1、第 2 课时 空间向量与空间角1.理解直线与平面所成角的概念 2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题3体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲学生用书 P66空间角及向量求法角的分类 向量求法 范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为 ，它们的方向向量为 a， b，则 cos |cosa ， b|ab|a|b| (0，2直线与平面所成的角设直线 l 与平面 所成的角为 ，l的方向向量为 a，平面 的法向量为 n，则 sin |cosa ， n|an|a|n| 0，2二面角设二面角 l 的平面角为 ，平面， 的法向量分别为 n1，n 2，则|cos |cosn 1，n 2|n1n2|
2、n1|n2| 0，(1)由于直线 a、b 所成角 ，故 cos |cosa，b|.0，2(2)直线 a 与平面 所成角 ，由图形知a，m 与 的余角相等或互补，故0，2sin |cos a， m|. (3)二面角 l 的大小 0， n，m0，但两角可能相等或互补，因此需借助图形进行判断，判断后再解释结论判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等( )(2)若向量 n1，n 2 分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn 1，n 2 .( )n1n2|n1|n2|(3)直线与平面所成角的范围为 .( )(0，2)答案：(1
3、) (2) (3) 若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于( )A30 B150C30或 150 D.以上均错答案：A已知向量 m， n 分别是直线 l 和平面 的方向向量、法向量，若 cosm ， n ，则直线 l 与平面 所成的角为 ( )12A30 B60C120 D.150答案：A已知两平面的法向量分别为 m(0，1，0) ，n(0，1 ，1) ，则两平面所成的二面角的大小为_答案：45或 135探究点 1 求两条异面直线所成的角学生用书 P67如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA平面ABCD， ABBC ，AB
4、AD，且 PAABBC AD1，求 PB 与 CD 所12成的角【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1，0，0) ， C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0 ，0，1)，所以 (1，0，1)， (1，1，0)，BP DC cos ， ，BP DC BP DC |BP |DC | 12 2 12所以 ， 120，BP DC 故 PB 与 CD 所成的角为 60.求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解 (2)向量法：在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A、B 和 C、D，则 与 可分别为AB CD a、b 的方向向量，则 cos .|
5、AB CD |AB |CD |运用向量法常有两种途径：基底法在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧在由公式 cosa，b 求向量 a、b 的夹角时，关键是求出 ab 及|a|与| b|，一般是把ab|a|b|a、b 用基向量表示出来，再求有关的量坐标法根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单 在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是 D1D，BD 的中点，G 在棱 CD 上，且 CG CD，H 是 C1G 的中点利用空间向量解决下列问题：14(1)求 E
6、F 与 B1C 所成的角；(2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值；(3)求 F， H 两点间的距离解：如图，以 ， ， 为单位正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0，0，0)，DA DC DD1 E ，F ，(0， 0， 12) (12， 12， 0)C(0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G .(0， 34， 0)(1)易得 ， ( 1，0，1)，EF (12， 12， 12) B1C 则 (1 ，0，1)EF B1C (12， 12， 12) (1) 0 (1)0.12 12 ( 12)所以 ， 即 EFB 1C.EF B1C 所以 EF 与 B1C 所
