故共有：24413444(项) 因此 an341 是该数列的第 45 项，即 n45.14(选做题) 用 n 种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在，四个区域中相邻(有公共边界 )的区域不用同一种颜色(1)若 n
27、6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)若为乙着色时共有 120 种不同方法，求 n 的值解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为，着色时各自的方法数，再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数(1)为着色有 6 种方法，为着色有 5 种方法，为着色有 4 种方法，为着色也有 4 种方法所以共有着色方法 6544480 种(2)与(1)的区别在于与相邻的区域由两块变成了三块，同理，不同的着色方法数是 n(n1)(n2)(n 3)由 n(n1)( n 2)(n3)120，所以(n 23n)(n 23n2)1200.即(n 23n) 22(n 23n)12100.所以 n23n100.所以 n5.3 1 3 2 3 3
