1、数学选修数学选修 21 知识点知识点 第一章第一章 命题与逻辑结构命题与逻辑结构 知识点：知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、 “若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命 题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题， 另一个称为原命题的逆命题。 若原命题为 “若p， 则q” ，它的逆命题为“若q，则p”. 4、 对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定， 则这两个命题
2、称为互否命题.中一个命题称为原命题， 另一个称为原命题的否命题.若原命题为 “若p，则q” ，则它的否命题为“若p，则q”. 5、 对于两个命题， 如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定， 则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q” ，则它的否命题为“若q，则p” 。 6、四种命题的真假性： 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 四种命题的真假性之间的关系： 1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真
3、假性没有关系 7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件） 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q都是真命题时，pq是真命题； 当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq 是假命题 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假命 题时，pq是假命题 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p若p是真命题，则p必是假命题； 若p是假命题，则p必是真命题 9、短语“对所有的” 、 “对任意一个”在逻辑中通常称为
4、全称量词，用“”表示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题“对中任意一个x，有 p x成立” ，记作“x ， p x” 短语“存在一个” 、 “至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示含有存在 量词的命题称为特称命题 特称命题“存在中的一个x，使 p x成立” ，记作“x ， p x” 10、全称命题p：x ， p x，它的否定p：x ， p x。全称命题的否定是特称命 题。 特称命题p：x ， p x，它的否定p：x ， p x。特称命题的否定是全称命题。 第二章第二章 圆锥曲线圆锥曲线 知识点：知识点： 1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 建立适当的适当
5、的直角坐标系； 设动点 ,M x y 及其他的点； 找出满足限制条件的等式； 将点的坐标代入等式； 化简方程，并验证（查漏除杂） 。 2、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之和和等于常数（大于 12 FF ）的点的轨迹称为椭圆。这两 个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。 12 222MFMFaac 3、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 第一定义 到两定点 21 F F、的距离之和等于常数 2a，即 21 | 2MFMFa（ 21 2|aFF） 第二定义 与一定点的
6、距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(01) MF ee d 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 ,0a 、 2 ,0a 1 0, b、 2 0,b 1 0, a、 2 0,a 1 ,0b 、 2 ,0b 轴长 长轴的长2a 短轴的长2b 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 焦点 1 ,0Fc、 2 ,0F c 1 0,Fc、 2 0,Fc 焦距 222 12 2()FFccab 离心率 2222 222 1(01) ccabb ee aaaa 准线方程 2 a x c 2 a y c 焦半径 0,0 ()M x y 左焦半径： 10 MFaex 右焦半径： 20
7、MFaex 下焦半径： 10 MFaey 上焦半径： 20 MFaey 焦点三角形面积 1 2 2 12 tan() 2 MF F SbFMF 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： 2 b HH a （焦点） 弦长公式 1,12,2 (),()A x yB x y， 222 12121 2 11()4ABkxxkxxx x 4、设是椭圆上任一点，点到 1 F对应对应准线的距离为 1 d，点到 2 F对应对应准线的距离为 2 d，则 12 12 FF e dd 。 5、平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之差的绝对值差的绝对值等于常数（小于 12 FF ）的点的轨迹称为双 曲线。 这两个定点
8、称为双曲线的焦点， 两焦点的距离称为双曲线的焦距。 12 222MFMFaac 6、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10,0 xy ab ab 22 22 10,0 yx ab ab 第一定义 到两定点 21 FF、的距离之差的绝对值等于常数2a，即 21 |2MFMFa （ 21 02|aFF） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即(1) MF ee d 范围 xa 或xa，yR ya 或ya，xR 顶点 1 ,0a 、 2 ,0a 1 0, a、 2 0,a 轴长 实轴的长2a 虚轴的长2b 对称性 关于x轴、y
9、轴对称，关于原点中心对称 焦点 1 ,0Fc、 2 ,0F c 1 0,Fc、 2 0,Fc 焦距 222 12 2()FFccab 离心率 2222 222 1(1) ccabb ee aaaa 准线方程 2 a x c 2 a y c 渐近线方程渐近线方程 b yx a a yx b 焦半径 0,0 ()M x y M在右支 10 20 MFexa MFexa 左焦： 右焦： M在左支 10 20 MFexa MFexa 左焦： 右焦： M在上支 10 20 MFeya MFeya 左焦： 右焦： M在下支 10 20 MFeya MFeya 左焦： 右焦： 焦点三角形面 积 1 2 2
10、12 cot() 2 MF F SbFMF 7、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 8、设是双曲线上任一点，点到 1 F对应对应准线的距离为 1 d，点到 2 F对应 对应准线的距离为 2 d， 则 12 12 FF e dd 。 9、 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线定点F称为抛物 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： 2 b HH a 图形 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 定义 与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l 上) 顶点 0,0 离心率 1e 对称轴 x轴
11、 y轴 范围 0 x 0 x 0y 0y 焦点 ,0 2 p F ,0 2 p F 0, 2 p F 0, 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 焦半径 0,0 ()M x y 0 2 p MFx 0 2 p MFx 0 2 p MFy 0 2 p MFy 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2HHp 焦点弦长 公式 12 ABxxp 参数p的 几何意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔 线的焦点，定直线l称为抛物线的准线 10、 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段， 称为抛物线的 “通径” ， 即 2p 11、焦半径公