7、成的角为 90.(2) (0 ， ，1)，则| | .C1G 14 C1G 174又| | ，且 ，EF 32 EF C1G 38所以 cos ， .EF C1G EF C1G |EF |C1G |3832 174 5117即 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 .5117(3)因为 H 是 C1G 的中点，所以 H ，(0， 78， 12)则 .FH ( 12， 38， 12)所以 FH| |FH .( 12)2 (38)2 (12)2 418探究点 2 求直线和平面所成的角学生用书 P67(2016高考全国卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD， ADBC ，AB ADAC 3
8、，PA BC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N为 PC 的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值【解】 (1)证明：由已知得 AM AD2.取 BP 的中点 T，连接 AT，TN.23由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN BC2.12又 ADBC，故 TN 綊 AM， 四边形 AMNT 为平行四边形 ，于是 MNAT.因为 AT平面 PAB，MN 平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)取 BC 的中点 E，连接 AE.由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD，且 AE .AB2 BE2AB2 (BC2)2 5以 A 为坐标原
9、点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.由AE 题意知，P (0， 0，4) ，M(0， 2，0) ，C ，( 5， 2， 0)N ， (0，2，4)，(52， 1， 2) PM ， .PN ( 52， 1， 2) AN ( 52， 1， 2)设 n(x，y，z )为平面 PMN 的法向量，则 即 可取nPM 0，nPN 0， ) 2y 4z 0，52x y 2z 0， )n(0， 2，1)于是|cosn ， | ，则直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值AN |nAN |n|AN | 8525为 .8525向量法求线面角的基本步骤(1)分析图形关系，建立空间
10、直角坐标系(2)求出直线的方向向量 a 和平面的法向量 n.(3)求出夹角a，n (4)判断直线和平面所成的角 和a，n的关系，求出角 . 如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC BC，ACBCCC 1，M、N分别是 A1B、B 1C1 的中点(1)求证：MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1 与平面 A1BC 所成角的大小解：(1)证明：根据题意 CA、CB、CC 1 两两垂直，以 C 为原点，CA、CB、CC 1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 ACBCCC 1a，则 B(0，a，0) ， B1(0，a，a)， C(0，0，0) ，C 1
11、(0，0，a)，A 1(a，0，a) ，M ，N .(a2， a2， a2) (0， a2， a)所以 (a，a，a)， (a，0，a) ，BA1 CA1 .MN ( a2， 0， a2)于是 0， 0，MN BA1 MN CA1 即 MNBA 1，MNCA 1.又 BA1CA1A 1，故 MN平面 A1BC.(2)因为 MN平面 A1BC，所以 为平面 A1BC 的一个法向量，MN 又 (0，a，a)，BC1 则 cos ， BC1 MN BC1 MN |BC1 |MN | ，所以 ， 60.a222a 22a 12 BC1 MN 故直线 BC1 与平面 A1BC 所成的角为 30.探究点
12、3 求二面角学生用书 P68(2017高考全国卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；(2)若 PAPDABDC，APD90，求二面角 APBC 的余弦值【解】 (1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)在平面 PAD 内作 PFAD，垂足为 F.由(1)可知，AB平面 PAD，故 ABPF ，可得 PF平面 ABCD.以 F 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长 ，建立如图所示的空间直
13、角FA AB 坐标系 Fxyz.由(1)及已知可得 A ，P ，(22， 0， 0) (0， 0， 22)B ，C .(22， 1， 0) ( 22， 1， 0)所以 ， ( ，0，0) ， ， (0，1，0) PC ( 22， 1， 22) CB 2 PA ( 22， 0， 22) AB 设 n(x 1，y 1，z 1)是平面 PCB 的法向量，则即nPC 0，nCB 0， ) 22x1 y1 22z1 0，2x1 0. )可取 n(0 ， 1， )2设 m(x 2，y 2，z 2)是平面 PAB 的法向量，则 即mPA 0，mAB 0， ) 22x2 22z2 0，y2 0. )可取 m(
14、1，0，1)则 cosn，m .nm|n|m| 33所以二面角 APB C 的余弦值为 .33利用坐标法求二面角的步骤设 n1，n 2 分别是平面 ， 的法向量 ，则向量 n1 与 n2 的夹角 (或其补角)就是二面角的大小，如图用坐标法解题的步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量 n1，n 2.(3)计算：求 n1 与 n2 所成锐角 ，cos .|n1n2|n1|n2|(4)定值：若二面角为锐角，则为 ；若二面角为钝角，则为 .如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的所有棱长都相等，ACBD O，A 1C1B 1D1
15、O 1，四边形ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形(1)证明：O 1O底面 ABCD；(2)若CBA 60 ，求二面角 C1OB 1D 的余弦值解：(1)证明：因为四边形 ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形 ，所以CC1AC，DD 1BD，又 CC1DD1OO1，所以 OO1AC，OO 1BD，因为 ACBDO，所以 O1O底面 ABCD.(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 ABCD 为菱形 ，ACBD，又 O1O底面ABCD， 所以 OB，OC，OO 1两两垂直如图，以 O 为坐标原点 ，分别以 OB，OC，OO 1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐
16、标系设棱长为 2，因为CBA60，所以 OB ，OC1，3所以 O(0，0，0)，B 1( ，0，2) ，C 1(0，1，2)，平面 BDD1B1 的一个法向量为3n(0， 1，0)，设平面 OC1B1 的法向量为 m (x，y ，z )，则 m ，m ，所以 x2z0，y2z0，取 z ，则 x2，y 2 ，OB1 OC1 3 3 3所以 m(2，2 ， )，3 3所以 cosm，n .mn|m|n| 2319 25719由图形可知二面角 C1OB 1D 的大小为锐角，所以二面角 C1OB 1D 的余弦值为.257191如图，已知四边形 ABCD 为直角梯形，DABABC90，SA平面ABC
17、D， SAABBC1，AD .求平面 SAB 与平面 SCD 所成角的余弦值12解：如图，以 A 为坐标原点，分别以 AD，AB，AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0， 0，0) ，S(0，0，1)，C(1，1，0) ，D ， ， (1，1，1) (12， 0， 0) SD (12， 0， 1) SC 设平面 SCD 的一个法向量为 n( x，y，z) ，则 n 0，n 0，SD SC 所以 所以12x z 0，x y z 0， ) x 2z，y z.)令 z1，得 n (2，1，1)因为 是平面 SAB 的一个法向量，AD (12， 0， 0)所以 cos
18、，n .AD 63设平面 SAB 与平面 SCD 的二面角为 ，由图可知 为锐角 ，所以 cos .632.如图所示，直三棱柱 ABCA 1B1C1，BCA90，点 F1 是 A1C1 的中点，BCCA2，CC 11.(1)求异面直线 AF1 与 CB1 所成角的余弦值；(2)求直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角解：(1)如图所示，分别以 ， ， 为 x，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，由CA CB CC1 BCCA2，CC 11，得 A(2，0，0) ， B(0，2，0)，C1(0，0，1)，A 1(2，0，1)，B1(0，2，1) 因为 F1 为 A1C1 的中点，所以
19、 F1(1，0， 1)所以 (0，2，1)， (1，0，1) CB1 AF1 所以 cos ， CB1 AF1 CB1 AF1 |CB1 |AF1 | ，（0， 2， 1）（ 1， 0， 1）52 1010即异面直线 AF1 与 CB1 所成角的余弦值为 .1010(2)因为直三棱柱 ABCA 1B1C1，所以 BB1平面 ABC，AC平面 ABC，所以 BB1AC，因为BCA90，所以 BC AC，因为 BCBB 1 B，BC，BB 1平面 BCC1B1，所以 AC平面 BCC1B1，所以 (2，0，0)是平面 BCC1B1 的一个法向量CA 设直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角为