12、式： 若点 00 ,x y 在抛物线 2 20ypx p 上，焦点为F，则 0 2 p Fx ； 、 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20ypx p 上，焦点为F，则 0 2 p Fx ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20 xpy p 上，焦点为F，则 0 2 p Fy ； 若点 00 ,xy 在抛物线 2 20 xpy p 上，焦点为F，则 0 2 p Fy 12、抛物线的几何性质： 关于抛物线焦点弦的几个结论： 设AB为过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的弦， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，直线AB 的倾斜角为，则 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp
13、2 2 ; sin p AB 以AB为直径的圆与准线相切； 焦点F对A B、在准线上射影的张角为 2 ； 112 . |FAFBP 第三章空间向量第三章空间向量 知识点：知识点： 1、空间向量的概念： （1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量 （2）向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示 向量的方向 （3）向量的大小称为向量的模（或长度） ，记作 （4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量 （5）与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a （6）方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的加法和减法： （1） 求
14、两个向量和的运算称为向量的加法， 它遵循平行四边形法则 即： 在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形 C ， 则以起点的对角线C就是a与b的和， 这种求向量和的方法， 称为向量加法的平行四边形法则 （2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则即：在 空间任取一点，作 a，b，则ab 3、 实数与空间向量a的乘积a 是一个向量， 称为向量的数乘运算 当0 时，a 与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的 长度是a的长度的倍 4、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分配律： abab ；结合律： aa 5、
15、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向 量，并规定零向量与任何向量都共线 6、 向量共线的充要条件： 对于空间任意两个向量a， 0b b ，/ab的充要条件是存在实数， 使ab 7、平行于同一个平面的向量称为共面向量 8、向量共面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使 xyC ；或对空间任一定点，有xy C ；或若四点，C共面， 则 1xyz C xyz 9、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a， b，则称为向量a，b 的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是： ,0,a b 10、对于两个非零向量a和b，若 , 2
16、a b ，则向量a，b互相垂直，记作ab 11、已知两个非零向量a和b，则 cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即 cos,a ba ba b零向量与任何向量的数量积为0 12、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影 cos,ba b的乘积 13 若a，b为非零向量，e为单位向量，则有 1cos,e aa eaa e； 20aba b； 3 a b ab a b a b ab 与 同向 与 反向 ， 2 a aa，aa a； 4 cos, a b a b a b ； 5 a ba b 14 量数乘积的运算律： 1a bb a； 2 aba bab； 3 abca cb c 1
17、5、 空间向量基本定理： 若三个向量a，b，c不共面， 则对空间任一向量p， 存在实数组 , ,x y z ， 使得pxaybzc 16、三个向量a，b，c不共面，则所有空间向量组成的集合是 , , ,p pxaybzc x y zR 这 个集合可看作是由向量a，b，c生成的， , ,a b c 称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量 空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 17、 设 1 e， 2 e， 3 e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量 （称它们为单位正交基底） ， 以 1 e， 2 e， 3 e的公共起点为原点，分别以 1 e， 2 e， 3 e的方向为x轴，y轴，
18、z轴的正方向建立空间 直角坐标系xyz 则对于空间任意一个向量p， 一定可以把它平移， 使它的起点与原点重合， 得到向量p 存在有序实数组 , ,x y z ，使得 123 pxeyeze把x，y，z称作向量p在单 位正交基底 1 e， 2 e， 3 e下的坐标，记作, ,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐 标系 xyz中的坐标, ,x y z 18、设 111 ,ax y z， 222 ,bxy z，则 （1） 121212 ,abxxyy zz （2） 121212 ,abxxyy zz （3） 111 ,axyz （4） 1 2121 2 a bx xy yz z （5）若a
19、、b为非零向量，则 1 2121 2 00aba bx xy yz z （6）若0b ，则 121212 /,ababxx yy zz （7） 222 111 aa axyz （8）12121 2 222222 111222 cos, x xy yz za b a b a bxyzxyz （9） 111 ,x y z ， 222 ,x y z，则 222 212121 dxxyyzz 19、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向 量称为点的位置向量 20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线l上 一点，向量a表示直线l的方向向量
20、，则对于直线l上的任意一点，有ta ，这样点和 向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点 21、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点， 它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点， 存在有序实数对, x y， 使得xayb ， 这样点与向量a，b就确定了平面的位置 22、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的法向量 23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b， 则/abab abR ，0ababa b 24、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a， 则/aa0ana n ，/aaanan 25、若空间不
21、重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/abab， 0aba b 26、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有cos cos a b a b 27、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为， 则有sin cos l n l n 28、设 1 n， 2 n是二面角 l 的两个面，的法向量，则向量 1 n， 2 n的夹角（或其补角） 就是二面角的平面角的大小若二面角l 的平面角为，则 12 12 cos nn nn 29、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算 30、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为 cos, n dn n 31、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面 的距离为 cos, n dn n