20、 ，则 sin |cos ， | ，AF1 CA 222 22所以 ，4所以直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角为 .4学生用书 P69知识结构 深化拓展1.空间角的各角取值范围：异面直线所成角的范围： ；线面角的范围： ；二面角的(0， 2 0， 2范围：0，2线面角涉及斜线的射影，故找出平面的垂线是解题的基本思路用向量法求解斜线与平面所成角的问题，关键是确定斜线的一个方向向量 a 和平面的一个法向量 b，再通过线面角的向量公式sin |cos a ，b| ( 是斜线与平面所成|ab|a|b|的角)求解，要特别注意 a 和 b 的夹角与线面角的关系3利用向量法求二面角的大小时，应注意
21、二面角的大小与两法向量夹角大小的关系，它们之间可能相等，也可能互补，故应在分清关系的情况下求解，避免出现错误.学生用书 P139(单独成册 )A 基础达标1已知二面角 l 的两个半平面 与 的法向量分别为 a，b，若a，b ，则3二面角 l 的大小为( )A. B.3 23C. 或 D. 或3 23 6 3解析：选 C.由于二面角的范围是 0，而二面角的两个半平面 与 的法向量都有两个方向，因此二面角 l 的大小为 或 ，故选 C.3 232已知在棱长为 a 的正方体 ABCDABCD中，E 是 BC 的中点，则直线 AC 与 DE所成角的余弦值为( )A. B. C. D.5155 1515
22、 1520解析：选 C.如图所示建立空间直角坐标系，则 A(0，0，a)，C(a，a，0) ， D(0，a，0)，E ， (a，a，a)，(a，a2，0) AC ，DE (a， a2，0)cos ， .AC DE AC DE |AC |DE | 15153如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABBC2，AA 11，则 BC1 与平面BB1D1D 所成角的正弦值为( )A. B.63 265C. D.155 105解析：选 D.如图所示，建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(2 ，0，0) ，B(2，2，0)，C(0，2，0) ，D 1(0，0，1) ，C 1(0，2，1)，所
23、以 (2 ，0，1)连接 AC，易证 AC平BC1 面 BB1D1D，所以平面 BB1D1D 的一个法向量为 a ( 2，2，0) AC 所以所求角的正弦值为|cosa， | .BC1 |aBC1 |a|BC1 | 485 1054.如图，过边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 EA平面AC，若 EA1 ，则平面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角的大小是( )A120 B45C150 D.60解析：选 B.以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD ，AE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E(0，0，1) ， B(1，0，0)， C(1，1，
24、0) ， (1，0，1)，EB (1，1，1)EC 设平面 BCE 的法向量为 n (x，y，z)，则有 x z 0，x y z 0，)可取 n(1 ，0 ，1)又平面 EAD 的一个法向量为 (1，0，0)，所以 cosn， ，故平AB AB 121 22面 ADE 与平面 BCE 所成的二面角为 45.5(2018云南昭通绥江一中高二( 上)月考)如图所示，已知四棱锥 PABCD 中，底面ABCD 是菱形，且 PA平面 ABCD，PA AD AC ，点 F 为 PC 的中点，则二面角CBFD 的正切值为 ( )A. B.36 34C. D.33 233解析：选 D.如图所示，设 AC 与
25、BD 交于点 O，连接 OF.以 O 为坐标原点，OB，OC，OF 所在直线分别为 x，y ，z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.设 PAAD AC 1，则 BD ，所以 O(0，0，0)，B( ，0，0)，F(0 ，0， )，C(0，332 12，0)， (0，0)，易知 为平面 BDF 的一个法向量，由 ( ，0) ，12 OC 12 OC BC 32 12 ( ，0， )，可得平面 BCF 的一个法向量为 n(1， ， )所以 cosn， FB 32 12 3 3 OC ， sinn， ，所以 tann， .故二面角 CBFD 的正切值为 .217 OC 277 OC 233 2336如
26、图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 C1C 的中点，O 是底面 ABCD 的中心，P 是 A1B1 上的任意点，则直线 BM 与 OP 所成的角为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，A 1Px，则 O(1，1，0)，P (2，x ，2) ， B(2，2，0)，M (0，2，1) ，(1，x1，2)， (2，0，1)OP BM 所以 0，OP BM 所以直线 BM 与 OP 所成的角为 .2答案：27已知点 A(1，0，0) ，B(0，2，0)，C(0，0，3) ，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为_解析：由题意得 ( 1，2，0) ，
27、(1，0，3) AB AC 设平面 ABC 的法向量为 n (x，y，z)由 ，知 .nAB 0nAC 0) x 2y 0 x 3z 0)令 x2，得 y1，z ，则平面 ABC 的一个法向量为 n(2，1， )平面 xOy 的一23 23个法向量为 (0，0，3)OC 由此易求出所求锐二面角的余弦值为 .|nOC |n|OC | 27答案：278正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都相等，则 AC1 与平面 BB1C1C 的夹角的余弦值为_解析：设三棱柱的棱长为 1，以 B 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，则 C1(0，1，1)，A ，(32，12，0)则 .AC1 ( 32，12，
28、1)易知平面 BB1C1C 的一个法向量 n(1 ，0，0)，设 AC1 与平面 BB1C1C 的夹角为 ，则 sin |cos n， | ，AC1 |AC1 n|AC1 |n| 64所以 cos .1 sin2104答案：1049.已知，如图，PA平面 ABC，AC BC ，PAAC1，BC ，求二面角 APBC 的2余弦值解：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0) ，B( ，1，0)，C(0，1，0)，P(0 ，0，1)，2(0 ，0，1)， ( ，1 ，0) ，AP AB 2( ，0，0)， (0，1，1)CB 2 CP 设平面 PAB 的法向量为 m (x，y，z)，则 mAP 0
29、，mAB 0，)即 解得（x，y，z）（0，0，1） 0，（x，y，z）（2，1，0） 0，) y 2x，z 0， )令 x1，则 m(1 ， ，0) 2设平面 PBC 的法向量为 n (x，y，z)，则 即nCB 0，nCP 0，) （x，y，z）（2，0，0） 0，（x，y，z）（0， 1，1） 0，)解得 令 y1，x 0，y z.)则 n(0 ，1 ，1)，所以 cosm，n .mn|m|n| 33故二面角 APBC 的余弦值为 .3310(2018武汉高二期末)如图，在四棱锥 PABCD 中，O 是 AD 的中点，PO平面ABCD， PAD 是等边三角形， ABBC AD1，cos
30、ADB ，ADBC，ADBD .12 255(1)证明：平面 POC平面 PAD；(2)求直线 PD 与平面 PAB 所成角的大小解：(1)证明：因为PAD 是等边三角形，O 是 AD 的中点，所以 POAD ，在DAB 中，因为 AB AD1，cosADB ，12 255所以 cosADB ，BD2 22 122BD 255即 BD28BD3 0，解得 BD 或 BD ，5 5 535因为 BD AD2，与 ADBD 矛盾，35所以 BD .5因为 AB2AD 212 25BD 2，所以DAB 是直角三角形，BAD90 ，因为 ADBC，O 是 AD 的中点，ABBC AD，12所以四边形
31、ABCO 是正方形，所以 COAD.由 ，得 AD平面 POC.PO ADCO ADPO CO O)又 AD平面 PAD，所以平面 POC平面 PAD.(2)如图，以 O 为坐标原点，OC，OD，OP 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 A(0，1，0) ，B(1 ，1，0)，C(1，0，0) ，D (0，1，0)，P(0 ，0， )，3(0 ，1， )， (1，1， )， (0，1， )PA 3 PB 3 PD 3设 n(x，y，z )为平面 PAB 的法向量，则 ，所以 ，令 z1，则 y ，x0，nPA 0nPB 0) y 3z 0x y 3z 0) 3则
32、 n(0 ， ，1)为平面 PAB 的一个法向量3直线 PD 与平面 PAB 所成的角记为 ，则 sin |cosn， | ，PD |0 3 322 | | 234 | 32故 60，所以直线 PD 与平面 PAB 所成角的大小为 60.B 能力提升11如图，在四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为平行四边形，平面 ABE平面BCDE， ABAE，DBDE， BAEBDE90.(1)求异面直线 AB 与 DE 所成角的大小；(2)求二面角 BAEC 的平面角的余弦值解：(1)设 O 是 BE 的中点， 连接 AO、DO，由 ABAE，DBDE，得 AOBE，DOBE ，因为平面 ABE平面
33、 BCDE，AO 平面 ABE，平面 ABE平面 BCDEBE，AOBE，所以 AO平面 BCDE，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，不妨设 OAa，则 A(0，0， a)，B(0，a，0) ，C (a，2a，0)，D(a，0，0) ，E(0， a，0) ，所以 (0 ，a，a)， (a，a，0) AB DE 因此 cos ， ，AB DE AB DE |AB |DE | a22a 2a 12所以异面直线 AB 与 DE 所成的角为 60.(2)设平面 ACE 的法向量为 n1(x，y，z)因为 (0 ，a，a)， (a，3a，0) ，AE EC 所以 n1AE ay
34、 az 0，n1EC ax 3ay 0.)取 y1，得 x3，z1，所以 n1(3 ，1 ，1)又易知平面 ABE 的一个法向量为 n2(1 ，0，0)，因此 cosn 1， n2 ，n1n2|n1|n2| 311 31111设二面角 BAEC 的平面角为 ，由图形知 是锐角，则 cos ，31111因此二面角 BAEC 的平面角的余弦值为 .3111112.如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，AC AD，ABBC ，BAC45，PA AD2，AC 1.(1)证明：PCAD ；(2)求二面角 APCD 的正弦值；(3)设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所
35、成的角为 30，求 AE 的长解：如图，以点 A 为坐标原点，AD，AC，AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0) ，D(2 ，0，0)，C(0，1，0)，B ，P(0 ，0，2)( 12，12，0)(1)证明：易得 (0 ，1，2) ， (2，0，0) ，PC AD 则 0，所以 PCAD.PC AD (2)易得 (0，1，2)， (2，1，0)PC CD 设平面 PCD 的法向量为 n( x，y，z) 由 得nPC 0，nCD 0，) y 2z 0，2x y 0.)令 z1，可得 n(1 ，2，1)又 (2 ，0，0) 是平面 PAC 的一个法向
36、量，AD 所以 cos ，n ，AD AD n|AD |n| 66从而 sin ，n .AD 306所以二面角 APCD 的正弦值为 .306(3)易得 (2，1，0)CD 设 AEh，h0 ，2，则 E(0，0，h)，所以 .BE (12， 12，h)所以 cos ， ，BE CD BE CD |BE |CD |3212 h25 32解得 h ，即 AE .1010 101013(选做题)(2016高考天津卷)如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面 OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB BE2.(1)求证：EG 平面 ADF；(2)求二面角 O
37、EFC 的正弦值；(3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值23解：依题意，OF平面 ABCD，如图，以 O 为原点，分别以 ， ， 的方向为 xAD BA OF 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得 O(0，0，0)，A (1，1，0)，B(1，1，0)，C(1，1，0)，D (1，1，0)，E( 1，1，2)，F(0，0，2) ，G (1，0，0) (1)证明：依题意， (2，0，0)， (1 ，1，2)设 n1(x，y，z) 为平面 ADFAD AF 的法向量，则 即 不妨设 z1，可得 n1(0，2，1) 又n1
38、AD 0，n1AF 0，) 2x 0，x y 2z 0.)(0，1， 2)，可得 n10，又直线 EG平面 ADF，所以 EG平面 ADF.EG EG (2)易证， (1，1，0)为平面 OEF 的一个法向量依题意， (1，1，0)，OA EF ( 1，1，2)CF 设 n2(x ，y，z)为平面 CEF 的法向量，则 即 不妨设n2EF 0，n2CF 0，) x y 0， x y 2z 0.)x 1，可得 n2(1，1，1)因此有 cos ，n 2 ，OA OA n2|OA |n2| 63于是 sin ，n 2 .OA 33所以二面角 OEFC 的正弦值为 .33(3)由 AH HF，得 AH AF.因为 (1，1，2) ，所以 ，进23 25 AF AH 25AF (25， 25，45)而有 H ，从而 ，( 35，35，45) BH (25，85，45)因此 cos ，n 2 .BH BH n2|BH |n2| 721所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 .721
